(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),21,-∞-⋃+∞ B ．(]2,1- C ．(]1,2
D ．[)1,2
2．“函数()2
()311f x ax a x =--+在区间[
)1
+∞，上是增函数”是“01a ≤≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ，b 是两条直线，则“a ，b 没有公共点”是“a ，b 是异面直线”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
4．下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若命题p ：“2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--≤”
B ．直线,a b 为异面直线的充要条件是直线,a b 不相交
C ．“1a =”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件
D ．0x ≠则1
2x x
+
≥ 5．下列说法中错误的是（ ）
A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2
000x x -≤”.
B ．在AB
C 中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>.
C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.
D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立. 6．给出下列四个命题：
①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23； ②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；
③一组数据a ，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则样本的标准差为2；
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为ˆˆˆy a bx
=+中，ˆ2b
=，1x =，3y =，则ˆ1a =. 其中真命题为（ ） A ．①②④
B ．②④
C ．②③④
D ．③④
7．命题:p 关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，:q 函数
()()32x
f x a =-是增函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数a 取值范围
为（ ） A ．()
(),22,-∞-+∞
B ．(][),21,2-∞-
C ．(](],21,2-∞-
D ．(]
[),22,-∞-+∞
8．下列命题中正确的是（ ）
A ．若p q ∧为真命题，则p q ∨为真命题
B ．已知x ∈R ，那么1
x x
+
的最小值为2 C ．命题“0x ∃∈R ，2
0010x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++>” D ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤”
9．已知p ：0x ∃∈R ，002lg x x -=；q ：x ∀∈R ，2230x x -+≤.则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．p q ∨
D ．()p q ⌝∨
10．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假
D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真
11．01a <<是函数()221=+f x ax 取值恒为正的（ ）条件 A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要
12．下列说法正确的是（ ）
A ．“若24x =，则2x =或2x =-”的否命题是“若24x ≠，则2x ≠或2x ≠-”
B ．如果p 是q 的充分条件，那么p ⌝是q ⌝的充分条件
C ．若命题p 为真命题，q 为假命题，则p q ∧为假命题
D ．命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的否命题为真命题
二、填空题
13．下列说法中：
①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤”；
②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”是“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”的必要不充分条件；
③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()()()1212f x f x f x x +=；
④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，则函数()2x
f x =满足
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
．
所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上） 14．有下列四个命题： ①“若1xy
=，则lg lg 0x y +=”；
②“若sin cos 3
π
αα+=
，则α是第一象限角”的否命题；
③“若0b ≤，则方程2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题； ④“若A B B ⋃=，则A B ⊆的逆命题． 其中是真命题的有________．
15．设2:8120x x α-+>，2
:x m m β-≤，若β是α的充分非必要条件，则实数m 的取
值范围是_______________.
16．“对任意的正数x ，结论2
1a x x
+≥恒成立”的充要条件为______．
17．已知命题：P ：不等式20x mx m -+>的解集为R ；Q ：不等式2x x m --<的解集为R ，若命题P 与命题Q 中至少有一个为假命题，则m 的取值范围为_______________. 18．设α：13x ≤≤；β: 124m x m +≤≤+，m R ∈，若α是β的充分不必要条件，则m 的取值范围是________ 19．有下列命题：
①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m 1≥，则22(1)30mx m x m -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是____________
20．下列命题中，错误的命题是_____（在横线上填出错误命题的序号）． （1）边长为1的等边三角形ABC 中，12
AB BC ⋅=
； （2）当30k -<<时，一元二次不等式2
3
208
kx kx +-
<对一切实数x 都成立； （3）ABC ∆中，满足sin cos A B =的三角形一定是直角三角形；
（4）ABC ∆中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若2222a c b +=，则cos B 的最小值为
12
． 三、解答题
21．设关于x 的不等式254x x ≤-的解集为A ，不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈的解集为B ．
（1）求集合A ，B ；
（2）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.
