【中考复习】初中数学典型一题多解试题汇编(含解析)

初中数学一题多解（试题）
1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=
2、4的平方根为 ，
16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。

在数轴上，到原点的距离为3个单位的数
有 。

4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16
-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是
7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为
8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为
9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为
10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为
11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为
12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角
为
13、已知x满足62
x
1
x
2
2=
+，则
x
1
x+的值是
14、当-2≤x≤1时，二次函数()1
m
m-x-
y2
2+
+
=有最大值4，则实数m 的值为
15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为
16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为
17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为
18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。

19、一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么
原来多边形的边数可能为
20、在平面直角坐标系中，点P（m-3,4-2m）可能在第象限
21、若⊙O与⊙P相切，且⊙O的半径为5cm，⊙P的半径为2cm，则OP的距离为
初中数学一题多解（答案解析） 1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m= 7或-1
解：∵完全平方公式：（a+b ）²=a ²+2ab+b ² ∴()16x 3-m 2x 2++
中x 就相当于第一个数a ，（m-3）就相当于第二个数b ，16就是第二个数的平方b ²； ∴b=±4（正数的平方根有两个）
∴（m-3）=±4
∴m=7或-1
2、4的平方根为 ±2 ，16的平方根为 ±2 解：∵正数的平方根有两个
∴4的平方根为±2 又∵16=4 ∴“16的平方根”就相当于“4的平方根”为±2
3、若2a =时， a 为 ±2 。

在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 ±3 。

解：∵单独一个数的绝对值的几何意义是这个数到原点的距离，到原点的距离相等的点有两个，分别在原点的两侧
4、若64x 1x 2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x ±8
解：∵a ²=p （p ≥0）中a 是非负数p 的平方根
∴64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+就是说明x 1x +是64的平方根为±8 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 -1或
6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若∆AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是 （-5,0）或（5,0）或（6,0）
由题意可得OA=5，其中AH 垂直OP 于点H
①当OA=AP 时，点O 与点P 关于AH 对称
∵A 为（3,4） ∴H 为（3,0），P 1=（6,0）
②当OA=OP=5时，P 2=（5,0），P 3=（-5,0）
③当AP=OP 时，P 4是AO 的垂直平分线P 4G 与x 轴的交点 易得Rt ∆AOH ∽Rt ∆P 4OG （其中∠O=∠O ；
∠AHO=∠P 4GO=90°），AO=5，OG=2.5，OH=3 ∴OH
OG OA OP 4=即OP 4=OA x OG ÷OH=5x2.5÷3=625 ∴此时P 4=（6
25，0） ∴综上所述，满足题意的P 点有（6,0），（5,0），（-5,0），（6
25，0）
7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为55°，55°或70°，40°
解：∵等腰三角形有两种角，一个是顶角，两个相等的底角且三角形的内角和为180°
∴①当这个70°的角是顶角时，
两底角都是（180°-70°）÷2=55°
②当这个70°的角是底角时，另一个底角也是70°，
顶角是180°-70°-70°=40°
8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为
边长的正方形的面积为144或169
解：∵已知直角三角形的两边长分别为5和12没有说具体都是直角边还是又一边是斜边
∴有两种情况：
①当12为斜边时，这个直角三角形的斜边为边长的正
方形的面积为12x12=144
②当5，12为直角边时，斜边长由勾股定理得13，此
时这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为
13x13=169
9、在∆ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12
14或4
解：∵题目没有讲这个BC 内部还是外部
∴有两种情况：
①当BC 边上的高AH 在三角形内部时，
∆ABH 与∆ACH 都是直角三角形，
AB=15，AH=12，AC=13
∴在Rt ∆ABH 中，B H 在Rt ∆ACH 中，CH ∴BC=BH+CH=14 ②当BC 边上的高AH ∆ABH 与∆ACH AB=15，AH=12，∴在Rt ∆ABH 中，B H = 在Rt ∆ACH 中，512-13AH -AC CH 2222=== ∴BC=BH-CH=4
B C
10、在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把BC边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD的周长为20或22
解：如图平行四边形ABCD，其中AE是∠A
的角平分线，交BC于点E
∴∠BAE=∠DAE，AD∥BC
B
∴内错角∠DAE=∠AEB
∴在∆ABE中∠BAE=∠AEB，即AB=BE
又∵∠A的角平分线把BC边分为3和4的两条线段，
没有具体指明是哪段
∴①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD中两邻边
长分别是AB=BE=3，BC=BE+EC=7
即此时平行四边形ABCD的周长=（3+7）x2=20
②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD中两邻边
长分别是AB=BE=4，BC=BE+EC=7
即此时平行四边形ABCD的周长=（4+7）x2=22
11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为 7cm 或3cm
解：某个点A 到圆上的距离为2cm ，这个点A 可以在圆内也可以在圆外；如图，O 为圆心，A 1是
圆外到圆上的距离为2cm 的点；A 2是园内到圆上
的距离为2cm 的点，B 为OA 连线或延长线与圆上的交点
由题意可得OB=半径
=5cm ，A 1B=A 2B=2cm
∴OA 1=OB+A 1B=5+2=7cm ，
OA 2=OB-A 2B=5-2=3cm
12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦为 60°或120°
解：在同圆或等圆中，同弦所对的圆心角只有 一个，所对的圆周角有两类。

如图，弦AB 所对的圆心角是∠AOB ，
所对圆周角有两类分别是：与圆周心角同侧
的∠ACB 和与圆心角异侧的∠ADB 。

①与圆周心角同侧的∠ACB ，根据同侧在同圆或等圆中圆心角是圆周角的两倍，所以圆周角∠ACB=120°÷2=60°
②与圆周心角异侧的∠ADB ，根据圆内接四边形对角互补得： ∠ADB=180°-∠ACB=180°-60°=120° A
13、已知x 满足62x 1x 22
=+，则x 1x +的值是 ±8 解：由题意可得62x 1x 22=+且默认有1x
1x =• 完全平方公式：2x 1x x 1x 1x 2x x 1x 22222++=+••+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
∴64262x 1x 2=+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ ∴ 8x
1x ±=+ 14、当-2≤x ≤1时，二次函数()1m m -x -y
22++=有最大值4，则实数m
解：()1m m -x -y 2
2++=是顶点式，得顶点坐标为（m ，m ²+1） 且开口向下，函数图象的增减性满足左升右降。

那最大值就要看给定的自变量取值范围与函数图象对称轴所在位置决定。

①当对称轴x=m 刚好在-2≤x ≤1时，即-2≤m ≤1时，这段区 间内最大值就是顶点纵坐标。

∴m ²+1=4 ∴3m ±=（732.13≈）
又∵-2≤m ≤1，∴3-m =（成立）
②当-2≤x ≤1在对称轴x=m （m ＞1）左侧时，
y 随x 的增大而不断增大，
① ②
③
∴此时当x=1时有最大值4，即()41m m -1-
22=++
∴m=2（成立） ③当-2≤x ≤1在对称轴x=m （m ＜-2）右侧时，
y 随x 的增大而不断减小，
∴此时当x=-2时有最大值4，即()41m m -2--2
2=++ ∴m=43-
（不满足m ＜-2，故舍去） ∴综上所述，满足题意的m 的值为3-m =或m=2
15、在平面直角坐标系中有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标为 （4,3）或（4，-3）或（-4,3）或（-4，-3）
解：如图所示：M 可以在如下A 、B 、C 、D 四点上，满足到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4
16、若某条线段AB 长为2，则该线段AB 的黄金分割点离A 点的距离为____ 5-31-5或
解：一条线段的黄金分割点有两个（
且黄金分割率满足： 2
1-5==较长边最小边最长边较长边 又∵线段AB 为最长边为2
∴较长边=1-5
当黄金分割点为C 点时，AC 是最短边=()5-31-5-2= 当黄金分割点为D 点时，AD 是较长边=1-5
17、若∆OAB 与∆OCD 是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B 的坐标为（6,0），则点A 的对应点C 的坐解：相似的对应角相等，∴∠OAB=∠OCD=90°
又∵在Rt ∆OAB 中OB=6，∠AOB=60°
∴∠ABO=30°，OA=OB ÷2=3，
333-6OA -OB AB 2222===
设Rt ∆OAB 中以OB 为底边的高为AH
则S ∆OAB =OA ·AB ÷2=OB ·AH ÷2
∴AH=OA ·AB ÷OB=3x 33÷6=2
33 ∴根据勾股定理得：Rt ∆OAH 中
23233-3AH -OA OH 2
222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==即A 点坐标为（23323，）
又∵∆OAB与∆OCD的相似比为3:4
∴与点A在同一象限的对应点C的坐标为（
3 2
,2）
异侧的对应点C1坐标为（3
2-,2-）
18、如下图在∆ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使∆ABC
与∆AQP相似，则运动的时间为
7
8
13
20
或s。

解：设所用时间为ts
则由题意可得：AQ=2t ；QB=AB-AQ=5-2t
CP=t ；AP=AC-CP=4-t
H
17题
∵根据实际情况各边都不为负数，都应大于等于0 ∴算得：0≤t ≤2.5
又∵∆ABC 与∆AQP 公用∠A
∴要证明相似只需要证明这个公共角两邻边成比例即可
∴①当AP AC AQ AB =时，t
-44t 25=，所以此时t=1320（符合） ②当AQ AC AP AB =时，t
24t -45=，所以此时t=78（符合） 19、一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原来多边形的边数可能为
7或8或9
解：根据内角和公式（n-2）×180°=1080°，得
n=8.
则说明如果是内角和等于1080°的多边形是8边形。

一个多边形某个角被一条直线所截，会有以上三种情况：
①刚好直线经过两个顶点所截，如果此时得到内角和为1080°是8边形，与原图形相比少了一个边长，所以此时原图形的边数为8+1=9边形
②刚好直线经过一个顶点和一个边所截时，如果此时得
B
到内角和为1080°是8边形，与原图形相比有相同的边数，所以此时原图形的边数就为8边形
③刚好直线经过两个边长所截，如果此时得到内角和为1080°是8边形，与原图形相比多了一个边长，所以此时原图形的边数为8-1=7边形
20、在平面直角坐标系中，点P （m-3,4-2m ）可能在第 二或三或四 象限
解：四个象限内各个点的坐标的正负性分别是：
第一象限（+，+） 第二象限（-，+）
第三象限（-，-） 第四象限（+，-）
①当m-3＞0即m ＞3时，4-2m ＜0，∴P （+，-）第四象限 ②当m-3＜0即m ＜3时，4-2m 的正负性还不能确定，当4-2m=0时，
m=2；
∴当2＜m ＜3时，4-2m ＜0，∴P （-，-）第三象限
当m ＜2时，4-2m ＞0，∴P （-，+）第二象限
21、若⊙O 与⊙P 相切，且⊙O 的半径为5cm ，⊙P 的半径为2cm ，则OP 的距离为 7cm 或3cm
解：如上图两圆相切有两种情况，一种是外切，一种是内切其中点B是两圆相切的切点
①外切：OP=OB+PB=5+2=7cm
②内切：OP=OB-PB=5-2=3cm。