2016浙江省台州市高二上期末数学试卷

2016-2017学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是（）
A．x+y﹣1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0
2．（3分）若一个球的半径为1，则它的表面积是（）
A．4πB．2πC．πD．
3．（3分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y=0，则圆C的圆心坐标为（）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CC1所成角的大小为（）A．60°B．30°C．90°D．45°
5．（3分）设直线l的方向向量为（1，﹣1，1），平面α的一个法向量为（﹣1，1，﹣1），则直线l与平面α的位置关系是（）
A．l⊂α B．l∥α C．l⊥α D．不确定
6．（3分）已知直线l在平面α内，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（3分）在平面直角坐标系中，方程+=1所表示的曲线是（）A．椭圆B．三角形C．菱形D．两条平行线
8．（3分）已知抛物线y2=4x上一动点M（x，y），定点N（0，1），则x+|MN|的最小值是（）
A．B．C．﹣1 D．﹣1
9．（3分）已知F1和F2分别是椭圆C：+y2=1的左焦点和右焦点，点P（x0，y0）是椭圆C上一点，切满足∠F1PF2≥60°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[1，]D．[，]
10．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，E1，F1分别为棱AB，AC，AA1，CC1的中点，点G，H分别为四边形ABB1A1，BCC1B1对角线的交点，点I为△A1B1C1的外心，P，Q分别在直线EF，E1F1上运动，则在G，H，I，这三个点中，
动直线PQ（）
A．只可能经过点I B．只可能经过点G，H
C．可能经过点G，H，I D．不可能经过点G，H，I
二、填空题（本大题共有6小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共20分）
11．（4分）直线x﹣y﹣3=0的斜率为，倾斜角为．
12．（4分）在空间直角坐标系中，点A（2，1，2）到原点O的距离为，点A关于原点O对称的点的坐标为．
13．（3分）如图，某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．
14．（3分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离
心率为．
15．（3分）在直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），过原点O的直线l2与l1垂直，垂足为M，则|OM|的最大值为．
16．（3分）已知A（2，2），B（a，b），对于圆x2+y2=4，上的任意一点P都有=，则点B的坐标为．
三、解答题（本大题共有5小题，共50分）
17．（8分）设p：“方程x2+y2=4﹣a表示圆”，q：“方程﹣=1表示焦点在x
轴上的双曲线”，如果p和q都正确，求实数a的取值范围．
18．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为BB1，B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：直线EF∥面ACD1；
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值．
19．（10分）已知抛物线C顶点在原点，关于x轴对称，且经过P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程及准线方程；
（Ⅱ）已知不过点P且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB为直径的圆经过点P，试求直线l的方程．
20．（10分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2，D为BC中点．
（Ⅰ）若E为棱CC1的中点，求证：A1C⊥DE；
（Ⅱ）若点E在棱CC1上，直线CE与平面ADE所成角为α，当sinα=时，求CE的长．
21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且右焦点
到上顶点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，2）的动直线交椭圆C于A，B两点，
（i）若|PA||PB|=，求直线AB的斜率；
（ii）点Q在线段AB上，且满足+=，求点Q的轨迹方程．
2016-2017学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是（）
A．x+y﹣1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0
【分析】设过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是x﹣y+c=0，把点（0，1）代入，能得到所求直线方程．
【解答】解：过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是x﹣y+c=0，
把点（0，1）代入，得0﹣1+c=0，
解得c=1．
∴所求直线方程为：x﹣y+1=0．
故选：D．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答
2．（3分）若一个球的半径为1，则它的表面积是（）
A．4πB．2πC．πD．
