江苏省南京市高三数学专题复习--三角函数

2012高数学专题复习―《三角函数》
一、基础知识汇总
1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600
+α的形式，
特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900
，
k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900
，k ∈Z}.在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.
⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，180
1π
= 弧度，1弧度 )180
(
π
='1857 ≈
⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2
1
212==
θ. 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函
数的关系式、诱导公式：
（1）三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：
,cos ,sin r x r y ==
ααx
y =αtan （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； （3）特殊角的三角函数值
（4）同角三角函数的基本关系：x x
x x tan cos ;1cos sin 22==+ （5）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．
）: sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan α
sin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan α
sin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈ sin(
2
π
α-)＝cos α,cos(
2
π
α-)＝sin α，sin(
2
π
α+)＝cos α,cos(
2
π
α+)＝-sin α.
3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式
①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=± ②
;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
±
（2）二倍角公式
二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；②
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；
③α
α
α2tan 1tan 22tan -=
（3）经常使用的公式 ①升（降）幂公式：21cos 2sin 2αα-=
、21cos 2cos 2αα+=、1
sin cos sin 22
ααα=；
②辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=
+（ϕ由,a b 具体的值确定）
； ③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅.
4、三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
sin y x =的对称轴是2
x k π
π=+
()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；
cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2
k π
π+
()k Z ∈
tan y x =的对称中心是(
,0)()2
k k Z π
∈注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．
⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时初相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω
=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩
sin y x
=的图象
ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度
得sin()y x ϕ=+的图象
()
ωωω
−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象
()
A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象
(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移 sin y x
=的图象
(1)(01)
A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sin y A x =的图象
(01)(1)
1
()
ωωω
<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
ϕϕϕ
ω
><−−−−−−−→向左或向右平移
个单位
得
sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ωϕ=++的图象．
5、解三角形
Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 2是AB
C ∆外接圆直径）
注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===； ③
C
B A c
b a C
c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=
==. ⑵余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=等三个；注：bc
a c
b A 2cos 2
22-+=等三个.
Ⅱ.几个公式:
⑴三角形面积公式：
))(2
1
(,))()((sin 2
1
21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=
---===
∆； ⑵内切圆半径r=c
b a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=
;sin sin sin C
c B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >⇔> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：
其中h=bsinA,
⑴A 为锐角时：
①a<h 时，无解；②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥ b 时，一解（一锐角）.
⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）. 二、考点剖析
考点一：三角函数的概念
【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值.在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁.
例1、（2008北京文）若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 . 解：
222tan 4
tan 2,tan 2.11tan 3
αααα-=
=-∴==- 考点二：同角三角函数的关系
在解题时要注意22sin cos 1αα+=，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它.利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论.
例２、（２００８浙江理）
若cos 2sin αα+=则tan α=( ) （A ）
21 （B ）2 （C ）2
1
- （D ）2- 解
：由cos 2sin αα+=
可得：由cos 2sin αα=-， 又由22sin cos 1αα+=，可得：2sin α
＋（2sin α-）2＝1 可得αsin ＝－
552
，cos 2sin αα=-＝－55，所以，tan α＝α
α
cos sin ＝2. 点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：22sin cos 1αα+=，与它联系成方程组，解方程组来求解.
例3、（2007全国卷1理1）α是第四象限角，5
tan 12
α=-，则sin α=（ ） A ．
15
B ．15
-
C ．
513
D ．513
-
解：由5tan 12α=-，所以，有⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=1
cos sin 12
5cos sin 22αααα，α是第四象限角，解得：sin α=513- 点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：α
α
αcos sin tan =，同样要能想到隐含条件：22sin cos 1αα+=.
考点三： 诱导公式
【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin α与cos α对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2
π
∙
k +α的整数k 来讲的，象限指2
π
∙
k +α中，将α看作锐角时，
2π
∙
k +α所在象限，如将cos(23π+α)写成cos （2
3π
∙+α），因为3是奇数，则“cos ”变
为对偶函数符号“sin ”，又23π+α看作第四象限角，cos(23π+α)为“+”，所以有cos(23π
+
α)=sin α.
