D01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(广东卷)

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷）
（必修+选修2）
第Ⅰ卷
一．选择题（5*10=50分）
（１）若集合{}
2M x x =≤，{
}
2
30N x x x =-=，则M N =
（Ａ）{}3（Ｂ）{}0（Ｃ）{}0,2（Ｄ）{}0,3
（２）若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则2
2
a b += （Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）5
2
（Ｄ）５ （３）233
lim
9
x x x →-+=-
（Ａ）1
6
-（Ｂ）０（Ｃ）16（Ｄ）13
（４）已知高为３的直棱锥'''ABC A B C -的底面是边长为１的正三角（如图１所示），则三棱锥'B ABC -的体积为
（Ａ）
14（Ｂ）1
2
（５）若焦点在轴上的椭圆
2212x y m +=的离心率为12
，则m=
（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）2
3
（６）函数3
2
()31f x x x =-+是减函数的区间为 （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)
（７）给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若m α⊂，l
A α=，点A m ∉，则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，l α，m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥；
③若l α，m β，αβ，则l m ；
④若l α⊂，m α⊂，l
m =点A ，l β，m β，则αβ．
其中为假命题的是
（Ａ）①（Ｂ）②（Ｃ）③（Ｄ）④
（８）先后抛掷两枚均匀的正方体股子（它们的六个面分别标有点数１、２、３、４、５、６），股子朝上的面的点数分别为，则的概率为 （Ａ）
16（Ｂ）536（Ｃ）112（Ｄ）12
图1
C'
C
（９）在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =和()y g x =的图像关于直线y x =对称．现将的()y g x =图像沿x 轴向左平移２个单位，再沿轴向上平移１个档位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图２所示），则函数()f x 的表达式为
（Ａ）22,10()2,022x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（Ｂ）22,10
()2,022x x f x x x --≤≤⎧⎪
=⎨-<≤⎪⎩
（Ｃ）22,12()1,242x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（Ｄ）26,12()3,242
x x f x x x -≤≤⎧⎪
=⎨-<≤⎪⎩
（１０）已知数列{}n x 满足122x x =，()121
2
n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则
（Ａ）3
2
（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５
第Ⅱ卷
二．填空题（5*4=20分）
（１１）函数()f x =
的定义域是_____________．
（１２）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则_____________．
（１３）已知5
(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与4
5
()4
x +的展开式中3x 的系数相等，则cos θ
＝_____________．
（１４）设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f _____________；当ｎ＞４时，()f n ＝_____________．
三．解答题（共80分） （１５）（本小题共12分）
化简6161()cos(
2)cos(2)sin(2)(,)333
k k f x x x x x R k Z π
ππ+-=++-++∈∈，并求函数()f x 的值域和最小正周期．
（１６）（本小题共14分）
如图３所示，在四面体P ABC -中，已知6PA BC ==，10PC AB ==，8AC =
，
PB =
CF =
EF PB ⊥． （Ⅰ）证明：PB ⊥平面ＣＥＦ；
（Ⅱ）求二面角Ｂ－ＣＥ－Ｆ的大小．
（１７）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．
（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）AOB ∆
（１８）（本小题共12分）
箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为ｓ：ｔ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次．以ξ表示取球结束时已取到白球的次数． （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望．
C
B
（１９）（本小题共14分）
设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==． （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
（２０）（本小题共14分）
在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上． （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；
2005年广东省高考数学试题（A ）参考答案
一、选择题
1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B 二、填空题
11.{x|x<0} 12.4 13.22± 14. 5, )1)(2(2
1
+-n n 三、解答题 15．解：
X
x
x x x x k x k x f 2cos 4)23
sin(32)23cos(2)
23
sin(
32)23
2cos()23
2cos()(=+++=++--
+++
=π
ππ
π
ππ
π
函数f(x)的值域为4-; 函数f(x)的周期πω
π
==
2T ；
16．（I ）证明：∵2
2
2
1006436PC AC PA ==+=+ ∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证
△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形。

故PA ⊥平面ABC 又∵306102
1
||||21=⨯⨯==
∆BC AC S PBC 而
PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017
34
1534221||||21 故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB ∴PB ⊥平面CEF
（II ）由（I ）知PB ⊥CE, PA ⊥平面ABC ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE
在平面PAB 内，过F 作FF1垂直AB 交AB 于F1，则FF1⊥平面ABC ， EF1是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF ⊥EC 故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角。

3
5
610cot tan ===
∠=∠AP AB PBA FEB 二面角B —CE —F 的大小为35
arctan
17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=33
21
21y y y x x x (1)
∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)
又点A ，B 在抛物线上，有2
222
11,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴3
2332)3(31]2)[(31)(31322212212
22121+=+⨯=-+=+=+=
x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3
2
32
+=x y （II ）2221212222212221222221212
1))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==
∆
由（I ）得
1
22
12)1(221222122166
2616261=⨯=+-=+⋅≥++=
∆x x x x S AOB 当且仅当6
261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。

所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；
18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n ξ的分布列为
(II) ξ的数学希望为
n n
n n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )()()1(...)(2)(1011322+⨯
++⨯-+++⨯++⨯++⨯=--ξ…(1) 1
1
1113322)
()()1()()2(...)(2)(++---+++-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) －(2)得
n
n
n n n n t s nt t s t n t s s t s t E )()()1()(11++
+--+-=--ξ 19.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数,
由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩
⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-
)10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T
又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;
(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩
⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-
)10()(+=⇒x f x f
(II) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在
[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解. 20.解(I) （1）当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程2
1=y （2）当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1) 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k a k a
k k OG -=⇒-=-=⋅11
,
1 故G 点坐标为)1,(k G -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为)2
1,2(k M -
折痕所在的直线方程)2
(21k
x k y +=-，即222k k kx y ++= 由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时，2
1
=y ；0≠k 时222k k kx y ++
= （II ）(1)当0≠k 时，折痕的长为2;
(2) 当0≠k 时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21
(),21,0(22k k P k N +-+ 2
3
22222
4)1()21()21(k
k k k k PN y +=+-++== 4
32222/
168)1(42)1(3k k
k k k k y ⋅+-⋅⋅+=
令0/
=y 解得22-
=k ∴216
27max <=PN 所以折痕的长度的最大值2。