秋《经济数学基础上》模拟试卷

厦门大学网络教育2018-2018学年第一学期 《经济数学基础上》模拟试卷（ A ）卷
一、单项选择题(每小题3分,共18分).
1．若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是( ) . A ．),0(∞+B ．),1[∞+C ．]e ,1[D ．]1,0[
2．数列极限lim
(0)1n
n
n a a a →∞>+的结果是( ). A ．∞ B ．
1
2
C ． 0
D ．与a 的取值有关 3．下列函数在指定的变化过程中，( )是无穷小量. A ．1,()x
e x →∞ B ．
sin ,()x
x x
→∞ C ．ln(1),(1)x x +→ D
．
,(0)x
x x
→ 4．设1sin ,0(), 0
x x f x x
x x ⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩，则)(x f 在0=x 处( ). A ．连续且可导B ．连续但不可导 C ．不连续但可导D ．既不连续又不可导 5．设cos x y e x =, 则(4)y =( ).
A ．4cos x e x
B ．4cos x e x -
C ．2cos x e x
D ．2cos x
e x -
6．设3x y =在闭区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( ).
A ．3-
B ．3
C ．33-
D ．3
3 二、填空题(每小题3分,共18分).
1．若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=)(x f ．
2．设2
)(x
x a a x f -+=，则函数的图形关于对称．
3．________________sin lim
=-∞→x
x
x x ．
4. 设(
)x x
y arctan 12
+=, 则=''y ．
5．要使x
x
x f cos 1)(-=
在0=x 处连续，应该补充定义(0)f =． 6．函数()(3)f x x x =-在[0,3]上满足罗尔定理的=ξ______________．
三、计算题(每小题9分,共54分).
1．求极限21
lim
1
x x →-
2．求极限11lim 1ln x x x x →⎛⎫-
⎪-⎝
⎭． 3．已知82
lim
232=-++→x b
ax x x ，试确定a 和b 的值． 4．设sin x y x =,求'y ．
5．求方程1x
y
xy e e -+=所确定的隐函数的导数dy
dx
． 6．求函数32395y x x x =--+的极值．
四、证明题(10分).
设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1(0)(1)0,()12
f f f ===，证明：至少存在一点
ξ∈(0,1)，使得()1f ξ'=．
答案：
一、单项选择题(每小题3分,共18分).
1．C ； 2．D ；
3．B ；解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以
0sin lim
=∞→x
x
x
而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

4．B ；0lim )(lim 0
==--→→x x f x x ，01
sin lim )(lim 0
0==+
+→→x
x x f x x ，0)0(=f 因此)(x f 在0=x 处连续
x
x x x x f x f f x x x 1sin lim 00
1
sin
lim 0
)
0()(lim )0(000
+
++
→→→+=--=--='，此极限不存在 从而)0(+
'f 不存在，故)0(f '不存在 5．B ；6．D
二、填空题(每小题3分,共18分).
1．62-x ；
2．y 轴；)(x f 的定义域为),(+∞-∞ ，且有
)(2
22)()(x f a a a a a a x f x
x x x x x =+=+=+=------
即)(x f 是偶函数，故图形关于y 轴对称。