例4、sin 330︒等于（ ） A
．
B ．12
-
C ．
12
D
解：sin 330sin(36030)︒=︒-＝1sin 302
-=- 例5、若==+θθπ
2cos ,5
3
)2sin(
则 .
解：由3sin(
)25π
θ+=可知，3cos 5θ=；而2237cos 22cos 12()1525
θθ=-=⨯-=-. 考点四：三角函数的图象和性质
【内容解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-
2
π
，
2
π
）的性质，如单调性、
最大值与最小值、周期性，图象与x 轴的交点，会用五点法画函数sin()y A x x ωϕ=+∈R ，的图象，并理解它的性质：
（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（２）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；
（３）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的1
4
个周期. 注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.
例6、设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<
解：2sin 7a π=，因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan
777
2πππ
<<<<，选D ． 点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，
4
π
］，［
4
π
，
2
π
］的大小的比较，画出它们的图
象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握.
例7、函数π
πln cos 2
2y x x ⎛⎫=-
<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）
解： ln cos ()2
2
y x x π
π
=-<<
是偶函数，可排除B 、D ，由cos x 的值域可以确定.因此
本题应选A.
点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法.
例8、把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
12
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫
=+∈
⎪⎝⎭
R ，
x
x
A ．
B ．
C ．
D ．
C ．sin 23y x x π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝⎭
R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝⎭
R ， 解：
y=sin x
3
π
−−−−−−→
向左平移个单位
sin()
3
y x π
=+1
2
−−−−−−−→
横坐标缩短到原来的倍
sin(2)3
y x π
=+，
故选（C ）.
点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可.
例9、（２００８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2
32cos(ππ
，∈+=x x y 的图象和直线2
1
=
y 的交点个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解：原函数可化为：
])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2x
x π∈作出原函数图像，
截取[0,2]x π∈部分，其与直线21
=y 的交点个数是2个.
点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图.
考点五：三角恒等变换
【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法
的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容.
例10、已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=
（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0)(πx x f 在的值域. 解：x x x x f cos sin sin 3)(2+-=x x 2sin 2
1
22cos 13+-⨯
-= 232cos 232sin 21-+=
x x 23)32sin(-+=πx （I ）ππ
==2
2T
（II ）∴2
0π
≤
≤x ∴
3
43
23
π
π
π
≤
+
≤x ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx
所以)(x f 的值域为：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--232,
3
点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法.
例11、已知向量a ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ＝(2
sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2π
]．
（1）求b a +（2）设函数b a x f +=)(+b a
⋅，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值.
解：（错误！未找到引用源。

）由已知条件： 2
0π
≤
≤x ， 得：
33(cos
cos ,sin sin )2222
x x x x a b +=+-
2 x x sin 22cos 22=-= （2）2
sin 23sin 2cos 23cos
sin 2)(x
x x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 23)21(sin 21sin 2sin 222+--=++-=x x x ，因为：2
0π
≤≤x ，
所以：1sin 0≤≤x 所以，只有当： 21=x 时， 2
3
)(max =x f ，0=x ，或1=x 时，1)(min =x f
例12、已知函数2()sin sin()(0)2
f x x x x π
ωωωω=+的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，
23
π
]上的取值范围. 解：（Ⅰ）
1cos 2()22x f x x ωω-=
+11cos 222x x ωω-+=1
sin(2).62
x πω-+
因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0，所以22π
πω
=, 解得ω=1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1
()sin(2).62
f x x π=-+
因为0≤x ≤23π，所以12-≤26x π-≤7.6π所以12-≤(2)6
x π
-≤1.
因此0≤1sin(2)62x π-+≤32，即f (x )的取值范围为[0，3
2]
点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程.
考点六：解三角形
解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要
检验是否符合题意.
例13、在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且10
10
3cos ,21tan =
=
B A
（1）求tanC的值; （2）若⊿ABC最长的边为1，求b.
