二重积分的计算法
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x
4
利用公式 (1)，得
z
V1 R2 x2 d
D
R
[
R2 x2
R2 x2 dy]dx
00
R
[
0
R2 x2 y]0 R2 x2 dx
x
R(R2 x2 )dx 2 R3
0
3
o R
y
y
Ry R2 x2
从而所求立体体积为
V
8V1
16 3
R3
0
1 ex2 2
1 0
1 (1 e1 ) 2
评注 本例中两题不能交换积分次序，因为先
积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而 二重积分计算不出来.
3
例5 求两个底圆半径都等于R的 z 直交圆柱面所围成的立体体积.
解 设两圆柱面方程分别为
x2+y2=R2 及 x2+z2=R2
利用立体关于坐标面的对称性，
18
0
设 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 , x 0, y 0}, y
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 , x 0, y 0}
S
S {( x, y) | 0 x R,0 y R} 由于e x2 y2 0,从而在这些闭区域上 的二重积分之间有不等式
y
D1 o 2 4x
D2
D1 : 0 2, 0 2 D2 : 2 4, 0 2
4 x2 y2 dxdy 4 x2 y2 dxdy
D
D1 D2
2
d
2(4 2) d
2
d
4 ( 2 4) d
0
0
0
2
8 72 80
17
例 3 计算 e x2 y2 dxdy,其中D是由中心在
D
y
原点,半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 积分区域D的图形
D：0 ρ a, 0 θ 2
o
ax
e x2 y2 dxdy
1、极坐标系下二重积分的形式
假定从极点O出发穿过区域D的
射线与D的边界相交不多于两点.
用 (1)以极点为中心的一族
同心圆：ρ =常数，
o
(2)从极点出发的一族射线:θ=常数，把D分成
n个小区域x6 .
i i
除了包含边界点
i
的一些小闭区域外，
小闭区域的面积⊿i 可计算如下：
定限的方法：依D的特点
(1) 极点在D外
O
设D:1( ) 2( ),
2( )
1( )
x
2( )
f (x, y)d f ( cos , sin )dd .
D
D
[
2( ) f ( cos , sin )d ]d
DD11 D2 O R 2R x
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy
D1
e x2 y2 dxdy
S
R e x2 dx
0
D2
R e y2 dy
0
(
R e x2 dx)2
0
S
(1 e R2 ) R e x2 dx 2 (1 e2R2 ).
2
I3
16 3
2 3
32 9
15
(2) ( x2 y2 )arctan y dxdy, 积分区域D的图形为 :
D
x y
D :1 x2 y2 4 , y x,
y 0所围成的位于第Ⅰ
象限的部分。
D : 1 2, 0
o
1 2x
4
8.2 二重积分的计算法
8.2.1 利用直角坐标计算二重积分
当积分区域是X型区域时
f (x, y)d
b
dx
2(x) f (x, y)dy
D
a
1( x)
(1)
当积分区域是Y型区域时
f (x, y)d
d
dy
2( y)
f (x, y)dx
(2)
D
c
1( y)
1
(i ,i ) ，该点的直角坐标 设为 i , i ,
i i
i
i i ri
i i cosi
i i sini
o
i i i
(i ,i )
i
x
n
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
)
i
lim
2
V 4 4a2 x2 y2 dxdy,
D
4 4a2 2 dd
o D
y
x 2a y r 2acos
D
4 2 d
2a cos
4a2 2 d
0
0
o
32 a3 3
2 0
(1
sin3 )d
32 3
只要算出它在第一卦限部分的体 R o
积V1，然后再乘以8就行了.
x
第一卦限部分可看成是一个 y
曲顶柱体，它的底为
y
D {( x, y) 0 y R2 x2 ,0 x R},
D
顶是柱面 z R2 x2 ,
o
于是 V1 R2 x2 d
D
Ry R2 x2
0
0
1
cos1
y cos
y
1 0
1
cos ydy
0
1 sin1
2
(2) e x2 d , D : y x, y 0, x 1
D
y
解 积分区域如图所示,
应先积y ，后积x
1
x
e x2 d dx e x2 dy
o
x
D
0
0
1
e x2 x dx
4
0
4
令R ,得 e x2 dx
0
2
19
例4 求球体 x2+y2+z2 4a2被圆柱面x2+y2=2ax(a>0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解 由对称性知
z
V 4 4a2 x2 y2 dxdy,
D:0
D
2a cos , 0
D
D
( )
[ f ( cos , sin )d]d
0
βα O
( )
D
x
(3) 极点在D的内部时
D : 0 ( ), 0 2
( )
f (x, y)d f ( cos , sin )dd
o ab x
D : a b, 0 2
2 b
f ( x, y)d d f ( cos , sin )d
D
0
a
11
y
(2) 闭区域D用不等式表示
D : x2 y2 2ax
o
2a x D : 2a cos ,
例4 求二重积分
y
(1)
D
sin y
y
d
,
D
:
y
x, y2 x
1
解 应先对x积分，后对y积分
y x y2 x
x
sin y d
1
dy
y sin y dx
Dy
0
y y2
1sin y ( y y2 )dy
1
sin ydy
1
ysin ydy
0y
a3
2
2 3
D
a
2a
x
20
例5 选用适当的坐标系计算下列二重积分
y
(1) ( x y )d ,
D
其中D : x y 1( x 0)
D1
解 ( x y )d
o D2
x
D
( x y )d ( x y )d
D1
D2
1
1 x
(1) D
y o
x2 y2 dxdy,其中D : x2 y2 2x .
D : 0 2cos ,
2
2
2x
2 cos
x2 y2 dxdy
2
d
0
d
D
2
2 2
8 3
cos3 d
8 3
1
0
dx (x y)dy dx (x y)dy
0
0
0
x1
2 3
21
(2) a2 x2 y2 d 其中D :
y
D
( x2 y2 )2 a2 ( x2 y2 )(a 0, x 0)。
解
a2 x2 y2 d
o
x
D
2
[
a e2 d ]d
00
D
2 0
1 2
e2
a
0
d
1 (1 ea2 ) 2
2
d
0
(1 ea2 )
注 本题用直角坐标计算,由于 e x2 dx不能用初等函数表示,
所以算不出来.现在我们利用上面的结果来计算工程上
常用的广义积分 e x2 dx
a2 cos 2
4
d
0
a2 2 d
4
2 4 d
a2 cos2 a2 2 d
D
D
2
( )
oD
x
0 d 0 f ( cos , sin )d
D的面积可表为 d dd
10
D
D
例 1 将二重积分 f ( x, y)d化为极坐标系
D
下的二次积分, 其积分区域D如下图所示。
y
(1) 闭区域D用不等式表示
D : a2 x2 y2 b2
(x2
y2 )arctan
y dxdy
பைடு நூலகம்
4 d
22 d
D
x
0
1
4 d
2 3d 15 2
0
1
128
16
(3) 4 x2 y2 dxdy,
D
D : x2 y2 16 D1 D2
D1 : x2 y2 4, D2 : 4 x2 y2 16.
D:0 2 , cos
o
2
x
arctan 2
4
f ( x, y)d f ( cos , sin )dd
D
D
2
arctan 2 cos
d f ( cos , sin )d
0
4
14
例 2 将下列积分化为极坐标形式,并计算积分值。
i i i
i
o
x
i
1 2
(i
i )2
i
1 2
i2
i
1 2
(2i
i )i
i
i
(i
2
i )
i
i
_
i i i ,
其中
表示相邻两圆弧的半径的平均值。
i
7
任取在圆这周小 闭 区i 上域的一 i点内，
D
o
x
5
8.2.2 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 积分区域D的边界用极坐标方程来
表示较方便，且被积函数用极坐标变量r、表达较简
单, 这时可利用极坐标来计算二重积分.
n
按二重积分的定义
D
f ( x, y)d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
下面研究这个和式极限在极坐 标系中的形式.
1 ( )
d
2( ) f ( cos , sin )d
O
1 ( )
D
1( )
x
9
(2) 极点在D的边界上时
D: 0 ( ),
f (x, y)d f ( cos , sin )dd
o
x
f ( x, y)d f ( cos , sin )dd
D
D
4sin
d f ( cos , sin )d
0 2sin
13
y
y 2x (4) 闭区域D用不等式表示
y x D : x y 2x, 0 x 2
2
2
f ( x, y)d f ( cos , sin )dd
D
D
2
2a cos
d f ( cos , sin )d
0
2
12
y
4
(3) 闭区域D用不等式表示
2
D : 2y x2 y2 4y
D : 2sin 4sin , 0
0
i1
f (i cosi , i sini )i i i
即 f (x, y)d f ( cos , sin )dd .
