《垂直于弦的直径》教案

《垂直于弦的直径》教案
教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册（人民教育出版社）
一、教学目标
1．知识与技能目标
(1)理解圆的轴对称性； (2)掌握垂径定理；
(3)学生在有关问题的分析求解中，认识应用垂径定理的问题情境，培养并提升学生的推理能力和应用意识．
2． 过程与方法目标
学生经历垂径定理的探索、证明和应用的过程，发展学生的数学思维，培养学生的创新意识，体验数形结合及转化化归的数学思想．
3．情感、态度与价值观
通过引例，对学生进行爱国主义教育，通过问题的提出、探索、解决过程，培养学生严谨的治学态度，并让学生体验数学的对称美.
二、重点、难点的定位
教学重点：理解垂径定理，灵活应用垂径定理解决相关问题. 教学难点：区分垂径定理的题设与结论及定理的证明方法探究.
三、课前准备
每位同学准备一张圆形纸片和作图工具. 教师准备一张透明的圆形塑料片和一张圆形纸片.
四、基本流程图
五.教学过程设计
问题与情境 师生行为
实践举例 应用定理
创设情景 引入课题
观察思考 探究定理
拓展练习 掌握定理
归纳小结 构建体系
作业布置 巩固提升
一创设情景
引入课题创设情景：
（1）将准备好的圆形纸片任意撕成两部分，将
其中一部分交给所对小组的同学，在剩下的另一部
分上记好圆的半径.你能通过测量、推算得出另一小
组同学交给你的纸片所在圆的半径吗？
（2）演示长沙市湘江一桥的图片.
（3）出示关于赵州桥的引例.
学生撕下图形，教师给出
问题.通过学生动手活动，设
疑激思，激发学习本节课的兴
趣.
学生观察、欣赏图片
注：通过圆弧形实物的图片，
让学生感受到数学的无处不
在，圆弧中蕴含的数学美，激
发学生的求知欲.
引例：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国
隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的
结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)
为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能
求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
揭示课题：
活动1（温故知新）对折圆形纸片，回顾小学学过
的圆的轴对称性.
活动2（实践探究）在圆形纸片中作一条弦AB，再
作直径CD⊥AB于点E，沿直线CD对折纸片后，观
察有关几何性质.
师生读题，教师引导学生
探索问题解决的方法, 指出
掌握新知识的必要性,引入课
题.
学生通过活动回顾旧知，
再利用圆的轴对称性探索新
知.
利用电脑保护膜所制作
的透明圆片,便于学生观察图
形的对称性,增强数学课的趣
味性和直观性，符合初中学生
的认知规律.
二观察思考观察思考：
问：你能发现图中那些几何量存在相等的关系？想
一想它们为什么会相等？
学生小组讨论,找出图中
相等的量,教师在学生充分观
察对折后的图形纸片的几何
性质后，将学生分析得到的几
何等量关系在黑板上板书，为
用数学符号语言翻译定理奠
定基础.
问题与情境师生行为
二观察
思考
探究定理问：你能发现图中那些几何量存在相等的关
系？想一想它们为什么会相等？
学生通过实验、观察、思考和
探究得出结论，再利用叠合法进行
推证，使直观操作和逻辑推理有机
的整合在一起，从而使推理论证成
为学生探究结论的自然延续和必
然方法.
教师整理学生的证法，利用多
媒体打出证明过程(教师事先设计
了可能出现的证法的几种预案).
当证明完“AE=BE”后，教师引导
学生利用叠合法说明弦所对的两
条弧被平分.
注：由具体、形象到抽象概括，感
性认识上升到到理性认识，使学生
成为发现定理的主人，充分体现了
学生的主体作用.
形成定理：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧．
符号语言：
∵CD为直径，CD⊥AB于E
∴AE=BE，AD=BD,AC=BC
学生归纳出垂径定理的数学
语言，教师稍作整理后在黑板上板
书.
由于定理的题设和结论关系
较复杂，教师进一步帮助学生分析
定理，并归结为：一条直线（1）
过圆心；（2）垂直于弦；（3）平
分弦；（4）平分弦所对的优弧；
（5）平分弦所对的劣弧.同时引导
学生认识到垂径定理就是满足条
件（1）、（2）而推出其他结论.
注：此设计可以使学生充分参与知
识的形成与发展过程，加深学生对
定理的理解，培养学生的语言表达
能力，也有利于学生体会数形结合
的思想.
问题与情境师生行为
∙
A B
C
O
E
∙
A B
C
O
E
D
D
二观察思考
探究定理判断:
①垂直于弦的直线平分这条弦.