解：（1
）cos0,
B=>∴B锐角,
且sin B==
sin1
tan
cos3
B
B
B
∴==,
[]
11
tan tan23 tan tan()tan()1
11
1tan tan1
23
A B
C A B A B
A B
π
+
+
∴=-+=-+=-=-=-
-∙-∙
(2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1,
tan1,135,sin
C C C
=-∴=︒∴=, 由正弦定理:
sin sin
b c
B C
=
得
sin
sin
c B
b
C
===.
例14、如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，
∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.（1）求cos∠CBE的值；
（2）求AE.
解：（Ⅰ）因为9060150
BCD=+=
∠，CB AC CD
==，
所以15
CBE=
∠．所以
6
cos cos(4530)
CBE=-=
∠．
（Ⅱ）在ABE
△中，2
AB=，
由正弦定理2
sin(4515)sin(9015)
AE
=
-+
．故
2sin30
cos15
AE
=
==
点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角45度，30度，60度，推导15度，75度的三角函数值.
例15、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点
A北偏东45且与点A 相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
45+θ(其中
sinθ，090
θ
<<)且与点A相距C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，
并说明理由
.
解:（I）如图，AB
，
,sin
BACθθ
∠==
由于090θ<<,所以cos θ
= 由余弦定理得
=
=/小时）. （II ） 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，
设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）,BC 与x 轴的交点为D.
由题设有，x 1=y 1=
AB=40, x 2=AC cos )30CAD θ∠=-=, y 2=AC sin )20.CAD θ∠=-=
所以过点B
、C 的直线l 的斜率
k =20
210
=,直线l 的方程为y =2x -40.
又点E （0，-55）到直线l 的距离d 7.=<所以船会进入警戒水域. 三 . 三角函数恒等变形的基本策略.
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x . （2）角的配凑.α＝（α＋β）－β，β＝
2
β
α+－
2
β
α-等.
（3）升幂与降幂.主要用2倍角的余弦. （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理.
（5）引入辅助角.asin θ＋bcos θ＝2
2
b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝a
b
确定.
2011年高考试题精选精练—《三角函数》
一、选择题:
1.
若点（a,9）在函数3x
y =的图象上，则tan=
6
a π
的值为（ ） （A ）2. 若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则
ω=（ ） (A)
23 (B)3
2
(C) 2 (D)3 3. 设函数()sin(2)cos(2)44
f x x x π
π
=+++,则( )
A.()y f x =在(0,)2
π
单调递增,其图象关于直线4
x π
=对称 B.()y f x =在(0,)2
π
单调递增,其图象关于直线2
x π
=对称 C.()y f x =在(0,)2
π
单调递减,其图象关于直线4
x π
=对称 D.()y f x =在(0,)2
π
单调递减,其图象关于直线2
x π
=
对称
4. 若α∈（0，
2
π
），且2sin α+1
cos 24
α=
，则tan α的值等于（ ）
A.
B. C. D. 5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=
(A)-
12 (B) 1
2
(C) -1 (D) 1 6. 已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为
6π,且当2
x π
=
时, ()f x 取得最大值,则（ ）
A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数
B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数
C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数
D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 7.已知函数()tan()(1,||)
2
f x A x π
ωϕωϕ=+><,
y=f(x)的部分图像如图,则(
)24
f π
=（ ）
(A)2+ (D) 2 8. 方程cos x x =在(),-∞+∞内（ ）
(A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根 9.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3
π
个单位长度后，所得的图像
与原图像重合，则ω的最小值等于（ ）
（A ）
1
3
（B ）3 （C ）6 （D ）9 10. 如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.
