中考数学专题复习《正方形中的常考题型》知识点梳理及典例讲解课件

上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF＋PE的最小值为（ C ）
典例1图
A. 15
B. 4
C. 17
D. 3 2
典例2 如图，E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为
边向左侧作正方形AEFG，P为AD的中点，连接PG，在点E运动的过程
中，PG长的最小值是（ C ）
典例2图
A. 2
∠EOF＝90°，
∴ ∠COCOE≌△DOF.∴ CE＝DF.
典例8图
类型4 半角模型
模型解读：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，延长CB到点G，使
BG＝DF，连接EF，AG，则△AEF≌△AEG，EF＝EG＝BE＋DF.
典例9 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝
B. 2
C. 2 2
D. 4 2
典例3 （2023·池州东至一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，P，Q
分别为边BC，AB上的动点，且AQ＝BP，AP与DQ交于点E，则线段BE
长的最小值为
3 －3 .
典例3图
类型2 十字模型
模型解读：如图①，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点.若
AE⊥BF，则AE＝BF.如图②，E，F，G，H分别是正方形ABCD的边
AB，BC，CD，AD上的点.若EG⊥FH，则EG＝FH.
典例4 如图，在正方形ABCD中，AE＝BF，则下列结论中，一定成立的
是（ D ）
A. ∠BEC＝60°
B. ∠CFD＝60°
C. AB＝2AE
D. CE⊥DF
典例4图
90°，∠EPF的两边分别交直线AB，BC于点E，F.
（1） 当点E，F分别在边AB，BC上时，如图①，求证： 2（AE＋CF）
典例6图答案
类型3 对角互补模型
模型解读：如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，如图②，过点
D 作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，则△DEA≌△DFC，AB＋BC＝
2BF＝ 2BD.
典例7 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，
BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ B ）
典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E为边DC上一点，DE＝3，连接
AE ， 过 点 D 作 AE 的 垂 线 ， 交 AE 于 点 F ， 交 BC 于 点 G ， 则 FG 的 长 为
（B）
A.
12
5
C. 3
B.
13
5
D. 5
典例5图
典例6 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，点P，
动点（点E不与点B，C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点
F，连接CF，则CF长的最小值为（ B ）
A. 5
C.
5 2
2
B. 5 2－5
D.
5
2
第1题
1
2
3
4
5
6
2. （2023·合肥模拟）如图，在△BCP中，BP＝ 2，PC＝4，现以BC为
边在BC下方作正方形ABCD并连接AP，则AP长的最大值为（ B ）
A. 2 5
B. 6
C. 4＋2 2
D. 26
第2题
1
2
3
4
5
6
3. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于
点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（ D ）
第3题
A. 2
B. 5
3 2
2
C.
1
2
3
D.
4
5
6
12
5
4. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上.若CE＝
2 5，且∠ECF＝45°，则CF的长为（ A ）
第4题
A.
4 10
3
B.
5 10
3
C. 2 10
1
2
3
4
5
D.
6
7 10
3
5. 如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.


若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝
.
第5题
1
2
3
4
5
6
6. 操作发现：在正方形ABCD中，P是对角线AC和BD的交点，∠EPF＝
45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG.求证：EF＝GF.
解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠B＝∠BAD
＝∠ADC＝90°.∵ 点G在CD的延长线上，∴ ∠ADG＝180°－
∠ADC＝90°.∴ ∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，∵
＝，
∠＝∠， ∴ △ABE≌△ADG.
Q分别在边AB，AD上，连接PF，QE交于点H，∠FHE＝90°，PF＝4.求
QE的长.
解：如图，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥CD于
点N.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝
90°.∵ QM⊥BC，∴ ∠QMB＝∠B＝∠A＝90°.∴ 四边形
ABMQ是矩形.∴ AB＝QM.同理，可得四边形BCNP是矩
＝，
典例9图
∴ ∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵ ∠EAF＝45°，∴
∠BAE＋∠DAF＝45°.∴ ∠DAG＋∠DAF＝45°，即
∠GAF＝45°.在△EAF和△GAF中，
＝，
∵ ∠＝∠， ∴ △EAF≌△GAF.∴ EF＝GF.
＝，
典例9图
强化练习
1. （2023·芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，E是边BC上一
典例7图
A. 2 2
B.
3 2
2
C.
4 2
3
D.
5 2
4
典例8 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别
是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.
解：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ OC＝
OD，∠OCE＝∠ODF＝45°，AC⊥BD.∴
∠COD＝90°.∴ ∠DOF＋∠COF＝90°.∵
形.∴ BC＝PN，PN∥BC.∴ QM⊥PN.∵ 四边形ABCD是
正方形，∴ AB＝BC.∴ QM＝PN.∵ ∠FHE＝90°，∴
PF⊥QE.∴ 易知∠MQE＝∠NPF.在△QME和△PNF
中，
∠＝∠，
∵ ＝，
∴ △QME≌△PNF.∴ QE
∠＝∠ = °，
＝PF＝4.
正方形中的常考题型
类型1 求最值
方法指导：在已知正方形的条件下，求动点运动时，相关线段或线段和
差的最大值或最小值，关键是动中求静、变中找不变，利用正方形的对
称性将其转化为“垂线段最短”“两点之间线段最短”求解.两点之间
线段最短，即三角形的两边之和大于第三边（两边重合时取最值）.
典例1 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB