北京师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）
A. 第一象限的角
B. 第二象限的角
C. 第三象限的角
D. 第四象限的角
2.下列函数中，在R上为奇函数的是（）
A. B. C. D.
3.函数的一个对称中心是（）
A. B. C. D.
4.设全集U=R，集合＜＜，B={x|ln x＞0}，则A∩B=（）
A. B. C. D.
5.已知a=2log32，b=log35，，则（）
A. B. C. D.
6.已知＜＜，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.把函数的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos3x的图象（）
A. 向左平行移动个单位
B. 向右平行移动个单位
C. 向左平行移动个单位
D. 向右平行移动个单位
8.设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），
则f（-100）的值为（）
A. B. C. D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.计算：=______．
10.当，时，函数f（x）=tan x的值域为______．
11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．
12.已知a＞0，则不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为______．
13.若存在x＞0，使得＜，则实数a的取值范围是______．
14.已知函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的增函数，其中a，b R，且0＜b＜-a．设函数F（x）=|f（x）|-|f
（-x）|，且F（x）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号）
①F（x）的定义域为[-b，b]；
②F（x）是奇函数；
③F（x）的最小值为0；
④F（x）在定义域内单调递增．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知，且α（0，π）．
（Ⅰ）求cosα；
（Ⅱ）求的值．
16.已知函数．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当，时，求函数f（x）的最值及对应x的值．
17.已知函数＞，＞，＜的部分图象如图所示，N为f（x）图象的一个最高
点，M、Q为f（x）图象与x轴的交点．
（Ⅰ）若，，，，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，求A•ω的值．
18.m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表：
经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y=A sinωt+B的图象．
（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A，ω，B的值；
（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．
19.已知函数．
（Ⅰ）若f（a）=1，求a的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．
20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则
记a+b的最大值为H（t）．
（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；
（Ⅱ）若f（x）=x2，当t[l，2]时，
①求函数H（t）的解析式；
②求函数H（t）的值域．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，
又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，
∴θ是第三象限角．
故选：C．
根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．
本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．
2.【答案】B
【解析】
解：对于A，f（x）是偶函数，
对于B，f（x）是奇函数，
对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，
故选：B．
根据函数的奇偶性的定义判断即可．
本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】
解：令x-=kπ，k Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），
令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），
故选：B．
利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．
本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】
解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），
∴A∩B=（1，3）．
故选：C．
求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．
本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．
5.【答案】D
【解析】
解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，
＜（）0=1，
∴c＜a＜b．
故选：D．
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．
6.【答案】C
【解析】
解：∵，∴＜＜，又“”
∴α+=，解得α=．
∴“”是“”的充要条件．
故选：C．
由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．
本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】
解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x的图象，
故选：C．
由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．
本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】
解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．
∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．
即f（x）=f（x+14），
即函数是周期为14的周期函数，
故f（-100）=f（-2），
∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），
∴f（5）=2，
∵f（-2）•f（5）=-1．，
故f（-100）=f（-2）=-，
故选：A．
先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．
本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．
9.【答案】2
【解析】
解：
=-2+4
=2．
故答案为：2．
利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10.【答案】（，+∞）
【解析】
解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，
故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，
即：y=．
所以f（x）的值域为：．
故答案为：
直接利用正切函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．
11.【答案】
【解析】
解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，
tan2α===-．
故答案为：．
求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．
本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．
12.【答案】，
【解析】
解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，
∵a＞0，
∴，
不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：
故答案为：
利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．
本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】a＞2
【解析】
解：存在x＞0，使得，
则a＞x+，
∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，
∴a＞2，
故答案为：．
分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题
14.【答案】①②
【解析】
解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，
而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；
对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，
则F（x）为奇函数，②正确；
对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；
对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；
故答案为：①②
对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；
对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；
对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案
本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．
15.【答案】解：（Ⅰ）∵，
∴可得：sinα=cosα+，
∵sin2α+cos2α=1，
∴（cosα+）2+cos2α=1，可得：8cos2α+4cosα-3=0，
∴cosα=，
∵α（0，π）．cosα=sinα-（-，），
∴cosα=．
（Ⅱ）∵cosα=，sinα=．
∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos2α-1=-，
∴===．
【解析】
（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos2α+4cosα-3=0，结合范围α（0，π）．可求cosα的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：（Ⅰ）函数．
那么=（sin）2+sin cos==；
（Ⅱ）由函数=cos2x+sin2x=sin（2x-）+，
∵，时，
∴2x-[，]，
∴当2x-=，即x=0时，有最小值为0，
当2x-=，即时，有最大值．
【解析】
（Ⅰ）将x=带入计算即可；
（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值
及对应x的值．
本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．
17.【答案】解：（Ⅰ）若，，，，
则A=3，=-==，
即周期T=π，
又=π，则ω=2，
则f（x）=3sin（2x+φ），
∵f（）=3sin（2×+φ）=3，
∴sin（+φ）=1，
即+φ=+kπ，k Z，
则φ=-+kπ，
∵|φ|＜，
∴当k=0时，φ=-，
则f（x）=3sin（2x-）．
（2）由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k Z
即函数的单调递减区间为，，k Z．
（Ⅲ）设M，Q的中点是P，
若△MNQ为直角三角形，
则AP=MP，
即△MNP是等腰三角形，
则=，即A2==，
则A=T=，
则．
【解析】
（Ⅰ）根据M，N的坐标，找出A，T之间的关系求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．
18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．
那么：13=3sin3ω+10，
可得：sin3ω=1，
∴ω=
故得：A=3，，B=10．
（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，
即y=3sin t+10≥11.5，
∴sin t≥，
∵0≤t≤24，
∴1≤t≤5或13≤t≤17．
故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．
【解析】
（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．
（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系
19.【答案】解：（Ⅰ）由f（a）=ln=1，
即=e，
解得a=；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．
由＞0，解得x＞2或x＜-2，
故函数f（x）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），
关于原点对称，
而f（-x）=ln=ln=-ln=-f（x），
故函数是奇函数；
（Ⅲ）1个．
【解析】
（Ⅰ）由f（a）=1，结合对数的定义，解方程可得a的值；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；
（Ⅲ）结合f（x）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．
本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f（x）=kx+m（k≠0），使得H（t）是R上的常值函数．
事实如下：
当f（x）=kx+m时，由|f（x）-f（t）|≤2，得|kx+m-kt-m|≤2，
即|k|•|x-t|≤2，解得t≤x≤t+，
则a=，b=，
∴H（t）=a+b=0为R上的常值函数；
（Ⅱ）①由|f（x）-f（t）|≤2，得f（t）-2≤f（x）≤f（t）+2，
即t2-2≤x2≤t2+2，（*）
当时，解（*）得：，此时；
当＜t≤2时，解（*）得：，此时．
综上，有H（t）=
．
＜
②由函数单调性可得H（t），∪，．
∴函数H（t）的值域为，∪，．
【解析】
（Ⅰ）根据题意，当f（x）=kx+m（k≠0）时，由不等式|f（x）-f（t）|≤2可得t≤x≤t+，则a=，b=
，得出H（t）为常值函数；
（Ⅱ）①根据题意，当f（x）=x2且t[1，2]时，不等式|f（x）-f（t）|≤2化为|x2-t2|≤2，利用不等式的性质求出x的取值范围，写出函数H（t）的解析式；
②由函数的单调性求解H（t）的值域．
本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。