D
D
公式中的 dd 称为极坐标系下的面积元素，
记作 d dd
8
2、如何化为两次单积分
D
积分顺序：一般是先积 ρ 后积
4
利用公式 (1)，得
z
V1 R2 x2 d
D
R
[
R2 x2
R2 x2 dy]dx
00
R
[
0
R2 x2 y]0 R2 x2 dx
x
R(R2 x2 )dx 2 R3
0
3
o R
y
y
Ry R2 x2
从而所求立体体积为
V
8V1
16 3
R3
0
1 ex2 2
1 0
1 (1 e1 ) 2
评注 本例中两题不能交换积分次序，因为先
积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而 二重积分计算不出来.
3
例5 求两个底圆半径都等于R的 z 直交圆柱面所围成的立体体积.
解 设两圆柱面方程分别为
x2+y2=R2 及 x2+z2=R2
利用立体关于坐标面的对称性，
18
0
设 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 , x 0, y 0}, y
D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 , x 0, y 0}
S
S {( x, y) | 0 x R,0 y R} 由于e x2 y2 0,从而在这些闭区域上 的二重积分之间有不等式
y
D1 o 2 4x
D2
D1 : 0 2, 0 2 D2 : 2 4, 0 2
4 x2 y2 dxdy 4 x2 y2 dxdy
D
D1 D2
2
d
2(4 2) d
2
d
4 ( 2 4) d
0
0
0
2
8 72 80
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例 3 计算 e x2 y2 dxdy,其中D是由中心在
D
y
原点,半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 积分区域D的图形
D：0 ρ a, 0 θ 2
o
ax
e x2 y2 dxdy
1、极坐标系下二重积分的形式
假定从极点O出发穿过区域D的
射线与D的边界相交不多于两点.
用 (1)以极点为中心的一族
同心圆：ρ =常数，
o
(2)从极点出发的一族射线:θ=常数，把D分成
n个小区域x6 .
i i
除了包含边界点
i
的一些小闭区域外，
小闭区域的面积⊿i 可计算如下：
定限的方法：依D的特点
(1) 极点在D外
O
设D:1( ) 2( ),
2( )
1( )
x
2( )
f (x, y)d f ( cos , sin )dd .
D
D
[
2( ) f ( cos , sin )d ]d
DD11 D2 O R 2R x
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy
D1
e x2 y2 dxdy
S
R e x2 dx
0
D2
R e y2 dy
0
(
R e x2 dx)2
0
S
(1 e R2 ) R e x2 dx 2 (1 e2R2 ).
2
I3
16 3
2 3
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15
(2) ( x2 y2 )arctan y dxdy, 积分区域D的图形为 :
D
x y
D :1 x2 y2 4 , y x,
y 0所围成的位于第Ⅰ
象限的部分。
D : 1 2, 0
o
1 2x
4
8.2 二重积分的计算法
8.2.1 利用直角坐标计算二重积分
当积分区域是X型区域时
f (x, y)d
b
dx
2(x) f (x, y)dy
D
a
1( x)
(1)
当积分区域是Y型区域时
f (x, y)d
d
dy
2( y)
f (x, y)dx
(2)
D
c
1( y)
1
(i ,i ) ，该点的直角坐标 设为 i , i ,
i i
i
i i ri
i i cosi
i i sini
o
i i i
(i ,i )
i
x
n
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
)
i
lim
2
V 4 4a2 x2 y2 dxdy,
D
4 4a2 2 dd
o D
y
x 2a y r 2acos
D
4 2 d
2a cos
4a2 2 d
0
0
o
32 a3 3
2 0
(1
sin3 )d
32 3
只要算出它在第一卦限部分的体 R o
积V1，然后再乘以8就行了.
