天津市部分区2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案

O D C M 天津市部分区2021～2022学年度第一学期期末考试 高二数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A A D A B C D
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．(1,0)- 12．5
2 13．1- 14．104 15. 22,22⎛⎛⎫
-∞-
⋃
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）
解：（1）由题意知()()2222430m -+-->，解得5m <.……………4分
（2）当1m =时,由222220x y x y +-+-=
得()()22114x y -++=，………………………………………………………6分 所以圆心坐标为(1,1)-，半径2r =，
圆心到直线40x y --=()11422---=……………………8分 所以弦长的一半()22222=-=分 ∴弦长为22分 17．（12分）
解：（1）由方程22y x =，(2)y k x =- 消去x 后，整理得2240ky y k --=
设11(,)A x y 22(,)B x y ，由韦达定理122
y y k +=,124y y =-，……………2分
∵,A B 在抛物线22y x =上，
∴2112y x =,2222y x =，∴22
1212144x x y y ==.…………………………4分
∵12
12
1OA OB y y
k k x x ==-，
∴2AOB π
∠=……………………………………………………………………6分 （2）由于2k =，由（1）可得122,22y y =-=，代入抛物线方程可得121,4x x == ∴()1,2A -，()4,22B ……………………………………………………9分 ∴113263222OAB S OA OB ∆=⋅=⨯⨯=………………………………12分 18．（12解：（1）证明：在ABD 中，∵2,4,5AD BD AB === ∴222AD BD AB += ∴AD BD ⊥．……………………………………………………3分 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， BD ⊂面ABCD ， ∴BD ⊥面PAD ，又BD ⊂面BDM ， ∴平面MBD ⊥平面PAD ．………………………6分 （2）解：过P 作PO AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为四棱锥P BCD -的高． 又PAD ∆是边长为2的等边三角形， ∴3PO =．………………………9分 在底面四边形ABCD 中，AB DC //，2AB DC =， 在Rt ABD ∆中，斜边AB 45525=， 此即为BCD ∆的高． ∴155225BCD S ∆==．…………………11分 ∴123233P BCD V -=⨯=．…………………12分 19．解：（12分） （1）证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设2AD a =,则(0,0,0)D ，(2,0,0)A a ，(2,1,0)B a ，()12,0,1A a ， ()10,1,1C ,()10,0,1D ,()12,1,1B a ，(,1,0)E a ， 所以1(0,1,1)C D =--,1(,1,1)D E a =-， 所以110C D D E ⋅=，所以11C D D E ⊥.……………………3分
（2）由1AM AA λ=,则(2,0,)M a λ，连接BM ，所以(0,1,)BM λ=-，(,1,0)AE a =-，1(2,0,1)AD a =-，
设平面1AD E 的法向量为n (,,)x y z =， 则10
20
AE n ax y AD n ax z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =
所以平面1AD E 的一个法向量为n (1,,2)a a =，
由于BM //平面1AD E ，所以BM n ⊥，即20BM n a a λ⋅=-+=，所以1
2λ=.……7分
（3）连接1AB ，1B E ，设平面1B AE 的法向量为m (,,)x y z '''=，(,1,0)AE a =-，1(0,1,1)AB =，
则100
AE m ax y AB m y z ⎧''⋅=-+=⎪⎨''⋅=+=⎪⎩,取1x '=
所以平面1B AE 的一个法向量为m (1,,)a a =- ……………………9分 由于二面角11B AE D --的大小为90，
所以m n ⊥，所以22120m n a a ⋅=+-=，
由于0a >，所以1a =，即2AD =.……………………12分
20．（12分）
解：（1）由题意可得12c e a ==,2
23b a =,又222a b c =+
，解得2,1a b c ===.
所以所求椭圆C 的方程为2
2
143x y +=.……………………………………3分
（2）设11(,)A x y 22(,)B x y ， 由22143y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()()2
22348430k x mkx m +++-=， ()()222264163430m k k m =-+->,化为2234k m +>. 所以122834mk x x k -+=+，2122412
34m x x k -=+.…………………………7分 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++ 22231234m k k -=+. 由于以AB 为直径的圆过椭圆右顶点(2,0)D ，1DA DB k k =-，
所以()121212240y y x x x x +-++=， 所以2222223124121640343434m k m mk k k k --+++=+++. 化为2271640m mk k ++=， 解得1222,7k m k m =-=-.……………………………………………10分 且满足2234k m +>. 当2m k =-时，():2l y k x =-，直线过定点(2,0)与已知冲突； 当27k m =-时，2:7l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点2(,0)7. 综上可知，直线l 过定点2(,0)7.…………………………………………12分。