【分析】直接利用球的表面积公式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12=4π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（3分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y=0，则圆C的圆心坐标为（）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0 即（x+1）2+（y﹣2）2=5，
故圆心为（﹣1，2），
故选：B．
【点评】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，根据圆的标准方程求圆心，属于基础题．
4．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CC1所成角的大小为（）A．60°B．30°C．90°D．45°
【分析】将CC1平移到B1B，从而∠A1BB1为直线BA1与CC1所成角，在三角形A1BB1中求出此角即可．
【解答】解：∵CC1∥B1B，
∴∠A1BB1为直线BA1与CC1所成角，
因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
所以∠A1BB1=45°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
5．（3分）设直线l的方向向量为（1，﹣1，1），平面α的一个法向量为（﹣1，1，﹣1），则直线l与平面α的位置关系是（）
A．l⊂α B．l∥α C．l⊥α D．不确定
【分析】观察到的直线l的方向向量与平面α的法向量共线，得到位置关系是垂直．
【解答】解：因为直线l的方向向量为（1，﹣1，1），平面α的一个法向量为（﹣1，1，﹣1），显然它们共线，所以直线l与平面α的位置关系是垂直即l⊥α；
故选：C．
【点评】本题考查了利用直线的方向向量和平面的法向量的关系，判定线面关系；体现了向量的工具性；属于基础题．
6．（3分）已知直线l在平面α内，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可的结论．
【解答】解：根据面面垂直的判定定理可得，
若l⊂α，l⊥β，则α⊥β成立，即充分性成立，
若α⊥β，则l⊥β不一定成立，即必要性不成立．
故“l⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用线面垂直和面面垂直的关系是解决本题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，方程+=1所表示的曲线是（）A．椭圆B．三角形C．菱形D．两条平行线
【分析】去掉绝对值，可得方程+=1的曲线围成的封闭图形．
【解答】解：x≥0，y≥0方程为+=1；x≥0，y≤0方程为﹣=1；
x≤0，y≥0方程为﹣+=1；x≤0，y≤0方程为﹣﹣=1，
∴方程+=1的曲线围成的封闭图形是一个
以（0，4），（2，0），（0，﹣4），（﹣2，0）为顶点的菱形，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是曲线与方程，分析出几何体的形状是解答的关键，难度中档．
8．（3分）已知抛物线y2=4x上一动点M（x，y），定点N（0，1），则x+|MN|的最小值是（）
A．B．C．﹣1 D．﹣1
【分析】抛物线的焦点坐标为（1，0），M到准线的距离为d，则x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，即可得出结论．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为（1，0），M到准线的距离为d，则
x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，
∴x+|MN|的最小值是﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线定义的运用，属于中档题．
9．（3分）已知F1和F2分别是椭圆C：+y2=1的左焦点和右焦点，点P（x0，y0）是椭圆C上一点，切满足∠F1PF2≥60°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[1，]D．[，]
【分析】设当点P在第一象限时，求出∠F1PF2=60°时，PF2的大小，由焦半径公式的PF2=a﹣ex0解得x0，根据对称性，则x0的取值范围
【解答】解：∵a=，b=1，∴c=1．
设当点P在第一象限时，|PF1|=t1，|PF2|=t2，
则由椭圆的定义可得：t1+t2=2…①
在△F1PF2中，当∠F1PF2=60°，
所以t12+t22﹣2t1t2•cos60°=4…②，
由①﹣②得t2=，
由焦半径公式的a﹣ex0=，解得x0=，
当点P向y轴靠近时，∠F1PF2增大，根据对称性，则x0的取值范围是：[﹣，
]
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质及焦点三角形的特征，属于中档题．
10．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，E1，F1分别为棱AB，AC，AA1，CC1的中点，点G，H分别为四边形ABB1A1，BCC1B1对角线的交点，点I为△A1B1C1的外心，P，Q分别在直线EF，E1F1上运动，则在G，H，I，这三个点中，动直线PQ（）
A．只可能经过点I B．只可能经过点G，H
C．可能经过点G，H，I D．不可能经过点G，H，I
【分析】根据题意，得出PQ与GH是异面直线，PQ不过点G，且不过点H；当A1B1⊥B1C1时，外接圆的圆心I为斜边A1C1的中点，P与F重合，Q是E1F1的中点，PQ过点I．
【解答】解：如图所示；