今使“凸轮”沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）
11.在△ABC 中，sin 2
A ≤ sin 2
B+ sin 2
C-sinBsinC,则A 的取值范围是（ ） （A ）(0,
]6π
（B ）[,)
6ππ
(C) (0,]3π （D ）[,)3π
π 12．若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =（ ）
A B ．34 C D ．11
16
13．已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为
A.{|,}3
x k x k k z π
πππ+≤≤+∈ B.{|22,}3
x k k k z π
πππ+
≤+∈
C.5{|,}6
6
x k x k k z π
π
ππ+
≤≤+
∈ D. 5{|22,}6
6x k x k k z π
π
ππ+
≤≤+
∈
二、填空题：
14.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且
sin θ=，则y=_______. 15.函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则
____)0(=f
3ππ12
7
16.设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6
f x f π
≤对一切则x ∈R 恒成
立，则
①11(
)012f π= ②7()10f π＜()5
f π
③()f x 既不是奇函数也不是偶函数 ④()f x 的单调递增区间是2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交 以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.
17. 若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 三、解答题：
18. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b
. （I ） 求
sin sin C
A
的值； （II ） 若cosB=1
4
，5b ABC 的周长为，求的长.
19. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，，，12cos()0B C ++=，
2
求边BC 上的高.
20. 在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知C b B c A a cos cos cos 3+=.
（1）求A cos 的值；(2)若3
3
2cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值．
21．已知函数()1
2sin 3
6f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭，x R ∈．
（1）求()0f 的值；（2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛
⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值．
22. 设函数f （θ）
cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤.
（1）若点P
的坐标为1(2，求f ()θ的值；
（II ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：x+y 1
x 1y 1
≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.
23. 已知函数73()sin cos ,4
4f x x x x R ππ⎛⎫⎛
⎫
=+
+-∈ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知()()44cos ,cos 55βαβα-=+=-，02
παβ<<≤，求证：[]2
()20f β-=.
24． 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （I ）求角C 的大小；
（II cos()4
A B π
-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．
25. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知.11,2,cos 4
a b C ===
(Ⅰ) 求△ABC 的周长；(Ⅱ)求cos(A —C.)
26. 已知函数()sin (
)3
f x A x π
ϕ=+，x R ∈，0A >，02
π
ϕ<<
.()y f x =的部分图像，
如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23
PRQ π
∠=，求A 的值.
27. 在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知B=C, 2b =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos(2)4
A π
+的值.
28. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π
求A 的值；
（2）若c b A 3,3
1
cos ==，求C sin 的值.
29. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2 a.
（I ）求
b a
；（II ）若c 2=b 22，求B.
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin ,a A C C b B +-= (Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若0
75,2,A b a c ==求与
31．设函数()sin cos )cos ().f x x x x x x R π=+∈
（1）求()f x 的最小正周期；（II ）若函数()y f x =的图象按4b π⎛=
⎝平移后得到函
数()y g x =的图象，求()y g x =在(0,]4
π
上的最大值.
高阳中学高2012级《三角函数》小测试
班级： 学号： 姓名： 得分：
1. 函数2()sin (2)4
f x x π
=-
的最小正周期是
2. 已知α是第二象限的角,tan α=1/2，则cos α=__________
3. 函数2()sin(2)4
f x x x π
=-
-的最小正周期是__________ .
4. 已知a 是第二象限的角，4
tan(2)3
a π+=-，则tan a = ．
5. 在ABC ∆中.若1b =，c =
23
c π
∠=
，则a= .
6. 在ABC 中，角A ，B ， C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =，2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为 .
7. 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则
sinC= .
8. 在△ABC 中，若b = 1，，23
C π
∠=，则a = . 9. 已知α为第二象限的角，3
sin 5a =
,则tan 2α= . 10. 已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4
π
α+= .
11. 已知函数f(x)=3sin(x-
)(>0)6
π
ωω和g(x)=2cos (2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同.若
x [0,
]2
π
∈，则f(x)的取值范围是 .
12. 观察下列等式：
① cos2a=22cos a -1;② cos4a=84cos a - 82cos a + 1; ③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182cos a - 1;
④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1． 可以推测，m – n + p = ．
13. 定义在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛
20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________.
14. 已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-. （Ⅰ）求()3
f π
=的值；（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值.。