河北省滦南一中高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

滦南一中2012-2013学年高二下学期期末数学理试题
说明：
一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项符合题目要求．
（1）已知集合M ＝{x ｜x 2
－1＜0}，N ＝{y ｜y ＝log 2(x ＋2)，x ∈M }，则M ∩N ＝ （A ）(0，1) （B ）(－1，1) （C ）(－1，0) （D ）∅
（2）已知命题p ：∃x 0∈R ，x 2
0＋2x 0＋1≤0，则⌝p 为
（A ）∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋1＞0 （B ）∃x 0∈R ，x 2
0＋2x 0＋1＜0
（C ）∀x 0∈R ，x 20＋2x 0＋1≤0 （D ）∀x 0∈R ，x 2
0＋2x 0＋1＞0
（3）若复数a －3i
－1＋i
（a ∈R ）为纯虚数，则|a ＋2i|＝
（A ）5
（B ）13
（C ）13
（D ） 5
（4）已知双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为3
3
c （c 为双
曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为
（A ）2 （B ）6
2
（C ） 3 （D ） 2
（5）执行右边的程序框图，输出的结果是
（A ）127 （B ）128 （C ）255 （D ）256
（6）2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛
项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，则不同的安排方案共有
（A）72种（B）24种
（C）30种（D）36种
（7）若(x 2＋1)(x －3)11＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 13(x －2)13
，则a 1＋a 2＋…＋a 11＋
a 12的值为
（A ）－1
（B ）4
（C ）－6
（D ）
254
（9）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论：
①将f (x )的图像向左平移 π
6
个单位，所得到的函数是偶函数；
②f (x )的最小正周期为π； ③f (0)＝1； ④f (12π11)＜f (14π13)； ⑤f (x )＝－f (5π3－x )． 其中正确的是 （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）②④⑤
（10）若三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为
（A ）64π （B ）16π （C ）12π （D ）4π （11）设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 16＞0，S 17＜0，则S 1a 1，S 2a 2，…S 16
a 16
中最大的 项为
（A ）S 6a 6
（B ）S 7a 7
（C ）S 8a 8
（D ）S 9a 9
（12）定义在(0， π
2
)上的函数f (x )，其导函数为f ′(x )，且恒有f (x )＜f ′(x )·tan x
成立，
则
（A ）f ( π 6)＞3f ( π
3)
（B ）f ( π 6)＜3f ( π
3)
（C ）3f ( π 6)＞f ( π
3
)
（D ）3f ( π 6)＜f ( π
3
)
π
3 O －2 y
7π
12
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
（13）已知|a →|＝1，|b →|＝6，a →·(b →－a →)＝2，则向量a →与b →的夹角为___________. （14）数列{a n }的前n 项和为S n , a 1＝2, a n ＋1＝2S n ＋1（n ∈N *
），则数列{a n }的通项公式为
___________.
（15）1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N (100，225)，则成绩在130分以上的考生
人数约为_________．
（注：正态总体N (μ，σ2
)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率为0.954）
（16）已知直线l 的倾斜角为2 3
，它与抛物线y 2
＝2px （p ＞0）相交于A ，B 两点，F 为抛物
线的焦点，若AF →＝λFB →（λ＞1），则λ的值为___________.
三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选
考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2
)tan C ＝3ab ． （Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若c ＝3，求2a －b 的取值范围． （18）（本小题满分12分）
某工厂2013年上半年生产的A ，B ，C ，D 四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取40件样品参加今年七月份的一个展销会． （Ⅰ）问：A ，B ，C ，D 四种型号的产品
分别抽取多少件？
（Ⅱ）从40件样品中随机地抽取2件， 求这2件产品恰好是不同型号产品的概率； （Ⅲ）40件样品中，从C ，D 型号的产 品中随机抽取3件，用X 表示抽取的C 种型 号产品的件数，求X 的分布列和数学期望．
（19）（本小题满分12分）
如图所示的五面体中，四边形ABCD 是 矩形，DA ⊥面ABEF ，且DA ＝1，AB //EF ，
AB ＝
1
2
EF ＝22，AF ＝BE ＝2． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角A -DF -E 的余弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知两定点E (－2，0) ，F (2，0)，动点P 满足PE →·PF →＝0，由点P 向x 轴作垂线
PQ ，垂足为Q ，点M 满足PQ →＝2MQ →，点M 的轨迹为C .