三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接GH，则GH∥E1F1，
∴G、H、F1、E1四点共面与平面GHF1E1；
又点P∉平面GHF1E1，Q∈E1F1，
∴Q∈平面GHF1E1，且Q∉GH，
∴PQ与GH是异面直线，即PQ不过点G，且不过点H；
又点I为△A1B1C1的外心，
当A1B1⊥B1C1时，I为A1C1的中点，
若P与F重合，Q是E1F1的中点，此时PQ过点I．
故选：A．
【点评】本题考查了空间中的两条直线位置关系，也考查了直线过某一点的应用问题，是综合性题目．
二、填空题（本大题共有6小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共20分）
11．（4分）直线x﹣y﹣3=0的斜率为1，倾斜角为45°．
【分析】直接化直线方程为斜截式得答案．
【解答】解：由x﹣y﹣3=0，得y=x﹣3，
∴直线x﹣y=﹣30的斜率是1，倾斜角为45°．
故答案为1，45°．
【点评】本题考查直线的斜率，考查直线方程的斜截式，是基础的计算题．
12．（4分）在空间直角坐标系中，点A（2，1，2）到原点O的距离为3，点A关于原点O对称的点的坐标为（﹣2，﹣1，﹣2）．
【分析】利用两点间矩离公式、对称的性质直接求解．
【解答】解：点A（2，1，2）到原点O的距离d==3，
点A（2，1，2）关于原点O对称的点的坐标为（﹣2，﹣1，﹣2）．
故答案为：3，（﹣2，﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、对称性质的合理运用．
13．（3分）如图，某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为2．
【分析】由三视图可知该三棱锥的底面为等腰直角三角形，高为3．从而解得．【解答】解：该三棱锥的底面为等腰直角三角形，高为3．
则其体积V==2，
故答案为2．
【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于基础题．
14．（3分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离
心率为2．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，可得=，即
，解得e=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
15．（3分）在直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），过原点O的直线l2与l1垂直，垂
足为M，则|OM|的最大值为．
【分析】分a=0或a≠0两种情况讨论，设y=，根据判别式求出y的范
围，即可得到|OM|的最大值
【解答】解：直线l1：ax﹣y﹣a+2=0（a∈R），化为y=ax﹣a+2，则直线l1的斜率为a，
当a=0时，11：y=2，
∵过原点O的直线l2与l1垂直，
∴直线l2的方程为x=0，
∴M（0.2），
∴|OM|=2，
当a≠0时，
则直线l2的斜率为﹣，
则直线l2的方程为y=﹣x，
由，解得x=，y=，
∴M（，），
则|OM|==，
设y=，则（1﹣y）a2﹣4a+4﹣y=0，
∴△=16﹣4（1﹣y）（4﹣y）≥0，
解得0≤y≤5，
∴|OM|的最大值为，
综上所述：|OM|的最大值为，
故答案为：
【点评】本题考查了直线方程的垂直的关系和直线与直线的交点和函数的最值得问题，属于中档题
16．（3分）已知A（2，2），B（a，b），对于圆x2+y2=4，上的任意一点P都有=，则点B的坐标为（1，1）．
【分析】设P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=2（x﹣a）2+2（y﹣b）2，化简可得（2﹣2a）x+（2﹣2b）y+a2+b2﹣2=0，由此可求点B的坐标．
【解答】解：设P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=2（x﹣a）2+2（y﹣b）2，
化简可得（2﹣2a）x+（2﹣2b）y+a2+b2﹣2=0，
a=1，b=1时，方程恒成立，∴点B的坐标为（1，1），
故答案为（1，1）．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查恒成立问题，正确转化是关键．三、解答题（本大题共有5小题，共50分）
17．（8分）设p：“方程x2+y2=4﹣a表示圆”，q：“方程﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线”，如果p和q都正确，求实数a的取值范围．
【分析】先求出命题p真、命题q真时a的范围，由p和q都正确，得⇒实数a的取值范围．
【解答】解：若命题p真：方程x2+y2=4﹣a表示圆，4﹣a＞0，即a＜4，
若命题q真：则a+1＞0，得a＞﹣1，
∵p和q都正确，所以⇒﹣1＜a＜4，实数a的取值范围：（﹣1，4）【点评】本题考查了复合命题的判断，考查圆和双曲线的性质，是一道基础题
18．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为BB1，B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：直线EF∥面ACD1；
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）连结BC1，则EF∥BC1，从而EF∥AD1，由此能证明直线EF∥面ACD1．（Ⅱ）连结BD，交AC于点O，连结OD1，则OD⊥AC，OD⊥AC，∠DOD1是二面角D1﹣AC﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BC1，则EF∥BC1，
∵BC1∥AD1，∴EF∥AD1，
∵EF⊄面ACD1，AD1⊂面ACD1，
