《定积分的简单应用》教案新人教A版选修

《定积分的简单应用》教案1（新人教A
版选修2-2）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
定积分及其应用
二. 重点、难点：
1. 基本积分表
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2. 运算公式
（1）
（2）
（3） 3.
【典型例题】
[例1] 若曲线在x处的导数为且曲线经过点A（1，3），求
解析式。

解：，过A∴∴
[例2] 求下列不定积分。

（1）
（2）
[例3] 求下列定积分
（1）
（2）
∵
∴
[例4] ，为何值时，M最小。

解：
∴ 时，
[例5] 已知，，试求的取值范围。

解：
即
设∴为方程
两根
∴ 或
∴[例6] 求抛物线与直线所围成的图形的面积。

解：由∴ A（1，－1）B（9，3）
[例7] 求由抛物线，所围成图形的面积。

解：
[例8] 由抛物线及其在点A（0，－3），B（3，0）处两切线所围成图形的面积。

解：，∴ P（）
[例9] 曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积。

解：设切点，则
切线：过P（）
∴
∴A（0，1）
∵∴
∴B（）
∴[例10] 抛物线在第一象限内与直线相切。

此抛物线与x
轴所围成的图形的面积记为S。

求使S达到最大值的a，b值，并求。

解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分
别为，所以（1）
又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点
由方程组
得，其判别式必须为0，即
于是，代入（1）式得：
令；在时得唯一驻点，且当时，；当时，。

故在时，取得极
大值，也是最大值，即时，S取得最大值，且
，代入，代城
【模拟试题】
1. 将和式的极限表示成定积分（）
A.B.C.D.
2. 下列等于1的积分是（）
A.B.C.D.
3. （）
A.B.C.D.
4. 已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路
程为（）
A.B.C.D.
5. 曲线与坐标所围成的面积（）
A. 4
B. 2
C.
D. 3
6. （）
A.B.C.D.
7. 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）
A.B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1]
8. 由直线，及x轴围成平面图形的面积为（）
A. B.
C. D.
9. 如果1N力能拉长弹簧，为将弹簧拉长6cm，所耗费的
功是（）
A. 0.18
B. 0.26
C. 0.12
D. 0.28
10. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液
体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压
力为（）
A.B.C.D.
11. 将和式表示为定积分。

12. 曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为。

13. 由及x轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利
用定积分应表达为。

14. 计算下列定积分的值。

（1）（2）
（3）（4）
15. 求曲线与轴所围成的图形的面积。

16. 设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。

（1）求的表达式；
（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线（把）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值。

【试题答案】
1. B
2. C
3. C
4. C
5. D
6. D
7. B
8. C
9. A 10. A
11.12.13.
14.（1）
（2）=
（3）
（4）
15. 解：首先求出函数的零点：，又易判断出在（－1，0）内，图形在x轴下方，在（0，2）内，图形在x轴上方，
所以所求面积为
16. 解：（1）设，则
又已知∴∴
又方程有两个相等实根∴ 判别式，即
故
（2）依题意，有所求面积
（3）依题意，有
∴
，
∴ ，于是。