2016年中考数学试题分项版解析(第03期)专题09 三角形

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专题09 三角形
一、选择题
1.(2016广西省贺州市第7题)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为()
A.12 B.16 C.20 D.16或20
【答案】C
【解析】
考点:(1)、等腰三角形的性质;(2)、三角形三边关系
2.(2016广西省南宁市第5题)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是()
A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
【答案】C
【解析】
试题分析:根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米,在Rt△ABD中,利用∠B的正切进行计算即可得到AD 的长度.∵AB=AC,AD⊥BC,BC=10米,∴DC=BD=5米,在Rt△ADC中,∠B=36°,
∴tan36°=,即AD=BD•tan36°=5tan36°(米).
考点:解直角三角形的应用.
3.(2016湖北省荆州市第8题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=3,则DE的长为()
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】
试题分析:由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°,∵DE垂直平分AB,
∴DA=DB,∴∠B=∠DAB,∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB,∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°,
∴∠CAD=30°,∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC,∴CD=DE=BD,∵BC=3,∴CD=DE=1
考点:线段垂直平分线的性质
4.(2016湖南省邵阳市第8题)如图所示,点D是△ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确的是()
A.AC>BC B.AC=BC C.∠A>∠ABC D.∠A=∠ABC
【答案】A
【解析】
考点:等腰三角形的性质
5.(2016山东省聊城市第12题)聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一,也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标,如图,点O是摩天轮的圆心,长为110米的AB是其垂直地面的直径,小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°,测得圆心O的仰角为21°,则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为(tan33°≈0.65,tan21°≈0.38)()
A.169米 B.204米 C.240米 D.407米
【解析】
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题
6.(2016山东省泰安市第16题)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P 在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°=0.9272,sin46°=0.7193,sin22°=0.3746,sin44°=0.6947)()
A.22.48 B.41.68 C.43.16 D.55.63
【答案】B
【解析】
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68(海里)
考点:锐角三角函数的应用
7.(2016山东省泰安市第18题)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为()
A.44°B.66°C.88°D.92°
【答案】D
【解析】
考点:(1)、等腰三角形的性质;(2)、全等三角形的判定和性质;(3)、三角形的外角的性质
8.(2016云南省第14题)如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B .如果△ABD 的面积为15,那么△ACD 的面积为( )
A .15
B .10
C .
2
15 D .5 【答案】D
【解析】 试题分析:首先证明△ACD ∽△BCA ,由相似三角形的性质可得:△ACD 的面积:△ABC 的面积为1:4,因为△ABD 的面积为9,进而求出△ACD 的面积. ∵∠DAC=∠B ,∠C=∠C , ∴△ACD ∽△BCA ,
∵AB=4,AD=2, ∴△ACD 的面积:△ABC 的面积为1:4, ∴△ACD 的面积:△ABD 的面积=1:3, ∵△ABD 的面积为15, ∴△ACD 的面积∴△ACD 的面积=5.
考点:相似三角形的判定与性质
9.(2016浙江省温州市第9题)如图,一张三角形纸片ABC ,其中∠C=90°,AC=4,BC=3.现小林将纸片做三次折叠:第一次使点A 落在C 处;将纸片展平做第二次折叠,使点B 落在C 处;再将纸片展平做第三次折叠,使点A 落在B 处.这三次折叠的折痕长依次记为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系是( )
A .c >a >b
B .b >a >c
C .c >b >a
D .b >c >a
【答案】D
【解析】
第一次折叠如图1,折痕为DE , 由折叠得:AE=EC=AC=×4=2,DE ⊥AC ∵∠ACB=90° ∴DE ∥BC
∴a=DE=BC=×3=
第二次折叠如图2,折痕为MN , 由折叠得:BN=NC=BC=×3=,MN ⊥BC ∵∠ACB=90° ∴MN ∥AC
∴b=MN=AC=×4=2
第三次折叠如图3,折痕为GH ,由勾股定理得:AB==5
由折叠得:AG=BG=AB=×5=,GH ⊥AB ∴∠AGH=90° ∵∠A=∠A ,∠AGH=∠ACB
∴△ACB ∽△AGH ∴= ∴= ∴GH=,即c= ∵2>> ∴b >c >a
考点:翻折变换(折叠问题)
10.(2016重庆市第11题)如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ,从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°,旗杆低端D 到大楼前梯砍底边的距离DC 是20米,梯坎坡长BC 是12米,梯坎坡度i=1:3,则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米,参考数据:45.2673.1341.12≈≈≈,,) ( ) A.30.6米 B.32.1 米 C.37.9米 D.39.4米
【答案】D
【解析】
考点:三角函数的实际应用.
