2017-2018学年人教A版高中数学选修1-2课件：第二章2.2-2.2.2反证法
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第二章
推理与证明
2.2 直接证明与间接证明 2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方 法(重点).2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题(重点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．反证法 (1)反证法是间接证明的一种基本方法． (2)一般地， 假设原命题不成立(即在原命题的条件下， 结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说 明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫 作反证法．
解析：“至少有一个内角不大于 60°”的否定“三个 内角都大于 60°” ∴反设应是“假设三内角都大于 60°” ． 答案：B
4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有 三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与 三角形内角和为 180°矛盾，故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠ B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原 结论成立．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．(
解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
归纳升华
1．证明时先由函数零点存在性定理判定函数 f(x)在 (a，b)内有零点，再由反证法证明零点的唯一性． 2．反证法证明唯一性命题的适用类型： (1) 当证明结论是 “ 有且只有 ”“ 只有一个 ”“ 唯 一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以 用反证法证明唯一性比较简单．
2 2 所以 a2 (1 ＋ q ) ＝ a · a (1 ＋ q ＋ q )． 1 1 1
因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 所以 q＝0，这与等比数列的公比 q≠0 矛盾． 故数列{Sn} 不是等比数列． (2)当 q≠1 时，假设{Sn}是等差数列， 则有 2S2＝S1＋S3，即 2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)． 因为 a1≠0，所以 q(q－1)＝0.
温馨提示 反证法不是通过证明逆否命题来证明原 命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错 误的，从而肯定原命题正确．
2．反证法的一般步骤 用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正 确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原 命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤： (1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论 的反面为真； (2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确 的推理，得出矛盾；
(2)反证法证题时，若结论的反面有多种情况，必须 将各种情况一一驳倒，才能推断结论成立．
[变式训练] 设{an}是等比数列，公比为 q，Sn 为它 的前 n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列． (2)当 q≠1 时，数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 证明：(1)假设{Sn}是等比数列， 则 S2 2＝S1·S3，
又 q≠1，所以 q＝0. 这与 q≠0 矛盾． 故{Sn}不是等差数列．
类型 2 用反证法证明“唯一性”命题 [典例 2] 若函数 f(x)在区间[a， b]上的图象连续不断 开，f(a)<0，f(b)>0，且 f(x)在[a，b]上单调递增，求证： f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 证明：由于 f(x) 在 [a ， b] 上的图象连续不断开，且 f(a)<0，f(b)>0，即 f(a)· f(b)<0，
解析：反证法的步骤为：反设―→归谬―→存真 ∴正确顺序为③①②. 答案：③①②
5．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则 a＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________． 解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1 或 b≠1”，所以 假设为 a≠1 或 b≠1. 答案：a≠1 或 b≠1
2．命题“△ABC 中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论 的否定应该是( A．a<b C．a＝b 答案：B ) B．a≤b D．a≥b
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个 不大于 60°”时，反设正确的是( A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至多有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60° )
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0
又 f(0)，f(1)均为奇数， 所以 c 为奇数，a＋b 为偶数，则 an2＋bn＝－c 为奇 数，即 n(an＋b)为奇数． ∴n，an＋b 均为奇数． 又 a＋b 为偶数， ∴an－a 为奇数，即 a(n－1)为奇数
所以 f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为 m， 则 f(m)＝0， 假设 f(x)在(a，b)内还存在另一个零点 n，即 f(n)＝0， 则 n≠m. 若 n>m，则 f(n)>f(m)，即 0>0，矛盾； 若 n<m，则 f(n)<f(m)，即 0<0，矛盾．
因此假设不正确，即 f(x)在(a，b)内有且只有一个零 点．
∴n－1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾． ∴f(x)＝0 无整数根．
பைடு நூலகம்
归纳升华 1．证题的关键是根据 f(0)，f(1)均为奇数，分析出 a， b，c 的奇偶情况，并应用．
2 ． (1) 当要证的结论中含有 “ 不 ”“ 不是 ”“ 不可 能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具 体，适于应用反证法．通过反设，用转化后的命题作为条 件进行推理，导出矛盾，达到证明目的．