3．1；101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x
x
x x x x x x x x x
4．2
22arctan 1x
x x ++； 5．0；01sin lim cos 1lim
00==-→→x
x x x x ，补充定义0)0(=f 6．32
；
三、计算题(每小题9分,共54分).
1．解： )
13)(1()
13)(13(lim 113lim
2121
x x x x x x x x x x x x ++--++-+--=-+--→→ )
13)(1()
1(2lim
2
1
x x x x x ++----=→
)
13)(1(2
lim
1
x x x x ++-+-=→
2
21
-
=．
2．解 ：11
11ln 10ln 11lim lim ()lim 11ln (1)ln 0ln x x x x
x x x x x x x x x x x
→→→-++-⎛⎫-==
⎪---⎝⎭+
型
1
1ln 0ln 11
lim
()lim ln 10ln 112
x x x x x x x x x →→+===+-++型．
3．解. 82
lim
232=-++→x b
ax x x ,()048lim 232=++=++∴→b a b ax x x ,即a b 48--=, ()[]
8124422lim 2
8
4lim 2lim 22232232=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x x a ax x x b ax x x x x ,1-=∴a 故4-=b ．
4．解：两边取对数得:x x y ln sin ln =
两边求导得:
x
x
x x y y sin ln cos 1+=' )sin ln (cos sin x
x
x x x y x +
='． 5．解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即
1)e ()e ()('='+'-'y x xy 0e e ='+-'+y y x y y x
y y x x y -='+e )e (
整理得y
x x y
y e
e +-='． 6．23693(3)(1)y x x x x '=--=-+解：,
666(1)y x x ''=-=-,
131,310,|1030,|22x x x x x y y x y y =-=∴=-=''=-<∴=''=>∴=-是函数的可能极值点，
当时，是函数的极大值；当时，是函数的极小值.
四、证明题(10分).
()()[0,1]0,1)g x f x x =-证明：作辅助函数，此函数在连续，在(可导，
1111
()()0(1)(1)1102222
g f g f =-=>=-=-<， ， 1
(,1)()02
g ηη∴∃∈=由零点定理知，，使得 ，
(0)(0)00,g f =-=又由由罗尔定理知，(0,)()0g ξηξ'∃∈=，使得 ， ()()10()1g f f ξξξ'''=-==即，则．
厦门大学网络教育2018-2018学年第一学期 《经济数学基础上》模拟试卷（ B ）卷
一、单项选择题(每小题3分,共18分).
1．若函数22
1)1(x
x x x f +=+，则=)(x f ( )
A ．2x
B ．22-x
C ．2)1(-x
D ．12-x
2．20
1
sin
lim
sin x x x x
→的值为( )
A ．1
B ．∞
C ．不存在
D ．0
3．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是( )
A ．)(1sin ∞→=x x
x y B ．())(1∞→=-n n y n
C ．)0(ln +→=x x y
D ．)0(1
cos 1→=x x
x y
4．设函数()|sin |f x x =，则()f x 在0x =处( )
A ．不连续
B ．连续，但不可导
C ．可导，但不连续
D ．可导，且导数也连续 5
．已知ln(y x =，则y '=( )
A
C
D
x
6．在区间[1,1]-上，下列函数满足罗尔中值定理的是( )
A ．()211f x x =
-B ．()2
321
f x x =+C ．(
)f x =．()2
132f x x x =-+ 二、填空题(每小题3分,共18分).
1．已知1)1(2
+=-x e f x
，则)(x f 的定义域为．
2．极限=→x x x 1
sin
lim 0．
3．已知3
1[()]d f x dx x
=，则()f x '=．
4．设()sin 2f x x =，则{[()]}f f x ¢=． 5．为使)1ln(1
)(x xe x
x f +=
在0=x 处连续，则需补充定义0()f =. 6．4
2
82(13)y x x x =-+-≤≤在x =处取得最大值．
三、计算题(每小题9分,共54分).
1．求极限2030
50(23)(32)(51)
lim
x x x x →∞-++． 2．求极限2
1lim 3x x x x +→∞-⎛⎫
⎪+⎝⎭
．
3．求极限1ln 1lim
arccot x x x
→+∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭．
4．设sin 1cos x y
x
=
+，求()3y π
'．
5．已知y 是由方程1ln ln =+x y y x 所确定的函数，求y d ．
6．设2
3
3x t y t t
⎧=⎪⎨=+⎪⎩，求dy dx ，22d y dx ． 四、证明题(10分).
设1,0>>>n b a ，证明：)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<---．
答案：
一、单项选择题(每小题3分,共18分).
1．B ；因为2)1(2121222
22-+=-++=+x x x
x x x ，所以
2)1
()1(2-+=+x
x x x f ，则2)(2-=x x f ，故选项B 正确。