二、填空题
1.(2016四川省乐山市第14题)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC= °.
【答案】15.
【解析】
试题分析:∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∠AED=90°,∴∠A=∠ABD,∵∠ADE=40°,∴∠A=90°﹣40°=50°,
∴∠ABD=∠A=50°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=1
2
(180°﹣∠A)=65°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣
50°=15°,故答案为:15.
考点:1.线段垂直平分线的性质;2.等腰三角形的性质.
2.(2016广西省贺州市第16题)如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为.
【答案】120°
【解析】
考点:(1)、全等三角形的判定与性质;(2)、等边三角形的性质
3.(2016贵州省毕节市第19题)在△ABC 中,D 为AB 边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=22,AB=3则BD= 。

【答案】3
【解析】
试题分析:由∠BCD=∠A ,且∠BDC=∠A+∠ACD=∠ACB ,则△ABC ∽△CBD ,则
BC AB BC BD =,即2
2322=BD ,解得:BD=3
考点:三角形相似的判定及其性质
4.(2016湖北省荆州市第15题)全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图,张三同学在东门城墙上C 处测得塑像底部B 处的俯角为18°48′,测得塑像顶部A 处的仰角为45°,点D 在观测点C 正下方城墙底的地面上,若CD=10米,则此塑像的高AB 约为 米(参考数据:tan78°12′≈4.8).
【答案】58
【解析】
考点:解直角三角形的应用
5.(2016湖南省邵阳市第13题)将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′,使得B,C,A′三点在同一直线上,如图所示,则∠α的大小是.
【答案】120°
【解析】
试题分析:根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可.∵三角形ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,[源:∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′,使得B,C,A′三点在同一直线上,
∴∠BCA'=180°,∠B'CA'=60°,∴∠ACB'=60°,∴∠α=60°+60°=120°,
考点:(1)、旋转的性质;(2)、等边三角形的性质
6.(2016湖南省岳阳市第14题)如图,一山坡的坡度为i=1:,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了米.
【答案】100
【解析】
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题
14.7.(2016山西省第15题)如图,已知点C为线段AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连接AD,BE⊥AB,AE 是DAB
的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD于点H,则HG的长为
【答案】3-5
【解析】
考点:(1)、勾股定理;(2)、相似;(3)、平行线的性质;(4)、角平分线
8.(2016浙江省温州市第14题)如图,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则∠ACB′= 度.
【答案】46
【解析】
试题分析:∵∠A=27°,∠B=40°,∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°,
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,∴△ABC≌△A′B′C,∴∠ACB=∠A′CB′,
∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA,即∠BCB′=∠ACA′,∴∠BCB′=67°,
∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°,
考点:旋转的性质
9.(2016浙江省舟山市第15题)如图,已知△ABC和△DEC的面积相等,点E在BC边上,DE∥AB交AC于点F,AB=12,EF=9,则DF的长是多少?
【答案】7
【解析】
考点:相似三角形的判定与性质
10.(2016浙江省舟山市第16题)如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=3,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为.
