重庆市沙坪坝区部分重点中学适应性考试(理数)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学适应性考试（理工农医类）
数学试题卷（理工类）共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()k n k k n n p p C k P --=1；
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1．α是第四象限角，5
tan 12
α=-
，则sin α=（ C ）
A ．15
B ．15-
C ．5
13
-
D ．
513
2．若复数i
1
2-的实部与虚部分别为a ，b ，则ab 等于（ A ） A ．2
B ．i 2
C ．2-
D ．i 2-
3．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ D ） A ．若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1- B ．若11<<-x ，则12<x C ．若1>x 或1-<x ，则12>x D ．若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥1
4．已知圆422=+y x 与圆0146622=++-+y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的
方程是（D ）
A ．012=+-y x
B ．012=--y x
C ．03=+-y x
D ．03=--y x 5．2010年“上海世博会”于5月1日开幕。

现从5张100元，3张200元，
2张300元世博会门票中任取3张，
则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ C ）
A ．4
1 B ．
12079 C ．43 D ．24
23 6．函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为（ B ）
A ．)(1R x e y x ∈=+
B ．)(1R x e y x ∈=-
C ．)1(1>=+x e y x
D ．)1(1>=-x e y x
7．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5=PM ．设抛物线
的焦点为F ．则MPF ∆的面积为（ C ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．15
8．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有
黑球，且每个盒子中球数不能少于2个，则所有不同的放法的种数为（ D ） A ．12 B ．13 C ．16 D ．18
9．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；
③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； 其中不正确的命题个数是（ D ）
A.1
B. 2
C.3
D. 4 10．已知)0(2
1ln )(2>+=a x x a x f ，若对任意两个不等的正实数21,x x 都有
2
121)
()(x x x f x f --2>恒成立，则a 的取值范围是（ B ）
A ．()∞+,1
B ．[)∞+,1
C ．()1,0
D ．(]1,0
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．已知向量()2,4=，向量()1,-=x ，且a ∥b ，则b a ⋅的值是10-．
12．已知54sin =
α，()53cos -=+βα，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0,πβα，则=βsin 2524． 13．已知函数)(,1
,1
,11
)(3x f x a x x x x f 若⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--=在R 上连续，则=+-∞→)321(lim n a n an n 3． 14．设F 为双曲线22
1169
x y -=的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA
为直径的圆与双
曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则
FN FM
FA
-的值为5
4；
15．如图，已知各顶点都在半球面上的正三棱锥，其侧面积为15
,
则这个球的表面积是
3
16π
. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
已知ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别为.32cos 2cos 4,3,5,,,=-==C A b a c b a （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求)4
2sin(π
-A 的值。

【解】：（Ⅰ）在32cos 2cos 4,=-∆C A ABC 中
3)sin 21()21(422=---C A sn
（2分） C A sin sin 2=
（4分）
根据正弦定理：A
a
C c sin sin =
于是,522sin sin ===
a a A
C
c （6分）
（Ⅱ）在ABC ∆中，根据余弦定理，得5
5
22cos 222=⋅-+=b c a b c A
于是5
5
cos 1sin 2=
-=A A 从而5
4cos sin 22sin ==A A A
5
3sin cos 2cos 22=
-=A A A
（12分） 所以10
24sin
2cos 4
cos 2sin )4
2sin(=-=-π
π
π
A A A （13分）
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
盒中装有4个大小形状相同的小球，球上分别标有号码0，1，1，2，从盒中有放回地抽取两个小球(每次抽取一个小球). （Ⅰ）求这两个小球号码不相同的概率；
（Ⅱ）记ξ为这两个小球上号码的乘积，求随机变量ξ的分布列及其数学期望ξE ；
【解】：（Ⅰ）两小球都为0或都为2的概率均为：2
14⎛⎫
⎪⎝⎭，都为1的概率为：
2
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴ 所求概率22
115
12428P ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ············· 6分
（Ⅱ）()16743414141012=⨯+⨯==C P ξ ()4
121211=⨯==ξP ()414121212=⨯==C P ξ ()16
141414=⨯==ξP ·· 10分 ∴ξ的分布列为
116
442411670=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ………………13分 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 若函数()x x ax x f ln 682-+=在点()()1,1f M 处的切线方程为b y =
（Ⅰ）求b a ,的值及()x f 的单调递减区间；
（Ⅱ）若对于任意的[]4,1∈x ，恒有()()em m e x f ln ln 72+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≤成立，求实数m 的取
值范围（其中e 为自然对数的底数）．
【解】：（Ⅰ）因为()x ax x f 682-+='，由题意得()⇒='01f 06
82=-+x
ax ，得1-=a
则()x x x x f ln 682-+-=，由题意()b f =1
故1-=a ，7=b ……………………………………（3分） 令()0682<-+-='x
x x f ，则06822<-+-x x
()()031>--⇒x x ，3>⇒x 或10<<x
即()x f 的单调递增区间为()1,0()∞+,3 ………………………（6分） （Ⅱ）因为[]4,1∈x ，又由（Ⅰ）知函数()x f 在区间()3,1上为增函数，在()
4,3
上为减函数，
所以()()3ln 6153ln 62493max -=-+-==f x f ；
又()m em m e ln 615ln ln 72-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛，由题意m ln 6153ln 615-≤-，解之得3≤m
故30≤<m …………（12分）
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为
1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ．
（Ⅰ）求二面角1E AC D --的大小；（Ⅱ）在1D E 上是否存在一点P ，使1//
A P 面EAC ．
若存在，求1:D P PE 的值；不存在，说明理由． 【解】：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO 、O D 1；∵DC AD =，∴1ADD ∆≌1CDD ∆，
AC O D CD AD ⊥⇒=⇒111，同理可证
AC EO ⊥，∴OE D 1∠就是二面角1D AC E --
的平面角。