2．D ；
3．C ；11
1sin lim 1sin
lim ==∞→∞
→x
x x x x x , 故不选(A). 取12+=k m , 则 ()01
21
lim
lim 1=+=∞→-∞
→k n k n n
, 故不选(B). 取2
1π
π+
=
n x n , 则01
cos 1lim
=∞
→n
n n x x , 故不选D.答案：C
4．B ；解：0lim )(lim 0
==--→→x x f x x ，01
sin lim )(lim 0
0==+
+→→x
x x f x x ，0)0(=f 因此)(x f 在0=x 处连续
x
x x x x f x f f x x x 1sin
lim 00
1
sin
lim 0
)
0()(lim )0(000
+++
→→→+=--=--='，此极限不存在 从而)0(+
'f 不存在，故)0(f '不存在
5．A ； 6．B
二、填空题(每小题3分,共18分).
1．()+∞-,1；令u e x =-1, 则()u x +=1ln , (),11ln )(2++=∴u u f 即(),11ln )(2++=∴x x f .
故)(x f 的定义域为()+∞-,1。

2．0； 因为当0→x 时，x 是无穷小量，x
1
sin
是有界变量． 故当0→x 时，x
x 1sin
仍然是无穷小量． 所以 =→x x x 1
sin lim 00．
3．
13x
；()[]
()
x x x f x f dx d
13233=⋅'= ，()
3331x
x f ='∴，即()f x '=1
3x ．
4．4cos 2cos[2(sin 2)]x x ⋅⋅； 5．1； 6． 3, 11．
三、计算题(每小题9分,共54分).
1．解：20
30
2030
20305050503223(23)(32)23(51)515lim lim x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
2．解：1ln
3
lim 2
12
1lim 3x x x x x x x e
x →∞
-+++→∞-⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，22
341
ln
1(3)3lim
lim 411
2(2)x x x x x x x x x →∞→∞+--++==--++， 2
41 lim 3x x x e x +-→∞-⎛⎫
∴= ⎪+⎝⎭
3．解:200
2
11
()11ln(1)
1lim
lim
1cot 1x x x
x x
arc x
x →+∞→+∞
-++
-
+=
2
1lim
(1)
x x x x →+∞+=+=1 4．解：因为2
)
cos 1()
sin (sin )cos 1(cos x x x x x y +--+=
' 2
)
cos 1(cos 1x x ++=
x cos 11+= 所以 3
cos
11)3
(ππ+=
'y 3
2=
5．解： 0ln ln ='++'+
x y x
y
y y x y
)ln ()ln (y x
y
y x y x +-='+ 整理得 x xy x y xy y x y
x y
x y
y ln ln ln ln 22++-=++-='
x x
xy x y xy y y d ln ln d 22++-=
6．解：由已知得：
2333122dy t dy dx t dt
dt dx t t +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭
()2
2223
3131311311()()()(1)22224t d y d dy d d t t dx dx dx dx dx t dt t t t t dt -⎛⎫⎛⎫==+=+=-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 四、证明题(10分).
证明：设n x y =,1-='n nx y ，则n x y =在[,]b a 连续，在(,)b a 可导， 由拉格朗日中值定理知，存在(,)b a ξ∈，使得()()
()f a f b f a b
ξ-'=
-，即
=-n n b a )(1b a n n --ξa b <<ξ
)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<-∴--
厦门大学网络教育2018-2018学年第一学期 《经济数学基础上》模拟试卷（ C ）卷
一、单项选择题(每小题3分,共18分).
1．函数)1,0(1
1
)(≠>+-=a a a a x x f x
x 是 ( ) A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
2．已知0)1
(
lim 2
=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则( ) A ．1,1==b a , B ．1,1=-=b a C ．1,1-==b a D ．1,1-=-=b a 3．下列极限中，正确的是( )
A ．sin lim
1x x x →∞=B ．1lim sin 1x x x
→∞=C ．0sin lim 12x x
x →=D ．01sin
lim
11x x x
→=
4．函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+-=0,0,211)(x k x x
x
x f 在0=x 处连续，则=k ( ) A ． -2
B ．-1
C ．1
D ．2
5．由方程sin 0y y xe +=所确定的曲线()y y x =在(0,0)点处的切线斜率为( )
A ．1-
B ．1
C ．
21D ．2
1
- 6．若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在(,0)-∞内()0f x '>，()0f x ''<，则在(0,)+∞内( )
A ．0)(,0)(<''>'x f x f
B ．0)(,0)(>''>'x f x f
C ．0)(,0)(<''<'x f x f
D ．0)(,0)(>''<'x f x f
二、填空题(每小题3分,共18分).
1．若53)1(2
4
2
-+=-x x x f ，则=)(x f ______________________.
2．22324lim
261
n n n n n →∞+-=-+. 3．21lim x
x x x →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭
________________. 4．设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()
=+1n y
.
5．如果()22(1)1(1)
x bx x f x x
a x ⎧++≠⎪
=-⎨⎪=⎩
在1x =处连续，则a b +=.
6．函数2()1f x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日定理条件的=ξ_________________.
三、计算题(每小题9分,共54分).
1．设1
1
(21)(21)n
n k a k k ==-+∑，求lim n n a →∞.
2．求极限
lim )x x x →+∞
.
3．求极限30
arcsin lim
tan x x x
x
→-.
4．求函数2
1x y x =+的单调区间和极值.
5．设)sin(y x y +=，求dx dy
，2
2dx
y d . 6．设1
1
, 0,1()ln(1), 10
x e x x f x x x -⎧⎪>≠=⎨⎪+-<≤⎩，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型.
四、证明题(10分).
设函数)(x f 在[0,1]上可导，且1)(0<<x f ，对于(0 ,1) 内所有x 有,1)('≠x f 证明：在(0 ,1) 内有且只有一个数x 使得x x f =)(.
答案：
一、单项选择题(每小题3分,共18分).
1．B ；利用奇偶函数的定义进行验证。