推理与证明
2.2 直接证明与间接证明 2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方 法(重点).2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学 问题(重点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．反证法 (1)反证法是间接证明的一种基本方法． (2)一般地， 假设原命题不成立(即在原命题的条件下， 结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说 明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫 作反证法．
解析：“至少有一个内角不大于 60°”的否定“三个 内角都大于 60°” ∴反设应是“假设三内角都大于 60°” ． 答案：B
4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有 三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与 三角形内角和为 180°矛盾，故假设错误； ②所以一个三角形不能有两个直角； ③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠ B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原 结论成立．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．(
解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
归纳升华
1．证明时先由函数零点存在性定理判定函数 f(x)在 (a，b)内有零点，再由反证法证明零点的唯一性． 2．反证法证明唯一性命题的适用类型： (1) 当证明结论是 “ 有且只有 ”“ 只有一个 ”“ 唯 一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以 用反证法证明唯一性比较简单．
2 2 所以 a2 (1 ＋ q ) ＝ a · a (1 ＋ q ＋ q )． 1 1 1
因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 所以 q＝0，这与等比数列的公比 q≠0 矛盾． 故数列{Sn} 不是等比数列． (2)当 q≠1 时，假设{Sn}是等差数列， 则有 2S2＝S1＋S3，即 2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)． 因为 a1≠0，所以 q(q－1)＝0.
温馨提示 反证法不是通过证明逆否命题来证明原 命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错 误的，从而肯定原命题正确．
2．反证法的一般步骤 用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正 确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原 命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤： (1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论 的反面为真； (2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确 的推理，得出矛盾；
(2)反证法证题时，若结论的反面有多种情况，必须 将各种情况一一驳倒，才能推断结论成立．
[变式训练] 设{an}是等比数列，公比为 q，Sn 为它 的前 n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列． (2)当 q≠1 时，数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 证明：(1)假设{Sn}是等比数列， 则 S2 2＝S1·S3，
又 q≠1，所以 q＝0. 这与 q≠0 矛盾． 故{Sn}不是等差数列．
类型 2 用反证法证明“唯一性”命题 [典例 2] 若函数 f(x)在区间[a， b]上的图象连续不断 开，f(a)<0，f(b)>0，且 f(x)在[a，b]上单调递增，求证： f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 证明：由于 f(x) 在 [a ， b] 上的图象连续不断开，且 f(a)<0，f(b)>0，即 f(a)· f(b)<0，
解析：反证法的步骤为：反设―→归谬―→存真 ∴正确顺序为③①②. 答案：③①②
5．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则 a＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________． 解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1 或 b≠1”，所以 假设为 a≠1 或 b≠1. 答案：a≠1 或 b≠1
2．命题“△ABC 中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论 的否定应该是( A．a<b C．a＝b 答案：B ) B．a≤b D．a≥b
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个 不大于 60°”时，反设正确的是( A．假设三内角都不大于 60° B．假设三内角都大于 60° C．假设三内角至多有一个大于 60° D．假设三内角至多有两个大于 60° )
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0
又 f(0)，f(1)均为奇数， 所以 c 为奇数，a＋b 为偶数，则 an2＋bn＝－c 为奇 数，即 n(an＋b)为奇数． ∴n，an＋b 均为奇数． 又 a＋b 为偶数， ∴an－a 为奇数，即 a(n－1)为奇数
所以 f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为 m， 则 f(m)＝0， 假设 f(x)在(a，b)内还存在另一个零点 n，即 f(n)＝0， 则 n≠m. 若 n>m，则 f(n)>f(m)，即 0>0，矛盾； 若 n<m，则 f(n)<f(m)，即 0<0，矛盾．
因此假设不正确，即 f(x)在(a，b)内有且只有一个零 点．
∴n－1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾． ∴f(x)＝0 无整数根．
பைடு நூலகம்
归纳升华 1．证题的关键是根据 f(0)，f(1)均为奇数，分析出 a， b，c 的奇偶情况，并应用．
2 ． (1) 当要证的结论中含有 “ 不 ”“ 不是 ”“ 不可 能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具 体，适于应用反证法．通过反设，用转化后的命题作为条 件进行推理，导出矛盾，达到证明目的．