北京市宣武区高三数学上学期期末质量检测(文) 新人教版

北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测
高 三 数 学（文科） 2010.1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.全卷满分150分. 考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1.设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂中的元素个数
为（ ）
A ． 1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2. “2=a ”是“直线03:21=+-y x a l 与直线14:2-=x y l 互相垂直”的 （ ）
3. 在区间[1,9]上随机取一实数，则该实数在区间[4,7]上的概率为（ ） A ．
9
4
B ．
3
1 C ．
2
1 D ．
8
3 4. 若函数()y f x =是函数x
y 2=的反函数，则
)]2([f f 的值为
（ ） A ． 16
B ． 0
C ． 1
D ．2
5. 下列结论正确的是
( )
6. 设m 为直线，γβα,,为三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ）
① 若,,//β⊥ααm 则β⊥m ②若,,β⊥αα⊥m 则β//m
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A ．,R x ∈∃ 使0122
<+-x x 成立
B ．0>∀x ，都有2lg 1
lg ≥+
x
x 成立 C ．函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π+=2sin x y 是偶函数
D ． 02x <≤时，函数x
y 1
-
=无最大值
③若,//,βαα⊂m 则β//m ④若,,γ⊥αβ⊥α则γβ//
7. 设斜率为k 的直线l 过抛物线x y 82=的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则实数k 的值为 ( ). A ． 2± B ．4± C ．2 D ． 4
8. 设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=
x x x x f ，其中⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值 范围是 （ ） A ． []63，
B ．[]
343+，
C ．[]
634，-
D ． []
3434+-，
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。

9.若双曲线115
2
2
=-y x 的离心率为n ，则=n ；设i 为虚数单位，复数()n i +1的运算结果为 .
10. 已知非零向量b a ,满足：b a 2=，且()b a b +⊥，则向量a 与向量b 的夹角
θ= .
11.长方体1111D C B A ABCD -满足：12122=++CC BC AB ,则其外接球的表面积为 .
12. 如果点P 在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-+≥+-02202022y x y x y x 所确定的平面区域内,O 为坐标原点，那么PO 的最
小值为______.
13. 执行如图程序框图，若输出的y 值为3， 则输入的x 值的集合是 .
14. 如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形， 每条边（包括两个端点）有n ()N n n ∈>,1个点， 每个图形总的点数记为n a ，则6a = ；
2010
20095443329
999a a a a a a a a +
⋅⋅⋅+++ = .
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题共13分）
已知ABC ∆ 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,A ∠是锐角,且
B a b sin 23⋅=.
（Ⅰ）求A ∠的度数；
（Ⅱ）若7=a ，ABC ∆的面积为310，求2
2c b +的值.
16. （本小题共13分）
如图是正三棱柱111C B A ABC -，31=AA ，2=AB , 若N 为棱AB 中点.
（Ⅰ）求证：//1AC 平面1CNB ； （Ⅱ）求四棱锥111A ANB C -的体积.
17. （本小题共13分）
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结
果按如下方式分成五组，第一组[)14,13，第二组[)15,14……第五组[]18,17如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(I)若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数。