22．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >.:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩
. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
23．已知p ：关于x ，y 的方程C ：x 2+y 2﹣4x +6y +m 2﹣3＝0表示圆；q ：圆x 2+y 2＝a 2（a ＞0）与直线3x +4y ﹣5m +10＝0有公共点．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
24．设命题:[2,1]p x ∀∈--，20x a -≥；命题0:q x R ∃∈，使2
002(2)0x ax a +--=．
（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p ，q 一真一假，求实数a 的取值范围．
25．已知函数()f x 对一切,x y R ∈都有22()()(23)1f x y f y x x x y y y +--=+++++成立.
（1）求()0f 的值； （2）求()f x 的解析式；
（3）已知a R ∈，设P ：当3
04
x ≤≤
时，不等式()2f x x a <+恒成立，Q ：当[]2,2x ∈-时，()()g x f x ax =+不是单调函数，求满足P 为真命题且Q 为假命题的a 的
取值范围.
26．已知条件:p 对任意[3,4]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；条件:q 当[0,1]x ∈时，函数221m x x a =-++.
（1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
计算出当命题p 为真命题时实数a 的取值范围，以及当命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知p 真q 假，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】
若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<；
若命题q 为真命题，0x ∀≥，20x a ->，则()
min
2
1x
a <=.
由于p ⌝和p q ∧都是假命题，则p 真q 假，所以22
1a a -<<⎧⎨≥⎩
，可得12a ≤<.
因此，实数a 的取值范围是[)1,2. 故选：D.
【点睛】
本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.
2．C
解析：C 【解析】
0a <时，“函数
()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上不是增函数”，0a =时，
()1f x x =+在[)1,+∞上是增函数，0a >时，令
31
12a a
-≤，得01a <≤，∴“()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上是增函数” 的充分必要条件“01a ≤≤”，故
选C.
3．B
解析：B 【分析】
根据异面直线的定义及充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】
因为a ，b 没有公共点，a ，b 可能平行也可能异面， 所以“a ，b 没有公共点”成立推不出“a ，b 是异面直线”， 反之，“a ，b 是异面直线”可以推出“a ，b 没有公共点”成立， 所以“a ，b 没有公共点”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，异面直线的概念，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
A ，根据一个是特称命题的否定，变为全称命题，即可判断；
B ，根据空间中两条直线的位置关系得到结果；
C ，根据两条直线垂直的条件得到a 的值；
D 、根据基本不等式得到，这个不等式大于等于2或小于等于2-．
【详解】
解：对于A ，根据特称命题的否定形式知道：命题p ：“x R ∃∈，210x x -->”，则命题
p 的否定为：“x R ∀∈，210x x --”，故A 是真命题；
对于B ，直线a ，b ，为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交且不平行，故B 为假命题；
对于C ，“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直” ⇔ “1a =±”，故“1a =”是“直线
0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充分不必要条件，故C 为假命题；
对于D ，若0x >，则12x x
+，或若0x <，则1
2x x +-，故D 为假命题． 故选：A ． 【点睛】
本题考查命题的否定，考查函数的值域，考查空间中两条直线的位置关系，考查特称命题和全称命题的否定，属于中档题．
5．C
解析：C 【分析】
选项A 根据命题的否定判断，选项B 根据正弦定理及两角和的余弦公式判定即可，选项C 可根据均值及方差的性质判断，选项D 根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】
A 中根据命题的否定可知，命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2
000x x -≤”正
确；
B 中A B <可知a b <，根据正弦定理可得sin sin A B <,同理可知由sin sin A B <可得
a b <，可得A B <，
即sin sin A B A B <⇔<,因为cos y x =在(0,)x π∈上单调递减，且
(0,),(0,)A B ππ∈∈，所以cos cos A B A B <⇔>，故正确；
C 中设原数据中方差为2s ，则加入一个新数据3后平均值为
633
37
⨯+=，方差为222
6(33)677
s s ⨯+-=，故不正确；
D 中，事件“至多一个红球”与“都是红球”不能同时发生，而且在一次试验中有且只有一个事件发生， 故互斥且对立正确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了命题的否定，三角形中的充要条件，平均值与方差，互斥与对立事件，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
利用概率统计中的系统抽样、平均数、众数、中位数及线性回归直线方程的概念及应用，对选项逐项判定，即可求解. 【详解】
由题意，对于①中，7,,33,46x 的公差为467
1341
d -=
=-， 所以71320x =+=，即样本中另一位同学的编号为20，所以不正确；
对于②中，数据1，2，3，3，4，5的平均数为123445
36
x +++++==，
众数为3，中位数为
33
32
+=，所以数据的平均数、众数和中位数是相同的，所以是正确. 对于③中，数据a ，0，1，2，3的平均数为01236
155
a a x +++++=
==，解得
1a =-，
所以方差为2
222221
[(11)(01)(11)(21)(31)]25
s =
--+-+-+-+-=，
对于④中，因为ˆ2b
=，所以ˆˆ2y a x =+，根据回归直线方程ˆˆ2y a x =+必过样本中心点(1,3)，
即ˆ321a
=+⨯，解答ˆ1a =，所以是正确的. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，着重考查了系统抽样、平均数、众数、中位数的概念与计算，以及线性回归方程的应用，属于中档试题.
