高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案

第九章 欧氏空间
1.设()
ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而
),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,
在n
R 中定义内积βαβα'A =),(,
1) 证明在这个定义之下, n
R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量
)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见
βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且
(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j
i j i
ij y x a
,),(αααα，
由于
A 是正定矩阵，因此
∑j
i j i
ij y x a
,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有
0),(=αα。

2)设单位向量
)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，
的度量矩阵为
)(ij b B =，则
)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a
a a a
2
1
22222
11211)(010j ⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，
因此有
B A =。

4) 由定义，知
∑=j
i j
i ij y x a ,),(βα，
,(,)ij i j
i j
a x x
ααα==
∑，
,(,)ij
i j
i j
a
y y βββ==
∑，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
2.在4
R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

解 1)由定义,得
012)1(32112),(=⨯+-+⨯+⨯=βα，
所以
2,π
βα>=
<。

2)因为
1813521231),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα， 1833222211),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα， 3633221133),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα，
2236
1818,cos =
>=
<βα，
所以
4,π
βα>=<。

3)同理可得
3),(=βα, 17),(=αα, 3),(=ββ, 773,cos >=
<βα，
,,,ij i j
ij i
j
ij
i j
i j
i j
i j
a x y
a x x a
y y ≤
∑∑∑
所以
773cos ,1
->=<βα。

3. β
αβα-=
),(d 通常为βα,的距离，证明；
),(),(),(γββαβαd d d +≤。

证 由距离的定义及三角不等式可得
)()(),(γββαγαβα-+-=-=d
γββα-+
-≤
),(),(γββαd d +=。

4在R 4
中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。

解 设()4321,,,x x x x =α与三个已知向量分别正交，得方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+--=+-+0
3200
4321
43214321x x x x x x x x x x x x ， 因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令 x 3,0,414213-===⇒=x x x ，即()3,1,0,4-=α。

再将其单位化，则 ()3,1,0,426
1
1-=
=αηa ， 即为所求。

5．设n α
αα ,,21是欧氏空间
V 的一组基，证明：
1） 如果V ∈γ使()(),,,2,10,n i i ==αγ，那么0=γ。

2） 如果V ∈21,γγ使对任一V ∈α有()()αγαγ,,21=，那么21γγ=。

证 1)因为n α
αα ,,21为欧氏空间
V 的一组基，且对V ∈γ，有
()()n i ,,2,10, =αγ ，
所以可设n n k k k αααγ ++=2211， 且有
()()
()()()
n n n n k k k k k k αγαγαγαααγγγ,,,,,22112211+++=+++=
即证0=γ。

2)由题设，对任一V ∈α总有
()()αγ
αγ,2
11
=，特别对基i α也有
()()i i αγαγ
,211
=，或者()()n i i ,,2,10,21 ==-αγγ，
再由1)可得021=-γγ，即证21γγ=。

6设3,2,1εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
()()()
321332123211223
1
2231
2231
εεεαεεεαεεεα--=+-=-+=
也是一组标准正交基。

证 因为
()()3213212122,2291,εεεεεεαα+--+=
()()()[]3322112,,22,291
εεεεεε-+-+=
[]0)2()2(49
1
=-+-+=，
同理可得
()()0,,3231==αααα， 另一方面 ()()3213211122,2291
,εεεεεεαα-+-+=
()()()[]332211,,4,491
εεεεεε--++= 1)144(9
1
=++=， 同理可得
()()1,,3322==αααα，
即证321,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。

7.设54321,,,,εεεεε也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基, ()3221,,αααL V =，其中
511εεα+= , 4212εεεα+-= , 32132εεεα++=， 求1V 的一组标准正交基。

解 首先证明321,,ααα线性无关.事实上，由
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=00
1010100
110
211),,,,(),,(54321321εεεεεααα， 其中 ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=00101010
011
0211A 的秩为3，所以321,,ααα线性无关。

将正交化，可得
5111εεαβ+==，
=-
=),(),(112222βββααβ5
42121
2
1εεεε-+-， 单位化，有
)(2
2
511εεη+=
， )22(1010
54212εεεεη-+-=
， )(2
153213εεεεη-++=，
则321,,ηηη为1V 的标准正交基。

8. 求齐次线性方程组
⎩⎨
⎧=+-+=-+-+00
325321
54321x x x x x x x x x 的解空间(作为5
R 的子空间)的一组标准正交基。

解 由
⎩⎨
⎧+--=+--=-3
2153
215423x x x x x x x x x 可得基础解系为
)1,5,0,0,1(1--=α，)1,4,0,1,0(2--=α，)1,4,1,0,0(3=α，
它就是所求解空间的一组基。

将其正交化，可得
)1,5,0,0,1(11--==αβ，
)
2,1,0,9,7(9
1
),(),(1111222---=-
=ββββααβ，
)2,1,15,6,7(15
1
),(),(),(),(222231111333=--
=ββββαββββααβ，
再将321,,βββ单位化,可得 )1,5,0,0,1(3
311--=
η，)2,1,0,9,7(15
312---=
η，)2,1,15,6,7(35
313=
η，
则321,,ηηη就是所求解空间的一组标准正交基。

9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=⎰
-dx x g x f )()(1
1
求R[X]4的一组标准正交基(由基
1.3
2
,,χχχ出发作正交化)。