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 交曲线C 于A 、B 两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为2
2
，求|AB |的最大值及对应的直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝a (x － 1
x
)－2ln x ．(a ∈R )
(Ⅰ)曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是2x －y ＋b ＝0，求a ，b 的值； (Ⅱ)若不等式f (x )≥0在[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (2， π
4
)，半径r ＝3．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若α∈[0，
π
4)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α
（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围．
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|x ＋a |．
（Ⅰ）当a ＝－1时，求不等式f (x )≥|x ＋1|＋1的解集；
（Ⅱ）若不等式f (x )＋f (－x )＜2存在实数解，求实数a 的取值范围．
滦南一中2012—2013学年度高二年级第二学期期末考试
理科数学 参考答案
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）由余弦定理可得a 2＋b 2－c 2
＝2ab cos C ，
结合(a 2
＋b 2
－c 2
)tan C ＝3ab 可得2cos C tan C ＝2sin C ＝3，即sin C ＝32
． ∵△ABC 为锐角△，∴C ＝ π
3
．
……………………………6分
（Ⅱ）由正弦定理可得2a －b ＝4sin A －2sin B ．
∵B ＝ 2π 3
－A ，
∴2a －b ＝4sin A －2sin ( 2π 3－A )＝3sin A －3cos A ＝23sin (A － π
6)，
∵△ABC 为锐角△，∴A ∈( π 6， π 2)，∴A － π 6∈(0， π
3
)．
故2a －b 的取值范围为(0，3)． ……………………………12分
X 的数学期望为EX ＝
3
4
．
…………………………………………12分
（Ⅱ）如图，以A 为原点，以AM 、AF 、AD 所 在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．
则A (0，0，0)，D (0，0，1) ，M (2，0，0) ，F (0，2，0) ． 可得AM →＝(2，0，0)，MF →＝(－2，2，0)，DF →＝ (0，2，－1)，
设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·MF →＝0，
n ·DF →＝0
．
（20）解：
（Ⅰ）∵动点P 满足PE →·PF →＝0， ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2． 设M (x ，y )，依题意可得P (x ，2y )
代入P 满足的方程可得x 2
＋(2y )2
＝2，即曲线C ：x 2
2＋y 2
＝1．…………………4分
（Ⅱ）①若直线l 垂直于x 轴，此时|AB |＝3． ……………………………5分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 则原点O 到直线l 的距离为
|m |
1＋k
2
＝ 2 2
，整理可得2m 2＝1＋k 2．
…………………………………………6分
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ， x 22
＋y 2
＝1消去y 可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2
－2＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得△＞0， 则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2
－1)
1＋2k
2．
∴|AB |＝1＋k 2
·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2
＝22·(1＋k 2
)(1＋2k 2
－m 2
)
1＋2k
2
……………………………………8分
∵2m 2
＝1＋k 2
，
∴2 (1＋k 2)(1＋2k 2－m 2)＝(1＋k 2)(2＋4k 2－2m 2)＝(1＋k 2)(1＋3k 2) ≤(1＋2k 2) 2，
等号当且仅当1＋k 2＝1＋3k 2
，即k ＝0时成立． 即22·(1＋k 2
)(1＋2k 2
－m 2
)
1＋2k 2
≤2， 所以k ＝0时，|AB |取得最大值2. 此时直线l 的方程为y ＝±
22
. …………………………………………12分
(2) 当0＜a ＜1时，f '(x )＝a (1＋ 1 x 2)－ 2 x ＝ ax 2
－2x ＋a x 2
在[1， 1
a
)上满足f '(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，又f (1)＝0，所以f (x ) ≤0，其与条件f (x )≥0在[1，＋∞)恒成立矛盾，故舍去．
(3) 当a ≥1时，a (1＋ 1 x 2)≥1＋ 1 x 2≥ 2
x
，f '(x ) ≥0，此时函数f (x )单调递增，又
f (1)＝0，所以f (x )≥0．
故实数a 的取值范围是a ≥1．
…………………………………………12分
（22）解：
（Ⅰ）连结ON ，
∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP ＝90°，
∴∠ONB ＋∠BNP ＝90°． ∵OB ＝ON ，∴∠OBN ＝∠ONB ．
∵OB 垂直于AC 于O ，∴∠OBN ＋∠BMO ＝90°，
∴∠BNP ＝∠BMO ＝∠PNM ，∴PM ＝PN ． ∴PM 2＝PN 2
＝PA ·PC ． …………………………………………5分 （Ⅱ）OM ＝2，BO ＝23，BM ＝4．
∵BM ·MN ＝CM ·MA ＝(23＋2)(23－2)＝8，
∴MN ＝2． …………………………………………10分 （23）解：
(Ⅰ)∵C (2，
π
4
)的直角坐标为(1，1)， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝3．
化为极坐标方程是ρ2
－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0 ……………………………………5分
(Ⅱ)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α
代入圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2
＝3，
得(1＋t cos α)2＋(1＋t sin α)2
＝3，
即t 2
＋2t (cos α＋sin α)－1＝0．
∴t 1＋t 2＝－2(cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－1．
∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝22＋sin2α．
∵α∈[0， π 4)，∴2α∈[0， π
2
)，∴22≤|AB |＜23．
即弦长|AB |的取值范围是[22，23)………………………………10分
（24）解：
(Ⅰ) 当a ＝－1时，不等式f (x )≥|x ＋1|＋1可化为|x －1|－|x ＋1|≥1
化简可得⎩⎨⎧x ≤－1，2≥1，或⎩⎨⎧－1＜x ≤1，－2x ≥1，或⎩⎨⎧x ＞1，
－2≥1．
解得x ≤－1，或－1＜x ≤－ 1
2
， 即所求解集为{x |x ≤－
1
2
}．
…………………………………5分
(Ⅱ)令g (x )＝f (x )＋f (－x )，则g (x )＝|x ＋a |＋|x －a |≥2|a |． ∴g (x )的最小值为2|a |．
依题意可得2＞2|a |，即－1＜a ＜1．
故实数a 的取值范围是(－1，1)． …………………………………………10分。