7．B
解析：B 【分析】
先求得命题,p q 为真命题时，a 的取值范围.根据“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题可知
,p q 一真一假，由此进行分类讨论，求得a 的取值范围.
【详解】
当p 为真命题时，24160a ∆=-<，解得22a -<<. 当q 为真命题时，321,1a a -><.
由于“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以,p q 一真一假. 当p 真q 假时，22
1a a -<<⎧⎨≥⎩
，解得12a ≤<；
当p 假q 真时，22
1a a a ≤-≥⎧⎨
<⎩
或，解得2a ≤-.
综上所述，实数a 的取值范围是(][),21,2-∞-.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题，考查根据含有逻辑联结词命题的真假性求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
8．A
解析：A
【分析】
对各个命题分别判断．
【详解】
A. 若p q ∧为真命题，则,p q 都是真命题，∴p q ∨为真命题，正确．
B.当0x <时，1
0x x
+
<，B 错； C. 命题“0x ∃∈R ，2
0010x x ++<”的否定是x ∀∈R ，210x x ++≥，C 错； D. 命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”，D 错． 故选：A. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，解题时可对各个命题分别判断，然后得出正确结论．
9．C
解析：C 【分析】
先分别判定命题,p q 的真假，再根据或且非判断复合命题真假. 【详解】
令()2lg (1)10,(10)70f x x x f f =--=-<=>，，且函数()f x 在(0,)+∞上连续， 所以0(1,10)x ∃∈，000()0,2lg f x x x =∴-=；因此命题p 为真命题；
2223(1)20x x x -+=-+>∴命题q 为假命题；
因此p q ∧为假命题；()()p q ⌝∧⌝为假命题；p q ∨为真命题；()p q ⌝∨为假命题； 故选：C 【点睛】
本题考查零点存在定理以及命题真假判定，考查基本分析判断能力，属基础题.
10．C
解析：C 【分析】
先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】
由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，
所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题， 故选：C . 【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．A
解析：A 【分析】
根据一元二次函数的图象与性质，结合充分条件、必要条件的定义，进行判定，即可求解. 【详解】
由题意，当01a <<时，函数()2
210f x ax =+>恒成立，所以充分性成立；
例如：当0a =时，函数()2
2110f x ax =+=>恒成立，
所以函数()2
210f x ax =+>恒成立时，01a <<不一定成立，所以必要性不成立，
所以01a <<是函数()2
21=+f x ax 取值恒为正的充分非必要条件.