解 取R[X]4的一组基为,,,,1342321x x x ====αααα将其正交化,可得111==αβ，
x =-
=1111222)
,(),(ββββααβ，其中(⎰=∙=-01),1
112dx x βα，又因为
⎰===-3
2),(),(21
12213dx x βββα， ⎰
=∙=-211),(11
11dx ββ， ⎰=∙=-0),(21
123xdx x βα，
所以3
1
),(),(),(),(2222231111333-=--
=x ββββαββββααβ，
同理可得x x 5
3
),(),(),(),(),(),(333334222241111444-=---
=ββββαββββαββββααβ，
再将4321,,,ββββ单位化，即得2
2
1
11
1=
=
ββη，
x
26
1
22
2=
=
ββη，)13(41023-=x η，)35(41434x x -=η，
则4321,,,ηηηη即为所求的一组标准正交基。

10.设V 是一n 维欧氏空间,0≠α是V 中一固定向量, 1)证明:V },0),(|{1V x a x x ∈==是V 的一个子空间； 2)证明:V 1的维数等于n-1。

证 1)由于0,01V ∈因而V 1非空.下面证明V 1对两种运算封闭.事实上,任取,,121V x x ∈ 则有 (0),(),21==ααx x ，于是又有(0)()(),2121=+++=+αααx x x x ，
所以121x x V +∈。

另一方面，也有 (0),(),11==ααx k kx ， 即11kx V ∈。

故V 1是V 的一个子空间。

2)因为0≠α是线性无关的，可将其扩充为V 的一组正交基2,,n αηη ，且(0),=αηi (),3,2n i =，1(2,3,)i V i n η∈= 。

下面只要证明:对任意的ββ,1V ∈可以由n ηηη ,,32线性表出，则1V 的维数就是1-n 。

事实上，对任意的1V ∈β，都有V ∈β，于是有线性关系n n k k k ηηαβ+++= 221，且 ),(),(),(),(221αηαηαααβn n k k k +++= ， 但有假设知 ),,2,1(0),(),(n i i ===αηαβ，
所以0),(1=ααk ，又因为0≠α，故01=k ，从而有n n k k ηηβ++= 22， 再由β的任意性，即证。

11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。

2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。

证：1）设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是欧氏空间V 的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是)(ij a A =和)(ij b B =，另外，设n ααα,,,21 到
n βββ,,,21 的过渡矩阵为
)(ij c C =，即⎪⎩⎪
⎨⎧+++=+++=n nn n n n
n n c c c c c c α
ααβαααβ 221112121111 ，
),(),(1111n nj j n ni i j i ij c c c c b ααααββ++++==
=
∑=++n
k n nj j k ki
c c c
111),(ααα
=
∑∑==n
k n
s s k sj
ki c c
11),(αα
=
∑∑==n
k n
s ks si
ki c c
11
α，
另一方面,令
)(),(''ij ij e DC AC C d A C D ====， 则D 的元素为
∑==n
k ks ki is c d 1
α，
故AC C '
的元素
∑∑∑=======n s n
n ij sj ks ki n s sj is ij n j i b c c c d e 1
1
1
),2,1,()( α，
即证B AC C ='。

再由,,,,;,,,2121n n βββααα 皆为V 的基，所以C 非退化，从而B 与A 合同。

2）在欧氏空间V 中，任取一组基n ααα,,,21 ，它的度量矩阵为),(ij a A =其中
(,)i j i j ααα=，且度量矩阵A 是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即AC C E '=。

于是只要
C n n ),,,(),,,(2121αααβββ =，
则由上面1）可知基n βββ,,,21 的度量矩阵为E ，这就是说，n βββ,,,21 就是所求的标准正交基。

12．设
n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 中的一组向量，而
111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)
(,)m m m m m m αααααααααααααααααα⎛⎫
⎪
⎪
∆= ⎪
⎪
⎝⎭
证明：当且仅当0∆≠时m ααα,,21 线性无关。

证 设有线性关系
02211=+++m m k k k ααα ， 将其分别与i α取内积，可得方程组
),,2,1(0),(),(),(2211m i k k k m i m i i ==+++αααααα，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。

13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。

证 设
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=nn n n a a a a q a A 222
11211为上三角矩阵，则
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-nn n n b b b b b b A 222
112
111也是上三
角矩阵。

由于A 是正交阵，所以'1
A A
=-，即
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=nn n n nn n
n
b b b b b b a a a a a a A
222
11211212212
11
，
所以)(0j i a ij ≠=，因而
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=nn a a a A
22
11
为对角阵。

再由,'E A A =知12=ii a ，即证1=ii a 或-1。

14．1）设A 为一个n 阶矩阵，且0≠A ，证明A 可以分解成
A=QT ，
其中Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n t t t t t t T 22211211
，
且),2,1(0n i t ii =>，并证明这个分解是唯一的； 2)设A 是n 阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T ，使 T T A '
=。

证 1)设A 的n 个列向量是,.,21n a a a 由于0A ≠，因此n a a a ,,,21 是线性无关的。

从而它们也是V 的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧
+
---=+-==--n n n n n n n n αβηβηαηβηαηαβηαβηααη1
),(),(1),(11111122
122211
1 ， 其中
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧
---=-==--1111122211),(),(),(n n n n n n ηηαηααβηηααβαβ ，
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧+++=+==n
nn n n n t t t t t t ηηηαηηαηα 221122*********，
其中),,2,1(0n i t i ii =>=
β。

