高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程学案 新人教A版必修1(2021年整理)

陕西省西安市高中数学第三章函数的应用3.1 函数与方程学案新人教A 版必修1
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3。

1 函数与方程
3.1.1方程的根与函数的零点
一、新课引入
考察几个一元二次方程及其相应的二次函数的关系
方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；方程x2－2x＋1＝0与函数y＝ x2－2x＋1方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3,函数图象如上图，你能发现什么？
二、新课
（1）当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，相应的二次函数的图象与
x
轴有两个交点.
（2)当△＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的一个个交点。

（3）当△＜0时，一元二次方程没有实数根,相应的二次函数的图象与x轴无交点.
对于函数y＝f（x)，我们把使f（x）＝0的实数x叫函数
方程f(x）＝0有实数根
⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点
⇔函数y＝f（x)有零点
观察二次函数f（x）＝x2－2x－3的图象，发现这个
二次函数在区间（－2,1）上有零点x＝－1
而f（－2）＞0，f（1）＜0,即f（－2)·f（1)＜0
二次函数在区间（2，4）上有零点x＝3
而f（2）＜0，f(4)＞0，即f（2)·f（4)＜0
一般地，函数f(x）在区间[a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f（a）·f（b）＜0,那么函数f（x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈(a，b），
使得f （c)＝0,这个c 也就是方程f （x ）＝0的根。

例1、求函数f （x)＝lnx ＋2x －6的零点的个数.
分析：用计算机辅助作图象，可得函数在区间（2，3）内有零点，再观察图象在 (0，＋∞）上是增函数，因此，该函数只有一个零点。

练习:填写下列表格
20ax bx c ++=的根 2y ax bx c =++与X 轴的交
点
△>0
△=0
△〈0
3.1.2用二分法求方程的近似解学案
学习过程
一、复习提问
什么是函数的零点?函数在区间(a,b ）内有零点,则有什么性质？
二、新课
1、新课引入
中央电视台由李咏主持的节目《幸运52》中有一项猜商品价格的游戏，首先给出 了商品价格的范围,如果是你，你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢？现实中
还有这种方法运用的实例吗？
一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx ＋2x －6＝0的根， 联系函数的零点与相应方程的关系，能否利用函数有关知识求出它的根呢？
2、取中点法求方程lnx ＋2x －6＝0的根
方程lnx ＋2x －6＝0在区间（2，3)内有零点，21
（2＋3）＝2.5
f(2.5）·f(3）＜0，所以零点在区间（2。

5，3）内，21
（2.5＋3）＝2.75
f （2.5）·f （2.75)＜0,所以零点在区间（2.5,2.75）内。

如此下去,零点范围越来越小，当区间的端点的差的绝对值小于0。

01时，可以将端点
作为零点的近似值。

P105表3－2。

对于在区间［a ，b ］上连续不断，且f （a ）·f （b)＜0的函数y ＝f （x ），通过 不断把函数f （x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫二分法 (bisection ）.
给定精确度ε,用二分法求函数f （x ）零点近似值的步骤:
1、确定区间［a ，b ］,验证f （a ）·f （b ）＜0， 给定精确度ε;
2、求区间(a ，b ）的中点x 1；
3、计算f （x 1）；
(1）若f(x 1)＝0，则x 1就是函数的零点；
（2）若f （a ）·f （x 1）＜0，则令b ＝x 1(此时零点x 0∈（a ，x 1)）
（3）若f （x 1）·f （b ）＜0，则令a ＝x 1（此时零点x 0∈（x 1，b ））
4、判断是否达到精确度ε，：即若∣a －b ∣＜ε，则达到零点近似值a(或b ）； 否则重复2――4。

一般用计算机设计一定的程序来完成求零点.
例2、借助计算机或计算器用二分法求方程2x ＋3x ＝7的近似解（精确到0。

1）.
作业：P108 1、2、3、4、5。