安徽财经大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练平面向量Word版含答案

安徽财经大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：平面向量
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知c b a ,,均为单位向量，且1||=+b a ，则c b a
⋅-)(的取值范围是( )
A ．]1,0[
B ．]1,1[-
C ．]3,3[-
D ．]3,0[
【答案】C
2．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++
=( )
A ． 0
B ．BE
C ．AD
D ．CF
【答案】D
3．已知向量a=（4，2），向量b=（x ，3），且a ∥b ，则x=( )
A ．9
B ．6
C ．5
D ．3
【答案】B 4．已知向量()()b a OC b a λ+===,2,0,4,6,若点C 在函数
sin
12
y x π
=的图象上，则实
数
λ的值为( )
A.
52
B.
32
C.
52
- D.
32
-
【答案】D
5．已知,a b 为两个单位向量,那么( )
A ．a
b = B ．若b a //,则b a =
C ．1=⋅b a
D ．2
2
b a
=
【答案】D
6．如图，在平行四边形ABCD 中，设b AD a AB ==,，AP 的中点为S ，SD 的中点为R ，RC 的中
点为Q ，QB 的中点为P ，若b n a m AP
+=，则=+n m ( )
A ．
5
6 B ．
7
8 C ．
2
3 D ． 1
【答案】A 7．已知向量()1,n =a
，()1,n =-b ，若()
2-⊥a b b ，则=a ( )
A ．4
B ．2
C D ．1
【答案】B
8．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量
13
22
-=a b ( ) A ．(21)--， B ．(21)-，
C ．(10)-，
D ．(1,2)-
【答案】D
9．已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为( )
A ．1
B
C ．5
D ．
【答案】D
10．在ABC ∆中，AB =
，2AC =，3BC =，点D 在BC 边上，2BD CD =，则
AD BC ⋅=( )
A ．6
B ． 6-
C ． 4
D ． 4-
【答案】D
11．在△ABC 中，若·＝1，·＝－2，则||的值为( )
A ．1
B ．3
C ． 2
D ． 3
【答案】D
12．设c b a ,,是非零向量，下列命题正确的是( )
A ．)()(c b a c
b a ⋅⋅=⋅⋅
B ．2
2
2
||||||2||||b b a a b a +-=- C ．若b a b a b a 与则|,|||||+==的夹角为60° D ．若b a b a b a 与则|,|||||-==的夹角为60° 【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知圆心角为120° 的扇形AOB 半径为1，C 为AB 中点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2
＋CE 2
＋DE 2
＝
52
，则OD ＋OE 的取值范围是 ．
【答案】 14．已知向量a 和b 的夹角为0
120，||1,||3a b ==，则|5|a b -=
【答案】7
15．某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车，共有x 辆国产车和y 辆进口车，国产车的交易价格为每辆m 万元，进口车的交易价格为每辆n 万元．我们把),(y x a
=叫交易向量，
),(n m b =叫价格向量，则b a ⋅的实际意义是
【答案】该批轿车的交易总金额 16．已知12,e e 是夹角为
23
π
的两个单位向量，12122,k =-=+a e e b e e ，若0⋅=a b ，则实数k 的值为___________
【答案】5
4
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知向量
)3,cos 2(2
x a =→
-，)2sin ,1(x b =→-，函数→
-→-⋅=b a x f )(，
(Ⅰ）求函数)x (f 的最小正周期和值域； (Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，
且b a
>，求b a ,的值．
【答案】 (1)()2sin(2)1,,[1,3]6
f x x T π
π=++=-
(2)22,1,2,6
C a b a b π
=
+===
18．已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+。

(1）求a b ⋅；
(2）求a 与b 的夹角,a b <>。

【答案】（1）a b ⋅＝（12(2)e e +⋅12(32)e e -+＝－612
e ＋12e e ⋅＋222
e ＝2
7
-；
(2）212|||2|(2)7a e e e e =+=+=，同理得||7b =，
所以1
cos ,2||||
a b a b a b ⋅<>=
=-，又,a b <>[0,180]∈︒，所以,a b <>＝120°。

19．如图，梯形ABCD 中，3,2,1,,//===⊥AB BC AD AB AD BC AD ，P 是AB 上的一个动点，βα=∠=∠DPA CPB , (Ⅰ)当PC
PD ⋅最小时，求DPC ∠tan 的值。