即
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛==nn n n n n t t t t t t A 222
11211
2121),,,(),,(ηηηααα，
令⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=nn n t t t T 111，则T 是上三角矩阵,且主对角线元素0>ii t 。

另一方面，由于i η是n 维列向量，不妨记为
),2,1(21n i b b b ni i i i =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=η，
且令
),,,(211111n nn n n b b b b Q ηηη =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=，
则有QT A =,由于n ηηη,,,21 是一组标准正交基，故Q 是正交矩阵。

再证唯一性，设QT T Q A ==11是两种分解，其中1,Q Q 是正交矩阵，1,T T 是主对角线元素大于零的上三角阵，则111
1--=T T Q Q ，由于111
1,--T T Q Q 从而是正交矩阵也是正交矩阵,且11-T T 为上三角阵，因此, 11-T T 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是1T T 与的主对角线元大于零，所以11-T T 的主对角线元只能是1，故E T T =-11，即证T T =1。

进而有1Q Q =,从而分解是唯一的。

2)因为A 是正定的，所以A 与E 合同，即存在可逆阵C 使C C A '=,再由1)知QT C =,其中Q 是正交矩阵T 为三角阵，所以T T QT Q T A '''==。

15.设η是欧氏空间中一单位向量，定义ηαηαα),(2-=A ，
证明:1)A 是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2) A 是第二类的；
3)如果n 维欧氏空间中正交变换A 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间
1V 的维数为1-n ，那么A 是镜面反射。

证:1)βα,∀,有:ηβαηβαβα),(2)(212121k k k k k k A +-+=+
βαηβηηαηβαA k A k k k k k 212121),(2),(2+=--+=， 所以A 是线性变换。

又因为 ]),(2,),(2[),(ηβηβηαηαβα--=A A
),)(,)(,(4),)(,(2),)(,(2),(ηηβηαηβηαηβηαηβα+--=， 注意到1),(=ηη，故),(),(βαβα=A A ,此即A 是正交变换。

2)由于η是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基n εεη,,,2 ,则
⎩⎨
⎧==-=-=-=),,3,2(),(2),(2n i A A i i i i
εηεηεεη
ηηηηη，
即 ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=111),,,(),,,(22
n n A εεηεεη， 所以A 是第二类的。

3) A 的特征值有n 个，由已知A 有1-n 个特征值为1，另一个不妨设为0λ，则存在
一组基n εεε,,,21 使⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=11),,,(),,,,(02121 λεεεεεεn n A ， 因为A 是正交变换，所以),(),(),(112
01111εελεεεε==A A ， 但00≠λ，所以10-=λ，于是
)
,,3,2(0),(),,3,2(,111n i n i A A i i ====-=εεεεεε
现令11
1
ηεε=
，则η是单位向量，且与n εε,,2 正交，则n εεη,,,2 为欧氏空间 V
的 一组基。

又因为
n
n k k k A A A εεηαη
εεεεεεη+++=-=-=
=
= 22111
11
11
)(1
1
)1
(
，
n n n n k k k A k A k A k A εεηεεηα+++-=+++= 221221， 1221),(),(k k k k n n =+++=ηεεηηα ，
所以
n n k k k εεηηαηα+++-=- 221),(2，即证。

16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。

证:设ξ是属于特征值λ的特征向量，即λξξ=A ，则
ξξξξξξξξξξ)'()'('')'(''A A A A A -=-=-=-=，
于是
λλξξλξξλ-=⇒-=''，
令a bi λ=+，可得0=a ，即证bi =λ。

17.求正交矩阵T 使AT T '成对角形，其中A 为
1)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----02021
2022 2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222 3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛00
41
001441001400
4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------------1333313333133331 5)
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛11
11111111111111
解1）由
()()()24120212022
+--=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=-λλλλλλλA E ，
可得A 的特征值为2,4,1321-===λλλ。

对应的特征向量为
()()(),2,2,1,1,2,2,2,1,2321=-=--=ααα
将其正交单位化，可得标准正交基为 ,3
2
,
31,3
2
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
=η ,3
1,
3
2,3
22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=η ,3
2,3
2
,3
13⎪⎭
⎫ ⎝⎛=η 故所求正交矩阵为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21222112231T 且⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=241'
AT T 。

2）由
()()1015424522222
--=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-λλλλλλA E ，
可得
A 的特征值为10,1321===λλλ。

103=λ的特征向量为
(),1,2,11--=α
121λλ==的特征向量为
(),0,1,22-=α (),1,1,23=α
正交化，可得
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=--=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ，
再单位化，有:()()()5,4,25
31,0,1,251,2,2,131
321=-=--=
ηηη， 于是所求正交矩阵为
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
-
-=5350325345
132
5325
231T 且⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=1110'AT T 。