【答案】4
【解析】
试题分析:首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形,分四种情况进行计算:①点P从O→B时,路程是线段PQ的长;②当点P从B→C时,点Q从O运动到Q,计算OQ的长就是运动的路程;③点P从C →A时,点Q由Q向左运动,路程为QQ′;④点P从A→O时,点Q运动的路程就是点P运动的路程;最后相加即可.在Rt△AOB中,∵∠ABO=30°,AO=1,∴AB=2,BO=2
21
2 =3
①当点P从O→B时,如图1、图2所示,点Q运动的路程为3,
②当点P从B→C时,如图3所示,这时QC⊥AB,则∠ACQ=90°
考点:解直角三角形
三、解答题
1.(2016广东省茂名市第21题)如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆CD的高度,先在教学楼的底端A点处,观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°,然后爬到教学楼上的B处,观测到旗杆底端D的俯角是30°,已知教学楼AB高4米.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD;(结果保留根号)
(2)求旗杆CD的高度.
【答案】(1)、43m;(2)、12m.
【解析】
试题分析:(1)、根据题意得出∠ADB=30°,进而利用锐角三角函数关系得出AD的长;(2)、利用(1)中所求,结合CD=AD•tan60°求出答案.
试题解析:(1)∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°,∴∠ADB=30°,
在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ADB=30°,AB=4m,∴AD===4(m),
答:教学楼与旗杆的水平距离是4m;
(2)∵在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,AD=4m,
∴CD=AD•tan60°=4×=12(m),
答:旗杆CD的高度是12m.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题
2.(2016广东省茂名市第24题)如图,在△ABC中,∠C=90°,D、F是AB边上的两点,以DF为直径的⊙O
与BC相交于点E,连接EF,过F作FG⊥BC于点G,其中∠OFE=∠A.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若sinB=,⊙O的半径为r,求△EHG的面积(用含r的代数式表示).
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、2
25
4r 【解析】
(2)、∵在Rt △OBE 中,sinB=,⊙O 的半径为r , ∴OB=r ,BE=r , ∴BF=OB+OF=r ,
∴FG=BF •sinB=r , ∴BG==r , ∴EG=BG ﹣BE=r ,
∴S △FGE =EG •FG=
r 2
,EG :FG=1:2, ∵BC 是切线, ∴∠GEH=∠EFG , ∵∠EGH=∠FGE ,
∴△EGH ∽△FGE , ∴=()=, ∴S △EHG =S △FGE =r 2.
考点:(1)、切线的判定;(2)、相似三角形的判定与性质;(3)、三角函数
3.(2016广东省梅州市第23题)本题满分10分.(为方便答题,可在答题卡上画出你认为必要的图形)
如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=5cm ,∠BAC=60°,动点M 从点B 出发,在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动,同时动点N 从点C 出发,在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动,设运动时间为t 秒(05≤≤t ),连接MN . (1)若BM=BN ,求t 的值;
(2)若△MBN 与△ABC 相似,求t 的值;
(3)当t 为何值时,四边形ACNM 的面积最小?并求出最小值.
【答案】(1)、103-15;(2)、t=25或t=715;(3)、t=2.5;最小值为38
75 【解析】
试题分析:(1)、根据Rt △ABC 的性质得出AB 和BC 的长度,然后根据BM=BN 得出t 的值;(2)、分△MBN ∽△ABC 和△NBM ∽△ABC 两种情况分别求出t 的值;(3)、根据四边形的面积等于△ABC 的面积减去△BMN 的面积得出函数解析式,从而求出最值.