(Ⅱ)当β=∠
DPC 时，求PC PD ⋅的值。

【答案】 (Ⅰ)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

则()()()()1,0,2,3,0,3,0,0D C B A
,令()30,0,≤≤x x P 有()()2,3,1,x PC x PD -=-=所以
4
1)23(2322--=+-=⋅x x x PC PD ，当23
=x 时，PC PD ⋅最小
此时)0,2
3(P ，在CPB ∆中，342
32tan ==α, 在DPA ∆中，32
2
31tan ==β所以
()1813
2
3432
341tan tan tan tan tan tan -=-⋅+
=
-+=+-=∠βαβαβαDPC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()23,0,2+-=⋅x x PC PD x P ，
x x 1tan ,32tan =-=βαβαβπαβ2tan tan ,2,-=-=∴=∠DPC 2
111
232x
x x
-⋅
-
=-∴整理得：31
=
x 此时9
1021)31(2=+-=⋅PC PD 20．已知)2sin 3,1(),1,2cos 1(a x N x M ++a R a R x ,,(∈∈是常数），且ON OM y ⋅=（O
为坐标原点）.
(1）求y 关于x 的函数关系式)(x f y =； (2）若]2
,
0[π
∈x 时，)(x f 的最大值为4，求a 的值；
(3）在满足（2）的条件下，说明)(x f 的图象可由x y sin =的图象如何变化而得到？ 【答案】（1）
a x x ON OM y +++=⋅=2sin 32cos 1，所以
a x x x f +++=12sin 32cos )(
(2）a x x f +++=1)6
2sin(2)(π
，
因为,2
0π
≤
≤x 所以
6
76
26
π
π
π
≤
+
≤x ， 当2
6
2π
π
=
+
x 即6
π
=
x 时)(x f 取最大值3+a ，所以3+a =4，a =1
(3）①将x y sin =的图象向左平移6
π
个单位得到函数)6
sin()(π
+
=x x f 的图象； ②将函数)6
sin()(π
+
=x x f 的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
2
1
得到函数)6
2sin()(π
+
=x x f 的图象；
③将函数)6
2sin()(π
+
=x x f 的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数
)6
2sin(2)(π
+
=x x f 的图象；
④将函数)6
2sin(2)(π
+
=x x f 的图象向上平移2个单位，得到函数
)6
2sin(2)(π
+
=x x f +2的图象
21．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos α,sin α),α∈(
2
π,
2
3π
).
(1)若|AC |=|BC |，求角α的值； (2)若AC ·BC =-1，求α
α
αtan 12sin sin 22++的
值.
【答案】 (1)∵AC =(cos α-3,sin α)，BC =(cos α,sin α-3),
∴|
AC |=α
ααcos 610sin )3(cos 22-=+-,
|BC |=α
ααsin 610)3(sin cos 22
-=-+.
由|
AC |=|BC |得sin α
=cos α.
又∵α∈(
2
π,
2
3π
)，∴α=
4
5π. (2)由AC ·BC =-1得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=
3
2. 又α
αααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22+
+=
++=2sin αcos α. 由①式两边平方得1+2sin αcos α=
9
4, ∴2sin αcos α=9
5
-.∴95tan 12sin sin 22-=++ααα.
22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量 (1,sin )m A λ=，
(sin ,1cos )n A A =+．已知 //m n ．
(I ）若2λ=，求角A 的大小；
(II
）若b c +=，求λ的取值范围。

【答案】（Ⅰ）由//m n ，得 22sin 1cos 0A A --= 即 22cos cos 10A A +-=， 即 1
cos 2
A =或cos 1A =-（舍去），
所以 3
A π=
(Ⅱ）由//m n ，得 2sin 1cos 0A A λ--=， 即 2cos cos 10A A λλ++-=，
即 1
cos A λλ
-=
或 cos 1A =-（舍去）， 又 22222()2cos 22b c a b c a bc
A bc bc +-+--==
2
1a bc
=-
22
113
2a b c ≥
-=
+⎛⎫ ⎪⎝⎭。

综上，λ需要满足
1113λλ
-≤<， 解之得 3
02
λ<≤。