3）由()()()()3355041014410
140+-+-=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--------=-λλλλλλλλλA E ，
可得
A 的特征值为3,3,5,54321-==-==λλλλ，
相应的特征向量为 ()()1,1,1,1,1,1,1,121--==αα，
()()1,1,1,1,1,1,1,143--=--=αα，
将其正交单位化，可得标准正交基为
()()1,1,1,121,1,1,1,121
21--==ηη， ()()1,1,1,1,1,1,1,12
1
43--=--=ηη，
故所求正交矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1,1,1,11
,1,1,11,1,1,11,1,1,121T 且⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=3355'
AT T 。

4）由()()8413333
133********
3
-+=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-+--+-+=-λλλλλλλA E ， 可得A 的特征值为4,84321-====λλλλ。

相应的特征向量为
()()0,0,1,1,1,1,1,121=--=αα，
()()1,0,0,1,0,1,0,143=-=αα，
正交化后得
()()0,0,1,1,11,1,121=--=ββ，
⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=1,31,
31
,31
,0,1,21,21
43ββ， 再单位化，可得 ⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--
=0,0,21
,21
,21,21,
21,2121ηη， ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=323,
3
21,321
,3
21,,0,62
,
6
1,
6143ηη， 故所求正交矩阵为
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---
-=3230
2
13216202132161212
1321
6
12121
T 且 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=4448'AT T 。

5）由()411111
1111111111
13
-=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----------------=-λλλλλλλA E ， 可得A 的特征值为0,44321====λλλλ。

相应的特征向量为
()()0,0,1,1,1,1,1,121-==αα，
()()1,0,0,1,0,1,0,143-=-=αα， 将其正交化，可得
()()0,0,1,1,1,1,1,121=--=ββ，
⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=1,31,
31,
31
,0,1,21,2143ββ， 再单位化后，有
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛--=0,0,
21,21,21,
21
,
21`
,21
21ηη，
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
=323,321,321,3
21,0,62
,
6
1,
6
143ηη， 故所求正交矩阵为
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---
-=3230
2
13216202132161212
1321
6
12121
T 且⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0008'AT T 。

18用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1）32212
322214432x x x x x x x --++； 2）32312123222184422x x x x x x x x ++---；
3）432122x x x x +；
4）43423241312124232221264462x x x x x x x x x x x x x x x x -+--+-+++。

解 1)设原二次型对应的矩阵为A ，则
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=320222021A ，
且A 的特征多项式为
)5)(1)(2(-+-=-λλλλA E ，
特征值为
5,1,2321=-==λλλ，
相应的特征向量为
()()1,2,2,2,1,221=--=αα，
()2,2,13-=α，
单位化后，有 ()()()2,2,13
1,1,2,231,2,1,231
321-==--=
ηηη， 令X=TY ，其中
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=21222112231T ，
则
2
3
222152'y y y AX X +-=。

2)原二次型对应的矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=242422221A ，
且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，
特征值为
2,7321==-=λλλ。

相应的特征向量为
()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，
正交化,可得
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,
5
2
,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=535,534,532,0,51
,52,32,32,
31
321ηηη， 令X=TY ，其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
=5350325345
132
5325
231T ， 则
2
3
2221'227y y y AX X ++-=。

3)原二次型对应的矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=01
0010000001
0010
A ， 且A 的特征多项式为
22)1()1(-+=-λλλA E ，
特征值为
1,14321-====λλλλ。

相应的特征向量为 ()()1,1,0,0,0,0,1,121==αα，
()()1,1,0,0,0,0,1,143-=-=αα，
标准正交基为
()()1,1,0,02
1,0,0,1,1212=
=
ηη，
()()1,1,0,0,0,0,1,
12
143-=-=
ηη，
令X=TY ，其中
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--=
10101010010101
0121T ， 则
2
4
232221'y y y y AX X --+=。

4)原二次型对应的矩阵为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--------=11321
12332112311A ， 且A 的特征多项式为
)7)(3)(1)(1(++-+=-λλλλλA E ，
特征值为
3,1,7,14321-=-===λλλλ。

相应的特征向量为
()()1,1,1,1,1,1,1,121--==αα，
()()1,1,1,1,1,1,1,143--=--=αα，
标准正交基为
()()1,1,1,12
1,1,1,1,121
21--==
ηη， ()()1,1,1,12
1,1,1,1,
12
143--=
--=
ηη，
令X=XY ，其中
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛------=111111111111111121T ， 故
2
4
232221'37y y y y AX X --+=。

19.设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零。

证明 二次型AX X '
经过正交变换X=TY ，可使
2
222211'n n y y y AX X λλλ+++= ， 其中n λλλ,,,21 为A 的特征根。

由于A 为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是0(1,2,,)i i n λ>= ，即证。

20.设A 是n 级实矩阵，证明：存在正交矩阵T 使AT T '
为三角矩阵的充分必要条件是A 的特征多项式的根是实的。

证明 为确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。

先证必要性，设
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=nn n n
c c c c c c AT T λ
222
11211'
，
其中T ，A 均为实矩阵，从而ij c 都是实数。

又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以
)
())((2211222
112
11
1nn nn n n c c c c c c c c c AT T E A E ---=⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛------=-=--λλλλλλλλ
从而A 的n 个特征根nn c c c ,,,1211 均为实数。

再证充分性，设s λλλ,,,21 为A 的所有不同的实特征根，则A 与某一若尔当形矩阵J 相似，即存在可逆实矩阵0P ，使
J AP P =-010，
其中
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=S J J J 1， 而
),,2,1(111
s i J i i i
i i
=⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=λλλλ， 由于i λ都是实数,所以J 为上三角实矩阵。