故选：A . 【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
12．C
解析：C 【分析】
写出“若24x =，则2x =或2x =-”的否命题，即可A 选项； 根据原命题与逆否命题的等价性，判断B 选项； 根据且命题的性质判断C 选项；
写出该命题的否命题，举例说明，判断D 选项. 【详解】
“若24x =，则2x =或2x =-”的否命题是“若24x ≠，则2x ≠且2x ≠-”，故A 错误； 因为p 是q 的充分条件，所以由p 能推出q ，所以q ⌝能推出p ⌝，即p ⌝是q ⌝的必要条件故B 错误；
命题p 为真，q 为假，则p q ∧为假命题，故C 正确；
命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的否命题为“若αβ≠，则sin sin αβ≠”，所以否命题为假命题，例如当30,150αβ=︒=︒时，sin sin αβ=，故D 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了写出命题的否命题并且判断真假，原命题与逆否命题的等价性应用，属于中档题.
二、填空题
13．②③④【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用；③对数的运算关系式的应用；④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题对任意的有的否定为存在有故①错误；②对于任意的总有（为
解析：②③④ 【分析】
①直接利用命题的否定判断；
②函数的最小值和必要不充分条件的应用； ③对数的运算关系式的应用； ④根据基本不等式可得答案； 【详解】
①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x >，有21x ≤”，故①错误； ②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”由于没有说明
0x D ∈()0f x M =，所以“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”不一定成立；函数
()y f x =在区间D 上的最小值为M ，总有()f x M ≥（M 为常数）成立，故②正确；
③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()1212log log log a a a x x x x =+， 所以()()()1212f x f x f x x +=成立，故③正确；
④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，()()12
12,33x x f x f x ==，12
122
3
2x x
x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 因为()30x
f x =>，所以
()()
1212122
3
2
2x x f x f x x x f +++⎛⎫
>
=== ⎪⎝⎭
，故④正确．
故答案为：②③④.
【点睛】
本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.
14．③④【分析】当为负数则无意义可判断①；写出命题的否定可判断②；判断原命题的真假进而可判断③；写出原命题的逆命题可判断④【详解】①若则可能均为负数此时无意义故错误；②若则是第一象限角的否命题是若则不是
解析：③④ 【分析】
当x ，y 为负数，则lg x lg +0y =无意义，可判断①；写出命题的否定，可判断②；判断原命题的真假，进而可判断③；写出原命题的逆命题，可判断④ 【详解】 ①“若1xy
=，则x ，y 可能均为负数，此时lg
x lg +0y =无意义”，故错误；
②“若sin cos α+3
π
α=，则α是第一象限角”的否命题是“若sin cos α+3
π
α≠
，则α不
是第一象限角”，错误；
③“若0b ，则方程2220x bx b b -++=有实根”为真命题，故它的逆否命题也为真命题，正确；
④“若A B B ⋃=，则A B ⊆”的逆命题是“若A B ⊆，则A B B ⋃=”，正确． 故答案为：③④ 【点睛】
本题考查的知识点是四种命题，对数函数的定义域，难度中档．
15．【分析】根据是的充分非必要条件可知集合是集合的真子集由集合之间的包含关系再求参数范围即可【详解】对集合：解得；对集合：解得；因为是的充分非必要条件可知集合是集合的真子集故可得或解得或故故答案为：【点 解析：21m -<<
【分析】
根据β是α的充分非必要条件，可知集合β是集合α的真子集，由集合之间的包含关系，再求参数范围即可. 【详解】
对集合α：28120x x -+>，解得()(),26,x ∈-∞⋂+∞；
对集合β：2
x m m -≤，解得22,x m m m m ⎡⎤∈-++⎣⎦；
因为β是α的充分非必要条件，可知集合β是集合α的真子集， 故可得22m m +<，或26m m -+>， 解得()2,1m ∈-或m ∈∅， 故()2,1m ∈-. 故答案为：21m -<<. 【点睛】
本题考查由充分非必要条件，推出集合之间的关系，以及根据集合关系求参数范围的问题，属综合基础题.
