苏教版高中数学选修(2-3)-1.3考点分析：排列与组合

考点分析：排列与组合
由于排列与组合的题目与实际生活密切相关，所以在复习中应立足基础知识和基本方法的复习，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷，提高分析问题和解决实际问题的能力．同时应当加强数学思想和方法的训练，排列、组合题大多能与集合、数列、立体几何等内容组合构成综合性较强的小型综合题. 考点1. 分类计数原理与分步计数原理
这两个原理都是用来计算“完成一件事”的方法的种数的，在概念上比较相近，容易混淆，应注意它们的区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，无论哪一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与”分步“有关，这几个步骤缺一不可，相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

例1.(高考天津文16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．
解: 首末两格涂法为6×5=30(种），中间两格有两种情况，
故涂法种法为①6×5×5×4=600，②6×5=30，
共有600+30=630(种)．答案：630.
点评: 本例旨在让学生理解两个基本原理.
考点2.排列数的有关计算
准确掌握排列数公式是顺利进行计算的关键，判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序，有顺序且是从n个不同的元素中任取m(m,n∈N,且m≤n)个不同元素的问题就是排列，否则就不是排列.
例2. 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有( )
A.30种
B.360种
C.720种
D.1440种
思路分析: 本题属排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和六个人站成一排照像一共有多少种不同排法的问题完全相同．所以不同的排法总数为6
A=6×5×4×3×2×1=720(种）．
6
答案选C.
点评: 只有当元素完全相同,并且排列顺序也完全相同时,才是同一排列. 元素完
全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列.
考点3.组合的有关计算
组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回地取出，取出的m个元素没有顺序，无序性是组合的本质，这也是区分排列和组合问题的关键．要重视组合数的性质在解题中的灵活运用. 例3.设集合A={1，2，3，…，10}，
（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；
（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，a n，求
a1+a2+a3+…+a n的值.
解：（1）A的3元素子集的个数为n=C3
10
=120.
（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C2
9
个，因此a1+a2+…+a n=
C2
9
×（1+2+3+…+10）=1980.
评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.
考点4.排列的应用问题
排列的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”，对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”
例4.从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？
剖析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.
（2）二次方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0，再对c分类讨论.
解：（1）可组成二次方程A1
4·A2
4
=48个.
（2）有实根的二次方程共有A2
4+A2
2
+2A2
2
=18个.
考点5.组合的应用问题。