x
第一卦限部分可看成是一个 y
曲顶柱体，它的底为
y
D {( x, y) 0 y R2 x2 ,0 x R},
D
顶是柱面 z R2 x2 ,
o
于是 V1 R2 x2 d
D
Ry R2 x2
0
0
1
cos1
y cos
y
1 0
1
cos ydy
0
1 sin1
2
(2) e x2 d , D : y x, y 0, x 1
D
y
解 积分区域如图所示,
应先积y ，后积x
1
x
e x2 d dx e x2 dy
o
x
D
0
0
1
e x2 x dx
4
0
4
令R ,得 e x2 dx
0
2
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例4 求球体 x2+y2+z2 4a2被圆柱面x2+y2=2ax(a>0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解 由对称性知
z
V 4 4a2 x2 y2 dxdy,
D:0
D
2a cos , 0
D
D
( )
[ f ( cos , sin )d]d
0
βα O
( )
D
x
(3) 极点在D的内部时
D : 0 ( ), 0 2
( )
f (x, y)d f ( cos , sin )dd
o ab x
D : a b, 0 2
2 b
f ( x, y)d d f ( cos , sin )d
D
0
a
11
y
(2) 闭区域D用不等式表示
D : x2 y2 2ax
o
2a x D : 2a cos ,
例4 求二重积分
y
(1)
D
sin y
y
d
,
D
:
y
x, y2 x
1
解 应先对x积分，后对y积分
y x y2 x
x
sin y d
1
dy
y sin y dx
Dy
0
y y2
1sin y ( y y2 )dy
1
sin ydy
1
ysin ydy
0y
a3
2
2 3
D
a
2a
x
20
例5 选用适当的坐标系计算下列二重积分
y
(1) ( x y )d ,
D
其中D : x y 1( x 0)
D1
解 ( x y )d
o D2
x
D
( x y )d ( x y )d
D1
D2
1
1 x
(1) D
y o
x2 y2 dxdy,其中D : x2 y2 2x .
D : 0 2cos ,
2
2
2x
2 cos
x2 y2 dxdy
2
d
0
d
D
2
2 2
8 3
cos3 d
8 3
1
0
dx (x y)dy dx (x y)dy
0
0
0
x1
2 3
21
(2) a2 x2 y2 d 其中D :
y
D
( x2 y2 )2 a2 ( x2 y2 )(a 0, x 0)。
解
a2 x2 y2 d
o
x
D
2
[
a e2 d ]d
00
D
2 0
1 2
e2
a
0
d
1 (1 ea2 ) 2
2
d
0
(1 ea2 )
注 本题用直角坐标计算,由于 e x2 dx不能用初等函数表示,
所以算不出来.现在我们利用上面的结果来计算工程上
常用的广义积分 e x2 dx
a2 cos 2
4
d
0
a2 2 d
4
2 4 d
a2 cos2 a2 2 d
D
D
2
( )
oD
x
0 d 0 f ( cos , sin )d
D的面积可表为 d dd
10
D
D
例 1 将二重积分 f ( x, y)d化为极坐标系
D
下的二次积分, 其积分区域D如下图所示。
y
(1) 闭区域D用不等式表示
D : a2 x2 y2 b2
(x2
y2 )arctan
y dxdy
பைடு நூலகம்
4 d
22 d
D
x
0
1
4 d
2 3d 15 2
0
1
128
16
(3) 4 x2 y2 dxdy,
D
D : x2 y2 16 D1 D2
D1 : x2 y2 4, D2 : 4 x2 y2 16.
D:0 2 , cos
o
2
x
arctan 2
4
f ( x, y)d f ( cos , sin )dd
D
D
2
arctan 2 cos
d f ( cos , sin )d
0
4
14
例 2 将下列积分化为极坐标形式,并计算积分值。
i i i
i
o
x
i
1 2
(i
i )2
i
1 2
i2
i
1 2
(2i
i )i
i
i
(i
2
i )
i
i
_
i i i ,
其中
表示相邻两圆弧的半径的平均值。
i
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任取在圆这周小 闭 区i 上域的一 i点内，
D
o
x
5
8.2.2 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 积分区域D的边界用极坐标方程来
表示较方便，且被积函数用极坐标变量r、表达较简
单, 这时可利用极坐标来计算二重积分.
n
按二重积分的定义
D
f ( x, y)d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
下面研究这个和式极限在极坐 标系中的形式.
1 ( )
d
2( ) f ( cos , sin )d
O
1 ( )
D
1( )
x
9
(2) 极点在D的边界上时
D: 0 ( ),
f (x, y)d f ( cos , sin )dd
o
x
f ( x, y)d f ( cos , sin )dd
D
D
4sin
d f ( cos , sin )d
0 2sin
13
y
y 2x (4) 闭区域D用不等式表示
y x D : x y 2x, 0 x 2
2
2
f ( x, y)d f ( cos , sin )dd
D
D
2
2a cos
d f ( cos , sin )d
0
2
12
y
4
(3) 闭区域D用不等式表示
2
D : 2y x2 y2 4y
D : 2sin 4sin , 0
0
i1
f (i cosi , i sini )i i i
即 f (x, y)d f ( cos , sin )dd .
D
D
公式中的 dd 称为极坐标系下的面积元素，
记作 d dd
8
2、如何化为两次单积分
D
积分顺序：一般是先积 ρ 后积