另一方面，矩阵0P 可以分解为 000S T P =， 其中0T 是正交矩阵，0S 为上三角矩阵，于是
J S AT T S AP P ==---001
01
001
0，
即
1
00010--=JS S AT T 。

由于100,,-S J S 都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。

21.设A ，B 都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T 使B AT T =-1
的充分必要
条件是A ，B 的特征多项式的根全部相同。

证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。

现证充分性，设n λλλ,,,21 是A 的特征根，则它们也是B 的特征根。

于是存在正交矩阵X 和Y ，使
BY
Y AX X 1
411--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=λλ
λ，
所以
YX
1
-AXY
1
-=B 。

令T=XY
1
-则T 也是正交矩阵，从而T
1
-AT=B,，即 证。

22.设A 是n 级实对称矩阵，且A 2
=A ，证明：存在正交矩阵T 使得
T 1
-AT=⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛00111 。

证 设λ是A 的任一特征值，ξ是属于λ的特征向量，则
A ξ=λξ, A 2
ξ=A(λξ)=λA ξ=λ
2
ξ，
由于
A 2
=A ⇒λ
2ξ=λξ⇒(λ2-λ)ξ=0，
又因为0ξ≠，所以λ
2
-λ=0，即得
λ1=0,λ2=1。

换句话说，A 的特征值不是1就是0。

故存在正交矩阵T ，使
T 1
-AT=⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛00111 。

上式中，对角线元素中1的个数为A 的特征值1的个数，0的个数是A 的特征值0的个数.。

23.证明：如果A 是n 维欧氏空间的一个正交变换，那么A 的不变子空间的正交补也是的A 不变子空间。

证 设W 是A 的任意一个不变子空间，现证W ⊥
也是A 的不变子空间。

任取∈αW ⊥
, 下证A
∈αW ⊥。

取ξ
1
，ξ
2
， ξ
m
是W 的一组标准正交基，再扩
充成V 的一组标准正交基为ξ1，ξ
2
， ξm
，ξ
1+m ，
，ξ
n
，则
W=L (ξ1，ξ
2
， ξm
), W ⊥
=L (ξ1+m ，
，ξ
n
)。

因为A 是正交变换，所以A ξ1，A ξ
2
A ξ
n
也是一组标准正交基，由于W 是A —
—子空间，A ξ
1
，A ξ
2
A ξm
∈W ，且为的一组标准正交基，于是
A ξ
1+m ，
，A ξ
n
∈W ⊥，
所以
A α=k 1+m A ξ1+m + +k n A ξn
∈W ⊥。

24. 欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有 （A
α，β）= —（ α，A β）。

证明： 1)A 为反对称的充分必要条件是：A 在一组标准正交基下的矩阵A 为反对称的。

2)如果V 1是反对称线性变换的不变子空间，则V 1⊥
也是。

证 1）必要性。

设A 是反对称的，ξ
1
，ξ
2
， ξ
n
是一组标准正交基。

则
A ξi = k 1i ξ
1
+k 2i ξ
2
+ +k in ξ
n
(I=1,2, ,n)，
(A ξi ,ξ
j
)= k
i j ,
(A ξ
j
,ξi )= k ji ，
由反对称知
(A ξi ,ξj
)= —（ξi ，A ξ
j
）⇒ k
ij
= --k ji ，
从而
),2,1,(0
n j i j i k j i k ji
ij =⎩⎨⎧≠-==时当时当，
故
A (ξ1，ξ2， ξn )= (ξ1，ξ2， ξn )⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---000
21212
112 n
n
n n k k k k k k =(ξ1，ξ
2
， ξ
n
)A ，
充分性。

设A 在标准正交基ξ1，ξ
2
， ξ下的矩阵为A ，有已知，有
(A ξi ,ξ
j
)= —（ξi ，A ξ
j
），
对任意α，β∈V ，设
ξα1a =1n n a ξ++ ， 1ξβb =n n b ξ++ ，
则
（A
α，β）=（n n n n b b A a A a ξξξξ++++ 1111,）=∑j
i j i j i A A b a ,),(ξξ。

同理
()()∑=j
i j i j i A b a A ,,,ξξβα，
故
（A
α，β）= —（ α，A β）
， 所以A 是反对称的。

2）任取∈αV 1
⊥
，可证A
∈αV 1⊥
，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是
A 子空间，因此A β1V ∈，而 ∈αV 1⊥
，故（ α，A β）=0。

再由题设，A 是反对称的，知
（A
α，β）= —（ α，A β）=0，
由β的任意性，即证A
∈αV 1 。

从而V 1⊥
也是A 子空间。

25.证明:向量β∈V 1是向量α在子空间V 1上的内射影的充分必要条件是：对任意,
1V ∈ξ
有ξαβα-≤-。

证 必要性，设β∈V 1是α在V 1上的内射影，则γβα+=,⊥∈1V γ，
111,,.
V V V αβγαβαβξαβαξ⊥⇒-=-∈⇒-⊥∀∈-≤-于是，有
111111.,,,,,.
V V αβγβγαβαβαβαβαβαβ⊥=+∈∈-≤--≤--=-充分性设，那么是的内射影，由必要性的证明知另一方面，由充分性假设又有所以 ()()()()()
()()()()
1111111111αββγβββγ
αβαβββγββγββββγγββββαβαβ-=+-=-+--=-+-+=--+=--+--因为，，，，，， ()()()1111,0,
,αβαβαβαββββββββα--=----==由于，，因此，从而换句话说，就是在上的内射影。