∴直线EF∥面ACD1．
解：（Ⅱ）连结BD，交AC于点O，连结OD1，
则OD⊥AC，OD⊥AC，
∴∠DOD1是二面角D1﹣AC﹣D的平面角，
设正方体棱长为2，
在Rt△D1DO中，OD=，OD1=，
∴cos∠DOD1===，
∴二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查利用二面角的余弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．
19．（10分）已知抛物线C顶点在原点，关于x轴对称，且经过P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程及准线方程；
（Ⅱ）已知不过点P且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB为直径的圆经过点P，试求直线l的方程．
【分析】（I）由题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px（p＞0），把点P（1，2）代入解得p．可得抛物线C的标准方程及其准线方程．
（II）时直线l的方程为：y=x+b，代入抛物线方程可得：y2﹣4y+4b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意可得：=0，可得（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2﹣2（y1+y2+4=0，把根与系数的关系代入即可得出．
【解答】解：（I）由题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px（p＞0），把点P（1，2）代入可得：22=2p×1，解得p=2．
∴抛物线C的标准方程为：y2=4x，准线方程为x=﹣1．
（II）时直线l的方程为：y=x+b，代入抛物线方程可得：y2﹣4y+4b=0，△=16﹣16b＞0，解得b＜1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4，y1•y2=4b，∴x1+x2=y1+y2﹣2b，x1x2==b2．
由题意可得：=0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2﹣2（y1+y2+4=0，
∴b2﹣（4﹣2b）+1+4b﹣8+4=0，即b2+6b﹣7=0，解得b=﹣7，或b=1（舍去）．
∴直线l的方程为：x﹣y﹣7=0．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、圆的性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（10分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2，D为BC中点．
（Ⅰ）若E为棱CC1的中点，求证：A1C⊥DE；
（Ⅱ）若点E在棱CC1上，直线CE与平面ADE所成角为α，当sinα=时，求CE的长．
【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥A1C．
（Ⅱ）求出平面ADE的法向量，由CE与平面ADE所成角α满足sinα=，利用向量法能求出CE．
【解答】（Ⅰ）证明：建立如图所示空间直角坐标系，A1（2，0，2），D（0，0，0），E（0，﹣2，），C（0，﹣2，0），
=（0，﹣2，），=（﹣2，﹣2，﹣2），
∴•=0+4﹣4=0，
∴DE⊥A1C；
（Ⅱ）解：CE=a（0），则E（0，﹣2，a），A（2，0，0），=（2，0，0），=（0，﹣2，a）
设平面ADE的法向量=（x，y，z），
则，取=（0，a，2），
设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα==，∴a=1，即CE=1．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且右焦点
到上顶点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，2）的动直线交椭圆C于A，B两点，
（i）若|PA||PB|=，求直线AB的斜率；
（ii）点Q在线段AB上，且满足+=，求点Q的轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）根据题意求出a，c的值，从而求出b的值，求出椭圆的方程即可；（Ⅱ）（i）设出直线方程，和椭圆联立方程组，根据根与系数的关系求出直线斜率k的值即可；
（ii）设出Q的坐标，根据+=，得+=，求出k 的值，带入直线方程，整理即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：c=1，a=，
∴b2=a2﹣c2=1，
∴+y2=1；
（Ⅱ）（i）设直线AB：y=k（x﹣2）+2，
点A（x1，y1），B（x2，y2），
由，
得：（1+2k2）x2+4k（2﹣2k）x+2（2﹣2k）2﹣2=0（*），
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
|PA||PB|=|2﹣x1|•|2﹣x2|
=（1+k2）[4﹣2（x1+x2）+x1x2]
==，
解得：k2=1，即k=1或﹣1，
经检验，k=1；
（ii）设点Q（x0，y0），由点Q在直线AB上，
得y0=k（x0﹣2）+2，（**），
又+=，得+=，
∵+=，
∴2﹣x0=2×=2×（2+）=，
∴k=，
把它带入（**）式，得y0=k（x0﹣2）+2=（x0﹣2）+2=﹣x0+，
即点Q的轨迹方程是：x+2y﹣1=0，（＜x＜）．
【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查考查椭圆的性质以及直线的斜率问题，是一道综合题．。