16．∪【分析】对任意的正数x 结论恒成立等价于a2≥（xx2）max(x ＞0)令y=x2+x(x ＞0)利用二次函数的单调性即可得出【详解】对任意的正数x 结论恒成立等价于a2≥（xx2）maxx ＞0令y=x
解析：12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，∪12⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
， 【分析】
“对任意的正数x ，结论2
1a x x
+≥恒成立”等价于a 2≥（x -x 2）max (x ＞0)．令y =-x 2+x (x ＞
0)，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
“对任意的正数x ，结论2
1a x x
+≥恒成立”等价于a 2≥（x -x 2）max ，x ＞0．
令y =-x 2+x =-21()2x -+14≤1
4，当x =12
时，取等号．
∴a 2≥
14
． 解得a 1
2≥
或a ≤-12
． 故答案为：12⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦，
∪12⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，． 【点睛】
本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．【分析】先求得均为真命题时的取值范围再求得至少有一个为假命题时的取值范围【详解】当为真命题时解得当为真命题时解得故均为真命题时的取值范围是所以命题与命题中至少有一个为假命题则的取值范围为故填：【点睛 解析：(,0][2,)-∞+∞
【分析】
先求得,P Q 均为真命题时m 的取值范围，再求得,P Q 至少有一个为假命题时m 的取值范围. 【详解】
当P 为真命题时，240m m ∆=-<，解得04m <<.当Q 为真命题时，
2x x m x m x x m x m --=--≤+-=<，解得22m -<<.故,P Q 均为真命题时m
的取值范围是()0,2，所以命题P 与命题Q 中至少有一个为假命题，则m 的取值范围为
(,0][2,)-∞+∞.
故填：(,0][2,)-∞+∞. 【点睛】
本小题主要考查命题真假性，考查不等式的解集恒成立问题，属于基础题.
18．【分析】α是β的充分不必要条件可知即可求解【详解】因为α：；β:α
是β的充分不必要条件所以
即解得故答案为：【点睛】本题主要考查了充分
不必要条件真子集的概念属于中档题 解析：1
02
m -
≤≤ 【分析】
α是β的充分不必要条件可知[1,3] [1,24]m m ++，即可求解. 【详解】
因为α：13x ≤≤；β: 124m x m +≤≤+，m R ∈，α是β的充分不必要条件 所以[1,3] [1,24]m m ++，
即11324
m m +≤⎧⎨≤+⎩，解得102m -≤≤.
故答案为：1
02
m -≤≤ 【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件，真子集的概念，属于中档题.
19．①③④【解析】对于①若则的逆命题为若则故逆命题为真命题则否命题也为真故①正确；对于②矩形的对角线相等的逆命题为对角线相等的四边形是矩形为假命题故其逆命题也为假故②错误；对于③其逆命题为：若的解集是则
解析：①③④ 【解析】
对于①“若0x y +>，则00x y >>且”的逆命题为“若00x y >>且，则0x y +>”故逆命题为真命题，则否命题也为真，故①正确；对于②“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”为假命题，故其逆命题也为假，故②错误；对于③其逆命题为：若()2
2130mx m x m -+++>的解集是R ，则1m ≥，当该不等式解集为R 时，
1.0m =时，不合题意，
2.()()2
41430
m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩解得1m ，故逆命题为真，即③正确；对于④，原命题为真，故逆否命题也为真，故④正确，即正确的序号为①③④，故答案为①③④.
20．（1）（3）【分析】直接利用向量的数量积计算一元二次不等式恒成立问题解法三角函数关系式的变换余弦定理的应用基本不等式的应用求出结果【详解】解：对于选项（1）边长为1的等边三角形中由于：所以错误对于选
解析：（1）（3） 【分析】
直接利用向量的数量积计算，一元二次不等式恒成立问题解法，三角函数关系式的变换，余弦定理的应用，基本不等式的应用求出结果． 【详解】
解：对于选项（1）边长为1的等边三角形ABC 中，由于：
1
||||cos1202AB BC AB BC ⋅=︒=-，所以12
AB BC ⋅=错误，
对于选项（2）当30k -<<时，一元二次不等式2
3
208
kx kx +-<对一切实数x 都成立， 故：2
2
342308k k k k ⎛⎫-⋅⋅-=+< ⎪⎝⎭
， 解得：30k -<<，
当0k =时，3
08
-
<恒成立． 故：30k -<≤， 由于：()(]
3,03,0-⊂-． 故（2）正确．．
对于选项（3）ABC ∆中，满足sin co ()s 2
sin A B B π
==-，
故：2
A B π
=
-或2
A B π
π+
-=，
所以：2
A B π
+=
或2
A B π
-=
所以：三角形ABC 不一定是直角三角形； 故（3）错误．
对于选项（4）ABC ∆中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、， 若2222a c b +=， 所以：2b ac ≥
故：22221
cos 222
a c
b b B a
c ac +-==≥．
故（4）正确． 故选（1）（3）． 【点睛】
本题主要考查了三角函数关系式的应用，平面向量的数量积的应用，余弦定理和基本不等式的应用及一元二次不等式恒成立问题，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）{}
14A x x =≤≤，当2a >时，{}
2B x x a =≤≤；当2a =时，{2}B =；当
2a <时，{}2B x a x =≤≤；（2）14a ≤≤.