26设的两个子空间。

证明：
是欧氏空间V V V 21, ()()⊥
⊥⊥⊥
⊥⊥+=⋂⋂=+2
1212121V V V V V V V V ()()()()12121121121212121212
121212121210,,.
...,,,,,
,,V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V ααβββαβαααααααααββββββαββαα⊥
⊥⊥
⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥∈+⊥+∈=+∈+⊥⊥∈∈∈⋂+⊂⋂∈⋂∈∈⊥⊥∈+=+∈∈⊥⊥+∈+证
先证第一式设，即。

对任意，有
于是，所以同理可证从而，故其次，任取，那么且即任取，则所以由的任意性，有()2.
⊥
从而()()12121212.V V V V V V V V ⊥
⊥
⊥⊥⊥⊥
⋂⊂++=⋂.即证得
再证第二式.用得换换,,2211V V V V ⊥
⊥
()()()
2121
2
1V V V V V V
⋂=⋂=+⊥
⊥⊥⊥⊥
⊥⊥
，
所以 ()⊥
⊥
⊥
⋂=+2121V V V V 。

27.求下列方程的最小二乘解
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=-=-=-1
50.135.1168.193.0180.161.0189.139.0y x y x y x y x ， 用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此
列出方程并求解(用三位有效数字计算)。

解 令
()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=1111,,,50.135.168.193.080.161.089.139
.021B y x X a a A ，
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛----=+==y x y
x y x y x y a x a AX Y 50.135.168.193.080.161.089.139.021， 那么“到子空间距离最短的线是垂线”的意思就是
()2
12,Y B L a a B Y -的值最小，因而最小二乘解的几何意义是在中求的内射影。

令C=B-Y ，由最小二乘法可得B A AX A '
'
=，其中
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=884.114225.54225.52121.350.135.168.193
.080.161.089.139
.050.168.180.189.135.193.061.039
.0'A A ， ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=87.628.3111150.168.180.189.135.193.061.039
.0'B A ，
即 ⎩⎨
⎧-=+-=-87
.6884.114225.528.34225.52121
.3y x y x ，
解之得 ⎩⎨
⎧-==49
.020
.0y x 。

三、补充题参考解答
1． 证明：正交矩阵的实特征根为1±。

证 设A 正交矩阵A 是任一实特征值是λ，ζ是A 的对应于特征值λ的特征向量，则
A λζζ=。

于是()()()ζζλλζλζζζζζ,),(,,2===A A 。

注意到().11,0,2±==≠λλλζζ为实数，即证，又因为因而有 2.证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。

证 因为A 是正交矩阵,()==λf A n A 的特征多项式为为奇数，设且,1||A E -λ,
则
f ()()()A E A E A E A A A A A E n
--=--=-⋅-=-=-='
''11=-f ()1。

即f ()10,1E A A =-=故是的特征值。

3.证明：第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值。

证
当
()则
的特征多项式为时，设,1A E f A A -=-=λλ
f ()()()()111'
'--=--=--=--∙=--=-f A E A A E A E A A A E
即-f
()10,1E A A -=--=-故是的特征值。

4.设有即对于保持内积不变如果证明的一个变换是欧氏空间,,,:,V V ∈A A βα
()()βαβα,,=A A 那么它一定是线性的,因而它是正交变换。

证
因为
()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,2,2,,,2,,2,2,,,2,,2,,2,2,
αβαβαβαβαβαβαβααββααββαβαβαβαβααββααββαβαααβββααA +-A -A A +-A -A =A +A +-A +A -A +A +
A A +A A +A A =++-+-++++=++--()()()()()()0,2,,,2,2,=+++--βαββααβββαβα，
所以
()0=A -A -+A βαβα，
故
()βαβαA +A =+A 。

又因为
()()()()()()()()
()()()
αααααααααααααα,,2,,,2,2
k k k k k k k k k k k k k +-=A A +A A -A A =A -A
=()()()0,,2,222=+-ααααααk k k ，
所以
()()ααA =A k k 。

即证.,,A A 是线性变换由题设知保持内积不变从而是正交变换。

5．,,21ααm α, 和证明存在一量组维欧氏空间中的两个向是,,,,21n m βββ
()的充分必要条件为
使个正交变换m i i i ,,2,1, ==A A βα
()()()m j i j
i
j
i
,,2,1,,, ==ββαα。

证：下证充分性。

设若记，，为的一个极大线性无关组,,,,2121r m αααααα
()()()()⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∆r r r r αααααααα,,1
111
，，， 则有()()知再由充分性假设,,.0j
i
j i ββαα=
≠∆()
()
()()
0,1111≠=
∆r r r r ββββββββ
，，，
于是,1β2β，线性无关。

r β, 另一方面，因
()无关组都可以由它的极大线性中的任一向量m i i m ,,2,1,,,21 =αααα线性表出，即，，，r ααα 21()m i k k k r r i ,,2,12211 =+++=αααα，
于是，在()()()
12,,1,2,,,,,m i i j i j i m ββββααββ== 中任取由,即知
()
0,22112211=+++-+++-r r i r r i
k k k k k k ββββββββ
，
从而,1
t
r
t t
i k ββ∑==
即证12
12,,,,,,r
m
ββββββ 是的一个极大线性无关组。

