专题：不等式与线性规划 导学案 河北省枣强中学2020届高三文科数学二轮复习

使用日期：2020年4月17日编号：29
课题：不等式与线性规划（第1讲）
[明晰考情] 1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中低档难度.
考点一不等关系与不等式的性质
要点重组
不等式的常用性质
(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(2)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥1).
(3)如果a >b >0，那么n a >n
b (n ∈N ，n ≥2). 1.若a >b >0，
c <
d <0，则一定有( )
A.a c >b d
B.a c <b d
C.a d >b c
D.a d <b c 2.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b ＜ab ＜0 B.ab ＜a ＋b ＜0 C.a ＋b ＜0＜ab
D.ab ＜0＜a ＋b
3.已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A.1x －1
y
＞0 B.sin x －sin y ＞0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞0
考点二 不等式的解法
方法技巧
(1)解一元二次不等式的步骤
一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式Δ)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式解集).
(2)可化为f(x)
g(x)
＜0(或＞0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解.
(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.
1.用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{x＋3，－x2＋3x＋6}，则不等式f(x－
1)<2的解集为()
A.{x|x<－1}
B.{x|x>4}
C.{x|x<－1或x>4}
D.{x|x<0或x>5}
2.已知函数f(x)＝
2
1
3
,1,
log,1,
x x x
x x
⎧-+
⎪
⎨>
⎪⎩
≤
若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－
3
4m恒成立，则实数m的取
值范围为____________.
考点三 基本不等式
要点重组
基本不等式：a ＋b
2
≥ab ，a >0，b >0
(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等.
(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致.
1．已知x ，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1
y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．10
D ．11
2.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )
A.⎝⎛⎭
⎫1＋
32米 B.2米 C.(1＋3)米 D.(2＋3)米
考点四 简单的线性规划问题
方法技巧
(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.
(2)常见的目标函数①截距型：z ＝ax ＋by ； ②距离型：z ＝(x －a )2＋(y －b )2；③斜率型：z ＝y －b
x －a
.
1.(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤5，
2x －y ≤4，
－x ＋y ≤1，
y ≥0，
则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )
A.6
B.19
C.21
D.45
2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x 的最大值为( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．0
3．(2018·河南联考)若直线l ：kx －y ＋1＝0上不存在满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
x －4y －4≤0的点(x ，y )，则
实数k 的取值范围为( )
A ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞
B ．⎣⎡⎦⎤0，7
4 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫74，＋∞ D ．⎝⎛⎭
⎫0，74 4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
[明晰考情] 1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中低档难度.
考点一 不等关系与不等式的性质
要点重组
不等式的常用性质
(1)如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (2)如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥1). (3)如果a >b >0，那么n
a >n
b (n ∈N ，n ≥2). 1.若a >b >0，
c <
d <0，则一定有( )
A.a c >b d
B.a c <b d
C.a d >b c
D.a d <b c 答案 D
解析 由c <d <0，得1d －1c ＝c －d dc <0，∴－1d >－1
c >0， 又a >b >0，∴－a
d >－b c ，∴a d <b
c .
2.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b ＜ab ＜0
B.ab ＜a ＋b ＜0
C.a ＋b ＜0＜ab
D.ab ＜0＜a ＋b
答案 B
解析 ∵a ＝log 0.20.3＞log 0.21＝0， b ＝log 20.3＜log 21＝0，∴ab ＜0.
∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3＞log 0.30.4＞log 0.31＝0， ∴0＜a ＋b
ab ＜1， ∴ab ＜a ＋b ＜0.
3.已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A.1x －1
y
＞0 B.sin x －sin y ＞0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0 D.ln x ＋ln y ＞0
答案 C
解析 函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1x ＜1y ，即1x －1
y ＜0，A 错；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调函数，B 错；函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
在(0，＋∞)上单调递减，
所以⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y ＜0，C 正确；ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x ＞y ＞0时，xy 不一定大于1，即不一定有ln xy ＞0，D 错.
考点二 不等式的解法
方法技巧
(1)解一元二次不等式的步骤
一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式Δ)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式解集).
