天津市四合庄中学2021年高考数学中“平面向量多选题”的类型分析含答案

天津市四合庄中学2021年高考数学中“平面向量多选题”的类型分析含答案
一、平面向量多选题
1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22
,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集
合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,x
M x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )
A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M 【答案】BD
【分析】
根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．
在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，
所以1M 不是“互垂点集”集合；
对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；
在x
y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；
对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合，
故选：BD ．
【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．
2．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB
是圆()()22
:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）
A ．弦A
B 的中点轨迹是圆
B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22
222x y -+-=上
C ．线段PG
长的最大值为1
D ．PA PB ⋅
的最小值6+
【答案】ABC
【分析】
对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算
得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =
--问题，即可判断. 【详解】
对于选项A ：设()00,G x y
，
2AB =
G 为弦AB 的中点，
GB ∴=，
而()()22:114C x y
+++=，
半径为2，
则圆心到弦AB 的距离为1CG =
=，
又圆心()1,1C --， ()()22
00111x y ∴+++=，
即弦AB 的中点轨迹是圆.
故选项A 正确；
对于选项B ： 由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩
， 得22223211321
1m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 代入()()22
22x y -+-整理得2，
故选项B 正确；
对于选项C ：由选项A 知：
点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，
由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22
222x y -+-=， ()()
11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=
所以线段1112max
11PG PG r r =++=+=，
故选项C 正确；
对于选项D ： ()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+
()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅
22203PG PG GB PG =+⋅-=-，
故()()2min min
3PA PB PG ⋅=-，
由选项C 知：1112min
11PG PG r r =--=-=，
所以()()2
min 136PA PB ⋅=-=-， 故选项D 错误；
故选：A B C.
【点睛】
关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.
3．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）
A ．0OE OC +=
B ．1AB CE ⋅=-
C ．32OA OB OC ++=
D ．132
DE = 【答案】AC
【分析】
建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，
因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确；
B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；
C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以
33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以3OA OB OC ++= D ．因为()123,0,03D E ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误， 故选：AC.
【点睛】
关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.
4．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°
【答案】ACD
【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.
【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，
∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53
λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；
对于D ，因为|||a a b =-∣
，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.
故错误的选项为ACD
故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
5．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()1
2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC
【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．
【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()
(),44,1λ∈-∞--，故D 错误； 故选：AC ．
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
6．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ）
A ．1122AD A
B A
C =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133
BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+
【答案】ABD
【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.
【详解】 解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122
AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；
对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+
=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()
22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+
=+-=+，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
7．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】AD 【分析】
由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果.
【详解】 平面向量,,a b c 两两夹角相等， ∴两两向量所成的角是0︒或120︒.
当夹角为0︒时，
,,a b c 同向共线，
则4a b c ++=；
当夹角为120︒时，
,a b 为单位向量，
1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，
又2c =，
1a b c ∴++=.
故选：AD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
8．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ）
A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3) 【答案】ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；
当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；
当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．
∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．
故选:ABC .
【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
9．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ）
A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；
B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；
C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；
D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】BCD
【分析】
通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确．
【详解】
对A ，当0a = 时，可得到A 不成立；
对B ，//a b 时，有326
k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形， a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．
对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．
10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ）
A ．a 为单位向量
B ．//b B
C C ．a b ⊥
D ．()6a b BC +⊥ 【答案】ABD 【分析】 求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，
3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；
对于C 选项，21123cos 0333
a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()22
60a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。