二项分布与超几何分布区别

二项分布与超几何分布辨析
超几何分布和二项分布都是离散型分布
超几何分布和二项分布的区别：
超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）
当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........
例1 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：
（1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；
（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．
例2．某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值；
80,150上的频率分布直方图;
（2）根据上面的频率分布表,在所给的坐标系中画出在区间[]
（3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从总
100,120中的个体数为ξ,求ξ的分布列和数学体中任意抽取3个个体,成绩落在[]
期望．
分组频数频率
[)
80,90①②
练习2.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,得出茎叶图如图所示
（Ⅰ）从平均成绩与发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员合适? （Ⅱ）若将频率视为概率,对甲运动员在今后3次比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于
80分的次数为ξ,求ξ的分布列与数学期望E ξ。

例3．按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参 加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一· 一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条
形图所示．
（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ； （II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动
甲 乙
5 3
2 5
8 0 3 5 5 4 1 9 8 7 9
次数恰好相等的概率；
（III）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参
加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．（要求：答案
用最简分数表示）
练习3．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50]、[50,60]、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70，80]的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60]记0分，在[60,80]记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。

二项分布与超几何分布练习
1．（本大题满分12分）世博会在游客入园参观的试运营阶段，
为了解每个入口的通行速度，在一号入口处随机抽取甲、
乙两名安检人员在一小时完成游客入园人数的8次记录，
记录人数的茎叶图如下：
（1）现在从甲、乙两人中选一人担任客流高峰阶段的安检员，从统计学的角度考虑，你认
为选派哪位安检员参加合适？请说明理由；
（2）若将频率视为概率，甲安检员在正式开园的一个工作日的4小时,每个单位小时段安检人数高于80人的次数记为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．
2.下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图，
(Ⅰ)求直方图中x 的值；
(Ⅱ)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．
3.某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组： [](](]0,5,5,10,,25,30⋅⋅⋅，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
（Ⅱ）现从这40名的学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列与其数学期望E （Y ）．
第17题图
4.甲、乙两人参加2010年亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；
(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
5．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列与数学期望
() E X
.
6．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A配方的频数分布表
（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列与数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）． 解
二项分布与超几何分布练习
1．【解析】（1）派甲参赛比较合适．理由如下：
x 甲 = 1
8(70×2 + 80×4 + 90×2 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 5) = 85， 1
8x =
乙(70×1 + 80×4 + 90×3 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85，
21
8s =
甲[(78 – 85)2+ (79 – 85)2 + (81 – 85)2 + (82 – 85)2 + (84 – 85)2 + (88 – 85)2 + (90 –
85)2
+ (92 – 85)2
+ (95 – 85)2
] = 35.5
S 乙2
=222222
1[(7585)(8085)(8585)(9085)(9285)(9585)]8-+-+-+-+-+-=41
∵
22,x x s s =<甲乙乙
甲，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．（6分）
注：本小题的结论与理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回
答，同样给分．如派乙参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲检测85人以上（含85人）的概率P1 = 3 8，
乙检测85人以上（含85人）的概率241
. 82
P==
∵P2＞P1，∴派乙参赛比较合适．
（2）记“甲安检员在一小时完成安检人数高于80人”为事件A，
63 ().
84 P A==
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且ξ~B (4，
3
4)．
∴P (ξ= k) =
4
4
31
,
44
k k
k
C
-
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭k = 01，2，3，4 …………8分
所以变量
ξ的分布列为：
ξ0 1 2 3 4
P
1
256
12
256
54
256
108
256
81
256
Eξ= 4×3
4= 3 （12分）
2解：(Ⅰ)依题意与频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12；
(Ⅱ)由题意知，X~B(3，0.1)，
因此，，
，
故随机变量X的分布列为∴X的数学期望为EX=3×0.1=0.3。

3解：（Ⅰ）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为
(0.010.020.030.09)50.1550.75
+++⨯=⨯=，………2分∴健康上网天数超过20天的学生人数是
40(10.75)400.2510
⨯-=⨯=．………4分
（Ⅱ）随机变量Y的所有可能取值为0,1,2．………5分
P(Y=0)=
2
30
2
40
29
52
C
C
=, P(Y=1)=
11
1030
2
40
5
13
C C
C
=,P(Y=2)=
2
10
2
40
3
52
C
C
=．……8分
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P 29
52
5
13
3
52
∴E （Y ）=0×
2952+1×513+2×352=12
． 4.解析：(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则
P (ξ＝0)＝C 3
4C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 1
6·C 2
4C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 2
6·C 1
4C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 3
6C 310＝1
6，
其分布列如下：
(2)P (A )＝C 2
6C 1
4＋C 3
6C 310＝60＋20120＝23，P (B )＝C 2
8C 1
2＋C 3
8C 3
10＝56＋56120＝1415. 因为事件A 、B 相互独立，
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P (
)A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－23⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－1415＝1
45
，
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P ＝1－P (
)
A ·
B ＝1－145＝4445
.
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44
45.
法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
P ＝P ()A ·B ＋P ()
A ·
B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445
. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44
45
5.解：本小题主要考查古典概型与其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件
和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力. （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件
(0,1,2,3),
i A i ==则
21
32322531
().
5C C P A C C =⋅=
（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则
23
B A A =，又
22111
322222222253531
(),
2C C C C C P A C C C C =⋅+⋅=且A2，A3互斥，所以
23117()()().2510P B P A P A =+=
+=
（II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.
212279(0)(1),10100
7721(1)(1),101050749
(2)().
10100P X P X C P X ==-
===-==== 所以
X 的数学期望
921497()012.100501005E X =⨯
+⨯+⨯=
6（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为228
=0.3100+，所以用A 配方
生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210
0.42
100+=，所以用B 配方生产
的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
[)[)[]
90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54，
P(X=4)=0.42， 即X X。