(2)可化为f (x )
g (x )＜0(或＞0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解.
(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.
1.用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{x ＋3，－x 2＋3x ＋6}，则不等式f (x －1)<2的解集为( ) A.{x |x <－1} B.{x |x >4} C.{x |x <－1或x >4} D.{x |x <0或x >5}
答案 D
解析 画出y ＝x ＋3与y ＝－x 2＋3x ＋6的图象如图所示， 由图易得f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋3x ＋6(x <－1)，x ＋3(－1≤x ≤3)，
－x 2＋3x ＋6(x >3)，
故f (x )的图象如图中的粗线部分所示，由f (x )<2，作出直线y ＝2，数形结合得x <－1或x >4， 则由不等式f (x －1)<2，可得x －1<－1或x －1>4，得x <0或x >5，故选D.
2.已知函数f (x )＝21
3
,1,
log ,1,x x x x x ⎧-+⎪
⎨>⎪⎩≤若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取
值范围为____________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－1
4∪[1，＋∞) 解析 由题意知，m 2－3
4
m ≥f (x )max .
当x ＞1时，f (x )＝13
log x 是减函数，∴f (x )＜f (1)＝0；
当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝1
2，且开口向下，
∴f (x )max ＝－14＋12＝1
4
.
∴f (x )在R 上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝1
4. ∴m 2－34m ≥14，
即4m 2－3m －1≥0， ∴m ≤－1
4或m ≥1.
考点三 基本不等式
要点重组
基本不等式：a ＋b
2
≥ab ，a >0，b >0
(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等.
(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致.
1．已知x ，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1
y 的最小值为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
答案 B
解析 ∵x ，y >0且x ＋4y ＝1， ∴1x ＋1
y ＝(x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝5＋4·y x ＋x y ≥5＋2
4·y x ·x
y ＝5＋4＝9，
当且仅当4·y x ＝x
y 即⎩⎨⎧
x ＝1
3，y ＝1
6
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝12
(舍)，等号成立．故选B ．
2.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )
A.⎝⎛
⎭
⎫1＋
32米 B.2米 C.(1＋3)米 D.(2＋3)米
答案 D
解析 由题意设BC ＝x (x >1)米，AC ＝t (t >0)米，依题意知AB ＝AC －0.5＝t －0.5(米)，在ABC 中，由余弦定理得
AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得
t ＝
x 2－0.25
x －1
(x >1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2，又x >1，故t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝1＋32时取等号，
此时t 取最小值2＋3，故选D.
考点四 简单的线性规划问题
方法技巧
(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.
(2)常见的目标函数 ①截距型：z ＝ax ＋by ； ②距离型：z ＝(x －a )2＋(y －b )2； ③斜率型：z ＝y －b
x －a
.
1.(2018·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤5，2x －y ≤4，
－x ＋y ≤1，
y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )
A.6
B.19
C.21
D.45
答案 C
解析 画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－3
5x ＋z 5
.
设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－3
5x ＋z 5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3
＝21. 故选C.
2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，则y
x 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．0
答案 C
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y
x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故y
x 的最大值为3.故选C ．
3．(2018·河南联考)若直线l ：kx －y ＋1＝0上不存在满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
x －4y －4≤0
的点(x ，y )，
则实数k 的取值范围为( )
A ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞
B ．⎣⎡⎦
⎤0，7
4 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫74，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫0，74 答案 D
解析 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
x －4y －4≤0，
对应的可行域如图中阴影部分：
直线l ：kx －y ＋1＝0可化为y ＝kx ＋1，故直线l 过定点C (0,1)，由图可知，当直线l 过⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －y ＝0，x ＋y －2＝0交点A (1,1)时，k ＝0；当直线l 过⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＝0，x －4y －4＝0交点B ⎝⎛⎭⎫－43，－43时，k ＝7
4. 由此可知当0<k <7
4时，直线与不等式组无交点，即直线l 上不存在满足不等式组的点．故选D ．
4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨)
1
2
8
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
解析：选D 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
3x ＋2y ≤12，
x ＋2y ≤8，
目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选
D.。