设x E B =1，y E D =1，21==AB AA ∵⊥E D 1平面AC D 1；∴11AD E D ⊥，∴在E AD Rt 1∆
中()()22
222221212422++=+⇒+==+⇒x y BE AB AE AD E D ；
又连接11D B ，在E B D Rt 11∆中，2121211E D E B D B +=，∴224y x =+，联立方程组解得
1=x ，∴E OD Rt 1∆中，记θ=∠OE D 1，∴4
22cos π
θθ=⇒=
． （Ⅱ）存在这样的点P ，当2:3:1=PE P D 时，P A 1∥平面EAC ．证明如下：
连接11C A ，11B D 相交于点1O ，过点1O 作P O 1∥OE 交E D 1于P ，连接P A 1． 由于11C A ∥AC ，P O 1∥OE ，∴平面11PO A ∥平面EAC ；∴P A 1∥平面EAC 。

设M B D OE =11 ，则
311=OB MB ，∴3
2
3111=⇒=M O MB ，所以231111==M O O D PE P D ．
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆()01:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率22
=e ，点F 为椭圆的右焦点，点A 、
B 分别为椭圆长轴的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足
12-=⋅FB MF ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P ，Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心。

若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请
说明理由
【解】：（Ⅰ）由椭圆方程为()0122
22>>=+b a b
y a x
由题意2
2
22=⇒=
a c e 又∵12-=⋅，即()12-=-c a c ，又c a 2=，112=⇒=c c ，2=a
∴22
=a ，12
=b ；故椭圆方程为12
22
=+y x ……………5分
（Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于P 、Q 两点，且F 恰为PQM ∆的垂心，则 设()11,y x P ，()22,y x Q ，∵()1,0M ，()0,1F ，故1=PQ k ……………6分 于是设直线l 为m x y +=，由⎩⎨
⎧=++=2
22
2
y x m x y 得：
0224322=-++m mx x …………8分
∵()()01101221=-+-⇒=⋅y y x x 又m x y +=11，m x y +=22 得()()()0111221=-+++-m x m x x x ，即
()()01222121=-+-++m m m x x x x ，由韦达定理得：
解得34-=m 或1=m （舍），经检验3
4-=m 符合条件，则直线l 的方程为
3
4
-
=x y ………12分 21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问5分） 已知数列{}n a 满足递推关系，1
322
1
+++=+n n n
n a m
a a a *()n N ∈，又11a = （Ⅰ）在1m =时，求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）问m 在什么范围内取值时，能使数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立？ （Ⅲ）在31m -≤<时，证明：
121111
(11112)
n n a a a +++≥-+++ 解：（Ⅰ）当1=m 时，121
1
322
1+=+++=+n n n n n a a a a a ，
所以()1211+=++n n a a ，又11=a ∴()*12N n a n n ∈-= （Ⅱ）由于n n a a ≥+1
，所以n n n n a a a a ≥+++11
322
，所以()0
1
112
≥+-++n n a m a ，又 1......111=≥≥≥≥-+a a a a n n n ，所以()2
11+-≥n a m 恒成立；∴3-≥m ．
（Ⅲ）当3-=m 时，1=n a 满足
n n n a a a 2
1
1211.....111121-≥=++++++； 当13<<-m 时，∴11≥≥+n n a a ； 所以()()12111211+<+-+
+=++n n n n a a m a a ，即()
121111+>++n n a a ，
由叠加可知
n n a 2
1
11≥+； ∴
n
n
n n a a a a 2112
1
1211212
1
...21212111.....11111132321-=-⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=++++≥++++++++．。