再将且可得单位正交的向量组正交单位化,,,,,,,,2121r r εεεααα
()()且对角线元素都是正实
为上三角矩阵其中,,,,,,,2121T T
r r αααεεε =
于是只要令数.:()T r r βββηηη,,,),,,(2121 =，
则由充分性假设
()()量组。

也是一个单位正交的向，，，知，r
j
i
j
i
ηηηββαα 2
1
,,=组分别将单位正交的向量的维欧氏空间扩充为，，，和，，，V n r r ηηηεεε 2121
两组标准正交基
n εεε,,,21 和,,2,1n ηηη 则存在可逆线性变换A ，使
),,2,1(n i i i ==A ηε，
且
（
)21r βββ T=(),,21n ηηη =(),,21r εεεA A A
=T n r ),,(),,(2121αααεεε A =A =(T A A A ),,21n ααα ， 即
i i βα=A （I=1,2,),r ， 于是),2,1(m i i =∀β，由∑==
r
i t
t i 1
α
κα，有∑==
r
i t
t
i 1
,βκβ故
r i κακακα++A +A =A 2211r αA
=r n βκβκβκ ++2211 =i β(I=1,2,),m ， 即证。

6．是n 级实对称矩阵，且,2
E =A 证明：存在正交矩阵T 使得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛E -E =AT T -r r
01。

证 证法1 因为A 是n 级实对称矩阵，所以存在n 级矩阵Q ，使
},,,{211n diag Q Q λλλ =A -，
其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值（重根按重数列出）。

于是
}
,,{},,{},,{222
2
1
21211121n
n n diag diag diag AQ AQQ Q Q A Q λλλλλλλλλ ===---
又因为,2E =A 所以
},,{2
2221211n diag Q A Q EQ Q λλλ ===E --。

因此有i λ=1±（I=1,2,, n ），不妨设i λ=1的重数为r ，则1-=i λ的重数为n-r 。

只要将
1=i λ集中排列在前面，则有正交矩阵T ，使
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛E -E =AT T --r n r
1。

证法2 因为n 级实对称矩阵，且,2E =A 若令g(x)=,12-χ则g(x)为 A 的零多项式，且它无重根，故A 相似于对角矩阵，设λ为A 的任一特征 值，则1±=λ。

不妨设1-=i λ的重数为n-r 。

只要 将1=i λ集中排列在前 面，则有正交矩阵T ，使
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛E -E =AT T --r n r 0
1。

7．设f(n χχχ,,,21 )=AX X
'
是一实二次型，n λλλ 21,是A 的特征多项式的根，且
n λλλ≤≤≤ 21。

证明：对任意一个X n R ∈,有
X X ≤AX X ≤X X '''1n λλ。

证 存在正交矩阵Q ，使
},,,{21'n diag Q Q λλλ =A ，
其中n λλλ≤≤≤ 21为A 的n 个特征值。

作正交变换=X ,QY 则实二次型可化为
2
222211'''21),,(n
n n y y y AQY Q Y AX X x x x f λλλ+++=== ， 由题设有n λλλ≤≤≤ 2，于是
Y n n n n Y y y y AX X y y y Y Y '2
2221'222211'1)()(λλλλ=+++≤≤+++= ，
且 Y Y QY QY X X '
'')()(==， 故
X X AX X X X n '''1λλ≤≤。

8．设二次型),,(21n x x x f 对应的矩阵为A ，λ是A 的特征多项式的根，证明： 存在n
R 中的非零向量)
,,(21-
--n x x x 使的
f λ=-
--),,(21n x x x )
(2
2
221-
--+++n x x x 。

证 设
λ
是矩阵A 的特征值，则存在非零向量ε
，使
λεε=A ，
其中=ε)
,,(21-
-
-
n x x x ，于是有
f ===A =--
-
-
εελλεεεε'
'
'
21),,(n x x x )
(2
2
221-
--+++n x x x ，
即证。

9．1）设
βα,是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在一镜面反射，使
β
α=A )(。

2）证明：n 维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

证 1）记n 维欧氏空间为V ，当η为欧氏空间为V 的单位向量时，由
)(),(2)(V A ∈-=γηγηγγ，
所确定的正交变换A 是一个镜面反射，代入单位向量α，有ηαηαγ),(2)(-=A , 若记ηαηαβ),(2-=，则ηαηβα),(2=-，因为βα,是欧氏空间中两个不同的 单位向量，所以0),(≠αη，故可解得)
,(2αηβ
αη-=
,
其中 )],(1[)
,(21),),(2(
),(αβαηααηβααη-=-=，即)],(1[21
),(2βααη-=，
于是只要取()[]
βαβ
αη,12--=
，就有()ηη,=1，即η为欧氏空间V 中的单位向量，
从而A 是一个镜面反射，且()αA =()αηα,2-η=β。