(II)设n m ,表示该班两个学生的百米测试成绩，已知[)[]18,1714,13, ∈n m 求事件“2>-n m ”的概率。

0.38 0.34 0.18 0.06 0.04
18. （本小题共13分）
已知二次函数)(x g 的图象经过坐标原点，且满足12)()1(++=+x x g x g ，设函
数x x g m x f ln ]1)1([)(--+=,其中m 为常数且0≠m . (I)求函数)(x g 的解析式；
(II)当02<<-m 时，判断函数)(x f 的单调性并且说明理由．
19.（本小题共14分）
已知椭圆E：
22
22
1(,0)
x y
a b
a b
+=>的焦点坐标为
1
F（0,2
-），点M（2
-，2）在椭
圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q（1，0），过Q点引直线l与椭圆E交于B
A,两点，求线段AB中点P的轨迹方程；
（Ⅲ）O为坐标原点，⊙O的任意一条切线与椭圆E有两个交点C，D且⊥，求⊙O的半径．
20.（本小题共14分）
已知函数5
55)(+=
x
x f ，m 为正整数．
（Ⅰ）求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值； （Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为)(m
n
f a n =（m n ,,2,1 =），求数列}{n a 的前m 项和m S ； （Ⅲ）设数列}{n b 满足：211=
b ，n n n b b b +=+2
1，设1
1111121++++++=n n b b b T ，若（Ⅱ）中的m S 满足对任意不小于3的正整数n ，57774+<n m T S 恒成立，试求m 的最大值.
北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测
高三数学（文）参考答案及评分标准 2010.1
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的）
三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）
解：（Ⅰ）∵B a b sin 23⋅=，∴由正弦定理知：B A B sin sin 2sin 3⋅=,
∵B 是三角形内角，∴0sin >B ,从而有23sin =A ，∴A ∠= o 60或o
120， ∵
A
∠是锐角，∴
A
∠的
度
数
=o
60.…………………………………………………6分
（Ⅱ）∵⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-+=3sin 213103cos 272
22ππbc bc c b ∴ 40=bc ，892
2=+c b ．………………
13分
16.（本题满分13分）
证明：（Ⅰ）连结1BC 和1CB 交于O 点，连ON ．
∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴O 为1BC 的中点.又N 为棱AB 中点, ∴在1ABC ∆中,1//AC NO ,
又C NB 1平面⊂NO ,1AC ⊄平面C NB 1, ∴
1
AC ∥平面
C NB 1；…………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵11A ANB 是直角梯形，3,2,1111===AA B A AN ，∴四边形11A ANB 面
积为
2
9， ∵⊥CN 平面11A A N B ，∴四棱锥11A ANB C -的体积为
2
3
3.………………13分 17．（本题满分13分）
解：（Ⅰ）根据直方图可知成绩在[)16,14内的人数为：
2838.05018.050=⨯+⨯人 ；……………………………………………………
5分
（Ⅱ）成绩在[)14,13的人数有：204.050=⨯人，设为a ,b.
成绩在[]18,17的人数有：306.050=⨯人，设为A,B,C.
[)14,13,∈n m 时有ab 一种情况.[]18,17,∈n m 时有AB,AC,BC 三种情况.
n m ,分别在[)14,13和[]18,17时有aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 六种情况.
基本事件总数为10，事件“2>-n m ”由6个基本事
件组成．
所以5
3
106)2(==
>-n m P .…………………………13分 18．（本题满分13分）
解:（Ⅰ）设c bx ax x g ++=2
)(，)(x g 的图象经过坐标原点，所以c=0.
∵12)()1(++=+x x g x g ∴12)1()1(2
2+++=+++x bx ax x b x a
即：1)2()2(2
2
+++=++++x b ax b a x b a ax ∴
a=1,b=0,
2)(x x g =；……………………………………………………………6分
(II)∵函数x mx mx x f ln 2)(2
-+=的定义域为),0(+∞，
∴x
mx mx x m mx x f 1
22122)(2'
-+=-+=．
令122)(2
-+=mx mx x k ，12
)21(2)(2--+
=m
x m x k ，
∵02<<-m ， ∴0122)(2<-+=mx mx x k 在),0(+∞上恒成立，
即0)('<x f 在),0(+∞上恒成立.
∴当02<<-m 时,函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递
减.………………………13分 19．（本题满分14分）
解: （Ⅰ）∵椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）经过M （-2
，一个焦点坐标为1F （0,2-）,
∴
22
84
a b ⎧=⎨=⎩ ，椭圆E 的方程为
22
184
x y +=； ………………………………………5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 与椭圆E 的两个交点为A （11,y x ），B （22,y x ），
相交所得弦的中点),(y x P ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②①148
1482
2222
121y x y x ，
①-②得，
04
))((8))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，
∴弦AB 的斜率．
)0(,28421212121≠-=++-=--=
y y
x
y y x x x x y y k ， ∵Q P B A ,,,四点共线，∴PQ AB k k =，即)10(,1
2≠≠-=-x y x y
y x 且， 经检验（0，0），（1，0）符合条件，
∴线段AB 中点P 的轨迹方程是022
2=-+x y x ．……………………………
10分
（Ⅲ）当⊙O 的切线斜率存在时，设⊙O 的切线方程为y kx m =+，
由2218
4x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222(12)4280k x kmx m +++-=,
设),(),,(4433y x D y x C ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+-=+22
432
432182214k m x x k km x x ∵⊥,∴04343=+y y x x ，即222
22
28801212m m k k k
--+=++, ∴2
2
3880m k --=,即8
8
322
-=m k ,
∵直线y kx m =+为⊙O 的一条切线,
∴圆的半径r =
,
即2
22
22
8
381318
m m r m k =
==-++
,
经检验，当⊙O 的切线斜率不存在时也成立．
∴3
r =
．……………………1４分
20．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）5
155
55)0()1(++
+=+f f =1；
)1()(x f x f -+=
55
55
551++
+-x
x
=
x
x x
5
55555
55
⋅+⋅+
+=1；……………４分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 )11( 1)1()(
-≤≤=-+m k m
k
f m k f , 即,1 1)(
)(=+∴=-+-k m k a a , m
k
m f m k f 由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- …………② 由①＋②, 得,21)1(2m m a m S +⨯-= ∴4
5
521)1()1(21)1(-+⨯-=+⨯
-=m f m S m ．…………………………… 10分
（Ⅲ） ∵,2
1
1=
b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ∴对任意的0 *,>∈n b N n . ∴
,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1
n +-=+=
+即1
n n n b 1
b 11b 1+-
=+. ∴1
11132211
211)11()11()11(
+++-
=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T . ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当3≥n , 且+∈N n 时, 3T T n ≥. ∵256
777)11621(1621,1621)143(43 ,43)121(21,214321=+==+==+==
b b b b ∴.777
256
21243-=-
=≥b T T n ∴,577743+<T S m
∴5.650<m .而m 为正整数，
∴m 的最大值为650. …………………………………………………………………
1４分。