【分析】
（1）利用一元二次不等式的解法，即可求得A ，将不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈因式分解，讨论2a >、2a =、2a <三种情况，即可得答案；
（2）根据题意可得B A ⊆，讨论2a >、2a =、2a <三种情况，即可得答案. 【详解】
（1）不等式254x x ≤-，整理得2540x x -+≤，即(1)(4)0x x --≤， 解得14x ≤≤，所以{}
14A x x =≤≤.
不等式2(2)20()x a x a a R -++≤∈，整理得()(2)0x a x --≤，
当2a >时，解得2x a ≤≤，所以解集为{}
2B x x a =≤≤； 当2a =时，解集为{2}B =；
当2a <时，解得2a x ≤≤，所以解集为{}
2B x a x =≤≤. （2）因为x A ∈是x B ∈的必要条件，即B A ⊆， 当2a >时，{}
2B x x a =≤≤，所以4a ≤，即24a <≤； 当2a =时，{2}B =，满足题意；
当2a <时，{}
2B x a x =≤≤，所以1a ≥，即12a ≤<， 综上14a ≤≤. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，充分、必要条件等知识，考查分析理解，分类讨论，计算化简的能力，属中档题. 22．（1）()2,3；（2）(]1,2. 【分析】
（1）将1a =代入p 中的不等式，并解出该不等式，同时也解出p 中的不等式组，由p q ∧为真，可知p 、q 均为真命题，将p 、q 中的不等式（组）的解集取交集可得出实数x 的取值范围；
（2）求出非p 与非q 中x 的取值范围，结合已知条件转化为两集合的包含关系，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】
（1）当1a =时，解不等式2430x x -+<，解得13x <<，即:13p x <<. 解不等式260x x --≤，解得23x -≤≤，解不等式2280x x +->，解得4x <-或2x >，:23q x ∴<≤.
{}{}()13232,3x x x x <<⋂<≤=，若p q ∧为真，则p 、q 均为真命题，
此时，实数x 的取值范围是()2,3；
（2）当0a >时，解不等式22430x ax a -+<，解得3a x a <<，即:3p a x a <<， 则非:p x a ≤或3x a ≥，非:2q x ≤或3x >.
因为非p 是非q 的充分不必要条件，则{x x a ≤或}3x a ≥ {
2x x ≤或}3x >，
所以，2330a a a ≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩
，解得12a <≤.