2)设A 是维欧氏空间V 的任一正交变换，取V 的一组标准正交基1ε,2ε,, n ε， 则1η=()1εA ，2η=()2εA ，, n η=()n εA 也是V 的一组标准正交基。

此时，若n n εηεηεη===,,,2211 ，则A 是一个恒等变换，只要作镜面反射
)(),(2)(111V A ∈∀-=γεγεγγ，
则有 ),,3,2()(,)(1111n j A A j j ==-=εεεε且11A A A =，结论成立。

若n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 不全相同，不妨设11εη≠,则11,εη为两个不同的单位向量，由1)知,存在镜面反射1A ,使111)(ηε=A .令)
,,3,2()(1n j A j j ==ξε,若
),,3,2(n j j j ==ηξ,则1A A =,结论成立。

否则可设22ηξ≠，再作镜面反射：
)(),(2)(2V A ∈∀-=γηγηγγ,其中)]
(1[2222
2ηξηξη---=
,则22)(ηξ=A 且
112)(ηη=A ，如此继续下去，设
n A n A
n A n s
ηηηξξηηξξηεε,,,,,,,,,,,,212212112
1
−→−−→−−→−−→−，
则121A A A A A s s -=，其中),,2,1(s j A j =都是镜面反射，即证。

10.设B A ,是两个n n ⨯实对称矩阵，且B 是正定矩阵，证明:存在一个n n ⨯实可逆矩阵T 使
AT T '与BT T '同时为对角形。

证:因为B 是正定矩阵，所以存在一个n 阶实对称矩阵C ，使:E BC C ='，其中E 为n 阶单
位矩阵，又因为AC C '还是n 阶实对称矩阵，所以也存在一个n 阶正交矩阵Q ，使
},,,{)'('21n d ia g Q AC C Q λλλ =，其中n λλλ,,,21 为AC C '的特征值，于是，只要令
CQ T =，就有},,,{)'(''21n diag Q AC C Q AT T λλλ ==,
且 E Q Q Q BC C Q BT T ===')'(''， 即证。

11.证明：酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。

证:设n εε,,1 与n ηηη,,,21 分别为酉空间V 中两组标准正交基，且
A a a a a n nn n n n n ),,,(),,,(),,,1(2111112121εεεεεεηηη =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=
则 ⎩⎨
⎧≠===j
i j
i j i j i ,0,1),(),(ηηεε。

于是，),(2211221111n nj j j n ni i i nj ni j i a a a a a a a a a a εεεεεε++++++=++
⎩⎨
⎧≠===j
i j i j i ,0,1),(ηη
即,'
E =A A -
所以过渡矩阵A 是酉矩阵。

12．酉矩阵的特征值根的模为1。

证 因为酉矩阵A 对应的变换是酉变换A ，设A 的任一特征值是λ，ε是A 的对应于λ的特征向量，则
（ε，ε）=（),εεA A =（λελε,）=),(εελλ-
， 注意到（ε，ε）0≠，因而有
-
λλ=1，
即
1λ=。

13．设A 是一个n 级可逆复矩阵，证明A 可以分解成
A=UT ，
其中U 是酉矩阵，T 是一个上三角矩阵：
T=⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛nn n n t t t t t t 0
00
22211211，
其中对角元素),,2,1(n i t ii =都是正实数，并证明这中分解是唯一的。

证 设A=（),,,21n ααα ，其中n ααα,,,21 为A 的列向量，则由A 可逆知向 量组n ααα,,,21 线性无关。

由施密特正交化方法，可得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧-=-==∑-=1
1111122211),(),(...............................),(),(n i i i i i n n n ββββααβββββααβαβ， 其中),,2,1(n i i =β单位化，可得
),,2,1(1
n i i i
i ==
ββγ，
则n γγγ ,,21 是一组正交基，从而U=（n γγγ ,,21）为又酉矩阵，且可解得
UT t t t t t t nn n n n n =⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛==A 222
112112121),,,(),,,(γγγααα， 其中T 为上三角矩阵，且),,2,1(0n i t i ii =>=
β为正实数。

再证分解的唯一性，设还有酉矩阵1U 及对角线元素都是正实数的上三角形矩阵1T ，使得
11T U A =，则 11T U UT A ==，于是1111--==TT U U B 既是一个酉矩阵，又是一个上三
角形矩阵，从而B 是对角矩阵，但B 的对角线元素都是正实数，即
),,2,1,0(},,,{21n i b b b b diag B i n =>=，
再由B 是酉矩阵，知B 是单位矩阵，故11,T T U U ==，即证。

14．证明：埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交。

证：设λ是埃尔米特矩阵A 的任一特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，则有 λξξ==A A A ,'，
于是 '')(,λξξλξξ==A A ，
因此有
ξλξξξξξξξλξξξξλ')'('''''=====A A A ，
即 0')(=-ξξλλ，但0'≠ξξ，故λλ=，即证λ为实数，另外μλ,是A 的任意两个不同的特征值，ηξ,分别为A 的对应于λ和μ的特征向量，则有：μηηλξξ==A A ,，由于),(),(ηξηξA A =，因此
),(),(),(),(),(),(),(ηξμηξμμηξηξηξηλξηξλ======A A ，
但μλ≠，故（0),=ηξ，即证A 的属于不同特征值的特征向量相互正交。