新教材苏教版高中数学必修一 学生版 知识点07 指数与对数

高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）
知识点7指数与对数
指数
根式-------- n 次方根，根式
1．a 的n 次方根的定义
一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. 2．a 的n 次方根的表示
3.(1)负数没有偶次方根．
(2)0的n 次方根等于0，记作n
0＝0.
(3)(n
a )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．
(4)n
a n ＝a (n 为大于1的奇数)．
(5)n
a n
＝|a |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≥0，
－a ，a <0(n 为大于1的偶数)．
4.指数幂的运算
对有理数指数幂的运算性质的三点说明：
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：∈同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
∈幂的幂，底数不变，指数相乘；
∈积的幂等于幂的积．
(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．
(3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
对数
1.对数的定义：
一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示：
2.对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
∈将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
∈利用幂的运算性质和指数的性质计算．
3.对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
∈“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
∈“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
4.对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；
(2)log a M
N＝log a M－log a N；
(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．
解决对数应用题的一般步骤
一、由根式化简求值
例题1
若
=，则实数a 的取值范围是(
)
A ．a ∈R
B ．a ＝
12
C ．a ＞12
D ．a ≤
12
例题2
下列说法正确的个数是（ ）
∈16的4次方根是2；的运算结果是±2；∈当n 为大于1a ∈R 都有意义；∈当
n 为大于1a ≥0时才有意义. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
训练1
则实数a 的取值范围是
A ．(),3-∞
B ．1,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
训练2
=a 的取值范围是（ ）
A ．1[,)2
+∞
B ．1(,]2
-∞
C ．11[,]22
-
D ．R
二、根式与分数指数幂的互化
例题1
化简43
]的结果为（
）
A ．5 B
C
．D ．5-
例题2
的结果是（ ） A ．
13
2
- B ．
122
-
C ．
232
-
D ．
322
-
训练1
0a >）的分数指数幂形式为（ ） A ．
34
a
-
B ．
34
a
C ．
43
a
-
D ．
43
a
训练2
设0a >
2表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A ．
12
a
B ．5
6a C ．76
a
D ．
32
a
三、指数式与对数式的互化
例题1
log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是（ ） A ．a b ＝N B ．b a ＝N C ．a N ＝b D ．b N ＝a
例题2
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ∈，空气的温度是0θ∈，经过t 分钟后物体的温度θ∈可由公式010()e
kt
θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有
80∈的物体，放在20∈的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40∈，则k 约等于（参考数据：ln 3 1.099≈）
（ ） A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4
D ．0.3
训练1
下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A ．01e =与ln10=
B ．1
3
1
8
2
-
=
与811log 23=-
C ．3log 92=与1
2
93=
D ．7log 71=与177=
训练2
指数式 x 3=15的对数形式为:
A ．log 3 15=x
B ．log 15 x=3
C ．log x 3= 15
D ．log x 15= 3 四、对数的概念判断与求值
例题1
下列指数式与对数式的互化不正确的一组是
A ．100
=1与lg1=0
B ．13
1
27
3
-
=与271log 33=-
C ．log 39=2与32=9
D ．log 55=1与51=5
例题2
下列语句正确的是
∈对数式log a N=b 与指数式a b =N 是同一关系的两种不同表示方法． ∈若a b =N （a>0且a≠1，N>0），则log a N a N =一定成立． ∈对数的底数可以为任意正实数． ∈log a a b =b 对一切a>0且a≠1恒成立． A ．∈∈∈∈ B ．∈∈∈ C ．∈∈∈
D ．∈∈∈
训练1
下列函数是对数函数的是 A ．3log (1)y x =+
B ．()y log 2a x = (a 0,a 1)>≠
C ．ln y x =
D ．2
y log a x = (a 0,a 1)>≠
训练2 有下列说法： ∈零和负数没有对数；
∈任何一个指数式都可以化成对数式； ∈以10为底的对数叫做常用对数； ∈以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
综合式测试
一、单选题
1．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）
A ．1
[
,100]100
B ．1
(0,
][100,)100
⋃+∞ C ．1
(0,
][10,)10
+∞ D ．1
[
,10]10
2．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
3．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18
B ．
118
C ．
83
D ．38
4．已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．p m n >>
B ．m n p >>
C ．m p n >>
D ．p n m >>
5．若35225a b ==，则
11
a b +=（ ） A ．
12
B ．
14
C ．1
D ．2
6．某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知lg 20.3010=，lg30.4771=）.（ ） A ．2023年
B ．2024年
C ．2025年
D ．2026年
7．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.2%，则至少要抽的次数是（参考数据：lg20.301=） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
8．函数()5
1f x ax bx =-+，若()()5lg log 105f =，则()()
lg lg5f 的值为（ ） A ．3- B ．5 C ．5- D ．9-
二、填空题
9
2log 3125
(log 10)4-++
10．若,a b 是方程242(lg )lg 10x x -+=的两个实根，则 lg()(log log )a b ab b a +的值为______．
11．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C
分别在函数
y x
=，1
2
y x =
，x
y =⎝⎭
的图像上，且矩
形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.
12．已知()
232log 3x f x =⋅，则()
1007
2f 等于__________.
三、解答题
13．（1）计算：5log 333
332
2log 2log log 8259
-+-； （2）122
2
3
01322(7.8)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭-⎭.
14．（1）证明对数换底公式：log log log a b a N
N b
=
（其中0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >） （2）已知3log 2m =，试用m 表示32log 18.
15．已知函数x
y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2
x
x a f x a =+.
（1）求a 的值；
（2）证明：()()11f x f x +-=；
（3）求12320142015201520152015f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值.。