试题解析:(1)、∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°,∴10=AB ,35=BC 由题意知t BM 2=,t CN 3=
,t BN 335-=, 由BM=BN 得t t 3352-=
解得:153103
235-=+=
t
(3)、过M 作MD ⊥BC 于点D ,可得:t MD = 设四边形ACNM 的面积为y , ∴MD BN BC AC S S y BMN ABC ⋅-⋅=
-=∆∆2121 t t ⋅--⨯⨯=)335(2
1
35521 2
325235232+
-=
t t 3875)25(232+-=t . ∴根据二次函数的性质可知,当25=
t 时,y 的值最小. 此时,38
75
=
最小y
考点:(1)、三角形的面积;(2)、三角形相似的性质;(3)、二次函数的图象及其性质
4.(2016广东省深圳市第20题)(8分)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园,如图,无人飞机从A 初飞行至B 处需8秒,在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°.B 处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)
【答案】8+83
考点:(1)、三角函数;(2)、两直线平行的性质
5.(2016广西省贺州市第22题)如图,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面10米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°,若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最
后结果保留一位小数).(参考数据: =1.414, =1.732)
【答案】需要拆除,答案见解析
【解析】
试题分析:根据正切的定义分别求出AB、DB的长,结合图形求出DH,比较即可
试题解析:由题意得,AH=10米,BC=10米,在Rt△ABC中,∠CAB=45°,∴AB=BC=10,
在Rt△DBC中,∠CDB=30°,∴DB==10,
∴DH=AH﹣AD=AH﹣(DB﹣AB)=10﹣10+10=20﹣10≈2.7(米),
∵2.7米<3米,
∴该建筑物需要拆除.
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题
6.(2016湖南省邵阳市第22题)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别
为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1cm.温馨提示:sin75°
≈0.97,cos75°≈0.26,).
【答案】67.3cm
考点:解直角三角形的应用
7.(2016宁夏第21题)在等边△ABC中,点D,E分别在边BC、AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过点E 作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求EF的长.
【答案】证明过程见解析
【解析】
考点:等边三角形的性质
21.8.(2016山西省第21题)(本题10分)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业,如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同,均为300cm ,AB 的倾斜角为︒30,BE=CA=50cm ,支撑角钢CD ,EF 与底座地基台面接触点分别为D ,F ,CD 垂直于地面,AB FE ⊥于点E .两个底座地基高度相同(即点D ,F 到地面的垂直距离相同),均为30cm ,点A 到地面的垂直距离为50cm ,求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm (结果保留根号)
【答案】
3
3
290cm 【解析】
试题分析:过点A 作CD AG ⊥,垂足为G ,利用三角函数求出CG ,从而求出GD ,继而求出CD . 连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ,利用三角函数求出CH ,由图得出EH ,再利用三角函数值求出EF. 试题解析:过点A 作CD AG ⊥,垂足为G . 则︒=∠30CAG ,在Rt ACG ∆中,252
1
5030sin =⨯
=︒⋅=AC CG
由题意,得203050=-=GD 452025=+=+=∴GD CG CD (cm )
连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H . 由题意,得︒=∠30H .在Rt CDH ∆中,
90230sin ==︒
=
CD CD
CH 290905050300=+--=+--=+=∴CH AC BE AB CH EC EH .
在Rt EFH ∆中,3
3
2903329030tan =
⨯=︒⋅=EH EF (cm ) 答:支角钢CD 的长为45cm ,EF 的长为
3
3
290cm
考点:三角函数的应用
9.(2016云南省第16题)如图:点C 是AE 的中点,∠A=∠ECD ,AB=CD ,求证:∠B=∠D .
【答案】证明过程见解析
考点:全等三角形的判定与性质
10.(2016浙江省舟山市第19题)太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一,老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面,改建前屋顶截面△ABC 如图2所示,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后顶点D 在BA 的延长线上,且∠BDC=90°,求改建后南屋面边沿增加部分AD 的长.(结果精确到0.1米)
(参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95.tan18°≈0.32,sin36°≈0.59.cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
【答案】1.9米
【解析】
考点:解直角三角形的应用
E.
11.(2016重庆市第19题)如图,在△ABC和△CED中,AB//CD,AB=CE,AC=CD,求证:∠B=∠
【答案】证明过程见解析
【解析】
试题分析:根据AB//CD得出∠DCA=∠CAB,结合AB=CE,AC=CD得出△CAB≌△DCE,从而得出答案.
试题解析:∵AB//CD,∴∠DCA=∠CAB 又∵AB=CE,AC=CD,∴△CAB≌△DCE ∴∠B=∠E.
21。

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