②过圆心的直线平分弦.
③在圆中，如果一条直线经过圆心且垂直于弦，
必平分此弦所对的弧.
教师打出判断题①、②,
让学生思考判断，然后教师再
出示图形,让学生结合图形加
深对定理的理解.
接着教师展示含非水平
的弦和半径的图片，让学生结
合图形进一步理解垂径定理，
教师适时引导学生得出垂径
定理的条件之一的“直径”，
其本质是“经过圆心”，帮助
学生理解定理.
三实践举例
例题．你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国
隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的
结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)
为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能
求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
回到引例，让学生独立思
考后，请学生代表说明解题思
路，同时教师板书.师生合作
完成例题的求解，并一起总结
添加辅助线与构造基本图形
的常用方法.在此过程中教师
应注重引导学生将实际问题
转化为简约的数学语言，并抽
象为数学模型求解，培养学生
的归纳概括能力与逻辑推理
能力.
∙
A B
O
∙
A
O
C
D
∙
A B
C
O
E
∙
A B
C
O
E
D
D
B
应用定理
变式练习．（08内蒙乌兰察布）工程上
常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠
的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的
距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径
AB是 mm．
学生审题并独立完成变式练
习，由学生代表在黑板上解答，
展示学情.
教师巡视，充分了解并反馈
学情，并有针对性地个别辅导.
四拓展思维
掌握定理拓展
将准备好的圆形纸片任意撕成两部分，将
其中一部分交给所对小组的同学，在剩下的另
一部分上记好圆的半径.你能通过测量、推算得
出另一小组同学交给你的纸片所在圆的半径
吗？
现在你能求出来了吗？你有几种方法
呢？将你求出的答案告诉对方小组，看看是否
正确.
学生开始小组讨论，教师巡
视，了解学情并适时引导.
小组讨论后由学生代表上讲
台结合图形分析解题思路与方
法，教师点评.拓展思维部分在赵
州桥问题的基础上进一步把问题
引向更高的深度、广度.旨在让学
有余力的同学获得充分发展.
五归纳小结
构建体系
问题 1.这节课你知道了什么，学会了什
么？
问题 2.通过这节课的学习你有什么样的感
受？
归纳小结，构建体系.通过问
题1，在师生互动中归纳本节课
所学的基本知识和基本方法，并
整理出垂径定理应用的问题情
境.在问题2的导引下，通过师生
合作交流，让学生谈感受，体会
数学的实用价值，明确建模的重
要性和掌握垂径定理的必要性.
A B
8mm
六布 置 作
业
巩 固 提升
1.必做题：P95 习题24.1 第7、8、9题
2.选做题：(根据自己的情况选择完成) 如图，某条河上有一座圆弧形拱桥AB ，所
在圆的圆心为O ，桥下面水面宽度AB 为8米，桥的中点离水面的高度为2米．现在有一艘宽2
米，船舱顶部为方形并高出水面1.5米的货船要经过这里，问： 1、这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由． 2、由于汛期涨水，水面每分钟提高0.2米，那么船要在几分钟内离开桥才安全？
第一题是教材上的习题，为必做题，面向全体学生，通过课后学生独立思考，自我评价，使学习效果达到最佳,
第2题是选做题，有一定的
综合性，由学有余力的同学选做，促进数学特长生的发展.
两个层次的练习题既使全体学生巩固知识，掌握技能，又使
学有余力的学生获得最佳发展.
板书设计
垂直于弦的直径
垂径定理 例题 变式练习 分析拓展题
文字语言 符号语言 图形语言
2.449)
6 (O
A
B
教案说明
《垂直于弦的直径》是新课标人教版《数学》第二十四章第一节圆的第二课时.第一课时学习了圆的相关概念，本讲是第二课时，学生经历对垂径定理的探索、证明和应用的过程中，体验数形结合及转化化归的数学思想.
圆的有关性质被广泛地应用于工农业生产、交通运输、土木建筑之中，课程内容涉及比较广泛，具有综合技术教育价值.本课时“垂直于弦的直径是”圆的轴对称性的具体化，它不仅能很好地培养学生观察、发现、分析、解决问题的能力，还有利于启迪学生的探索灵感，增强创新意识.因此，这课时无论是在数学知识的学习上，还是应用数学知识、建立数学模型能力的培养上，都起着十分重要的作用.基于此，垂径定理是圆的有关计算和圆的有关证明的一个重要工具，既在教材体系中起着承上启下的作用，又是今后进一步研究圆及圆与其它知识综合的重要的知识.