)(1
1
)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x x x x x x =+-=+--=+--=-----, 所以B 正确。

2．C ；1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C 3．B ； 4．B ； 5．A ；
6．C ；(),(),(),.f x f x f x C '''因为偶函数则为奇函数为偶函数故应选
二、填空题(每小题3分,共18分).
1．251x x +-；2．3
2
；
3．2e 4．(1)!n + 5．-2 6．1
2
三、计算题(每小题9分,共54分).
1．解：11111111
[(1)()(
)(1)23352121221
n a n n n =-+-++-=--++ 111
lim lim (1)2212
n n n a n →∞→∞∴=-=+ 2．解：lim )lim x x x x →+∞→+∞
=
1
2
lim lim x x = 3．解：33
00arcsin arcsin lim
lim tan x x x x x x
x x →→--=0lim x →=
32
201(1)(2)
1
2lim 66
x x x x -→--==- 4．解：函数2
1x y x
=+的定义域是),1()1,(∞+---∞
y '=22
2(1)(1)
x x x x +-+2)1()
2(x x x ++= 令0)
1()
2(2
=++=
'x x x y ，得驻点21-=x ，02=x
故函数的单调增加区间是)2,(--∞和),0(∞+，单调减少区间是)1,2(--及)0,1(-， 当=x -2时，极大值4)2(-=-f ；当=x 0时，极小值0)0(=f . 5．解：)1()cos(y y x y '+⋅+=')
cos(1)
cos(y x y x y +-+=
'
y y x y y x y ''⋅++'+⋅+-='')cos()1()sin(2，
3
3)]
cos(1[)]cos(1[)sin(y x y
y x y x y +--=+-+-
=''. 6．解：)(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+
1
1
1
lim x x e ,0lim 1
1
1
=-→-
x x e , ()00=f ,
因此, 1=x 是)(x f 的第二类（无穷）间断点。

(),lim lim 11
10
--→→==+
+e e x f x x x
()()01ln lim lim 0
0=+=--
→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类（跳跃）间断点.
四、证明题(10分).
12121212 ()(), (0)(0)0,(1)(0)10, () [0 ,1] .
()[0 ,1],()()0, [,] [0 ,1] ,(,) , ()0
F x f x x F f F f F x F x c c F c F c c c Rolle c c F ζζ=-=>=-<=='⊂∈=证明：设 由零点定理，得在上至少有一个零点 假设在上存在两个零点，即由定理可得至少有使 即 ()10()1,
(0 ,1) , ().
f f x f x x ζζ''-=⇒== 与题设矛盾，故在内有且只有一个使。