因此，实数a 的取值范围是(]1,2. 【点睛】
本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
23．(),2-∞． 【分析】
转化条件为p ：44m <<-，q ：22a m a ≤≤+-，再根据p 是q 的必要充分条件即可得解. 【详解】
∵p ：关于x ，y 的方程2224630C x y x y m +++：--=表示圆； ∴()()2
2
22316x y m ++--=表示圆，即2160m ->，∴44m <<-；
∵
q ：圆2220x y a a +>=（）
与直线345100x y m +-+=有公共点．
∴510m d a -+=
≤，解得22a m a ≤≤+-；
∵p 是q 的必要不充分条件，
∴24
24a a ->-⎧⎨+<⎩
，解得2a <；
故实数a 的取值范围是(),2-∞． 【点睛】
本题考查了圆的解析式、直线与圆的位置关系、条件之间的关系，属于中档题. 24．（1）1a ；（2）1a >或21a -<< 【分析】
（1）令2()f x x a =-，若命题p 为真命题，只要[2x ∈-，1]-时，()0min f x 即可，进而得到实数a 的取值范围；
（2）首先求出命题q 为真时参数的取值范围，根据命题p 与q 一真一假，分两种情况讨论，进而得到答案． 【详解】
解：（1）因为命题:[2p x ∀∈-，1]-，20x a -． 令2()f x x a =-，
根据题意，只要[2x ∈-，1]-时，()0min f x 即可， 也就是10a -，即1a ；
（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，1a ，
命题q 为真命题时，△244(2)0a a =--，解得2a -或1a 因为命题p 与q 一真一假，
当命题p 为真，命题q 为假时，21a -<<， 当命题p 为假，命题q 为真时，1a >． 综上：1a >或21a -<<． 【点睛】
本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集．
25．（1）1；（2）2()1f x x x =++；（3）[
)3,+∞. 【分析】
（1）令0x y ==，即可求解；
（2））令0y =，得22()()31f x f x x x --=++，再用x -替换x 得
22()()31f x f x x x --=-+，两式消去()f x -即可得()f x 的解析式；
（3）若P 为真命题，21x x a -+<恒成立，只需要(
)
2
max
1
a x x >-+，利用二次函数性
质即可求解，若Q 为真命题，2()()(1)1g x f x ax x a x =+=+++，对称轴：
12a x +=-
，则1
222
a +-<-
<，即可求解. 【详解】
（1）由22()()(23)1f x y f y x x x y y y +--=+++++， 取0x y ==得2(0)(0)1(0)1f f f -=⇒=. （2）取0y =，得22()()31f x f x x x --=++，① 将x 换成x -，有22()()31f x f x x x --=-+② ①×2＋②得223()333()1f x x x f x x x =++⇒=++， 故()f x 的解析式为2()1f x x x =++. （3）（i ）若P 为真命题，有当3
04
x ≤≤
时，不等式()2f x x a <+恒成立， 即21x x a -+<恒成立，记2
3()104h x x x x ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭
， 有对称轴1
2
x =
，()max ()01h x h ==，所以1a >. （ii ）若Q 为真命题，2()()(1)1g x f x ax x a x =+=+++，对称轴：1
2
a x +=-， 由于当[]2,2x ∈-时，()()g x f x ax =+不是单调函数，所以()1
2,22
a x +=-∈-， 即1
22532
a a +-<-
<⇒-<<.
综上，满足P 为真命题且Q 为假命题的a 满足135a a a >⎧⎨≥≤-⎩
或，解得3a ≥，
故满足P 为真命题且Q 为假命题的a 的取值范围为[
)3,+∞. 【点睛】
方法点睛：求不等式恒成立问题的方法 （1）分离参数法
若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或
()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的
最值即可. （2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. （3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解. 26．（1）[]1,4-；（2）[]1,3-. 【分析】
（1）把命题p 转化为当[3,4]x ∈时，2
min (22)3x m m -≥-，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求得[1,4],[,1]A B a a =-=+，根据p 是q 的必要不充分条件，得到B 是A 的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】
（1）由题意，对任意[3,4]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 即当[3,4]x ∈时，2
min (22)3x m m -≥-，
又由3x =时，min (22)4x -=，即243m m ≥-，解得14m -≤≤， 即实数m 的取值范围[]1,4-.
（2）对于命题q ：当[0,1]x ∈时，函数221m x x a =-++， 当[0,1]x ∈时，函数2221(1)[,1]m x x a x a a a =-++=-+∈+， 记[1,4],[,1]A B a a =-=+，
因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， 可得1
14
a a ≥-⎧⎨
+≤⎩且“=”不能同时成立，解得13a -≤≤，
经验证，当1,3a =-时满足题意， 所以实数a 的取值范围[]1,3-. 【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；
（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．。