学生在生活中经常遇到圆的有关图形和实物，自然对本节课的内容会比较有兴趣,并且已学的轴对称图形相关知识，为本节课奠定了良好的基础.初三学生虽然具备了一定的理解能力，但对题设和结论比较复杂的垂径定理的理解还存在障碍.，因此，我根据初中学生的心理特征、认知规律和数学课程标准结合教材内容以及学生实际情况制定如下目标：1．知识与技能目标
(1)理解圆的轴对称性；
(2)掌握垂径定理；
(3)学生在有关问题的分析求解中，认识应用垂径定理的问题情境，培养并提升学生的推理能力和应用意识．
2．过程与方法目标
学生经历垂径定理的探索、证明和应用的过程，发展学生的数学思维，培养学生的创新意识，体验数形结合及转化化归的数学思想．
3．情感、态度与价值观
通过引例，对学生进行爱国主义教育，通过问题的提出、探索、解决过程，培养学生严谨的治学态度，并让学生体验数学的对称美.
课堂教学应遵循“双主体”原则，本节课在教学过程中教师和学生始终处于一种合作交流的互动状态. 我遵循学生的认知规律，以发展学生的思维为中心，以培养能力为目的，采用“‘隐’导发现法”和“碰壁点拨法”来组织教学.以问题为载体，使学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握垂径定理的有关内容，并将知识转化为能力.
《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来运用教材.因此，我在尊重教材知识和体系构造的前提下，一开始让学生从动手实验出发，通过一个游戏（两人为一组任意撕下圆的一部分交给另一小组的同学，让对方想办法得出纸片所在圆的半径），激发学生的学习积极性，生动地再现情景.然后结合教师折叠透明圆片，达到数形合一，有利于学生突破本节课的难点.同时结合学情对教材例题、习题作适当的创造性处理,例题的解答留给学生思考空间，板书解答过程，规范学生数学行为；灵活应用定理的过程，有助于理解掌握定理，突出重点.本节课的课堂结构设计为以下六个环节：
此设计中，由具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力.同时遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性．教学过程中，注重学生探究能力的培养．还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的形成过程，拓展学生的思维，增强学生的创新意识．同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质．
在具体教学过程中，教师充分把握如下七个环节：
1. 在开始的游戏环节中，教师通过示范强调将圆撕成两部分的“任意性”.
2. 在折叠圆形纸片引入课题时，强调折叠时所包含的定理中的条件，此时教师应引导学生发现：图形中蕴含了哪些相等的量.
3. 在推证垂径定理时，对于线段的证明学生较易给出，并且方法多样，但对于等弧的证明，目前只能通过重合来说明，其中要用到叠合法说明弦与圆的对称轴为同一条，对于这种推证方法教师要循序渐进，逐渐引导学生自己发现方法.
4. 对于例题，学生较易利用垂径定理解答，此时教师应注重引导学生总结方法的一般性，概括规律，并引导学生体会建模的过程.
5. 例题的计算过程较复杂，为突出本节课的重点，只要求学生列出方程即可，淡化烦琐的计算，教师给出计算结果后重在归纳方法
6. 在解答变式练习时，学生对于计算过程的问题并不大，但可能忽视说理过程，教师在巡视时注意有针对性地辅导，并通过对上讲台学生的解答过程的点评，规范学生的解题行为，培养学生良好的书写习惯.
7. 拓展练习是本着应材施教的原则，让学有余力的学生获得最佳发展，回到开始的游戏环节，主要让学生通过测量、计算、与对方小组的同学核实半径的长度，由学生
实践举例 应用定理
创设情景
引入课题
观察思考 探究定理
拓展练习 掌握定理
归纳小结 构建体系
作业布置 巩固提升
代表上讲台讲解思路，发挥学生的主观能动性，也让部分学生可以课后再思考、讨论.
总之，本节课的教学我始终坚持把握“小循环，快反馈”的双向反馈原则.充分借助旧知，在具体情景的引导下生疑、析疑、探求新知，在新知的认知过程中激发矛盾理解新知，最终通过运用新知的例题及变式训练掌握新知.以过程评价为主，通过四个思维训练阶段的师生互动、合作交流，信息反馈，适时调整教学进程和教学策略，恰当运用课程教学预案，内化知识，最终达到学生对垂径定理的理解和掌握的目标，同时在教学中注意渗透数学思想方法,让学生在不断思考中学习知识，掌握知识，训练能力，体验情感，各方面都取得全面和谐的发展.
2008年9月。