福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

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福建省三明一中高三数学上学
期第一次月考试题
班级：科目：
福建省三明一中2021届高三数学上学期第一次月考试题
一、单项选择题： 1．已知复数(
)
3i 2z +=，则z =（ ）．
A ．
1
2
B ．1
C ．3
D ．2
2．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ）． A ．sin
cos 22
x x y = B ．2
sin y x = C ．tan 2y x =
D ．sin 2cos 2y x x =+
3．在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2
2
2
b a
c ab +-=，则角C 为（ ）． A ．
π6
B ．
π4
C ．
π3
D ．
2π3
4．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行,且各边都被交点三等分．若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）．
A ．
14
B ．
13 C ．12
D ．
23
5．已知()sin π3cos θθ+=-，π
2
θ<，则θ等于（ )．
A ．π6-
B ．π3-
C ．π6
D ．
π3
6．将两枚均匀的骰子投掷一次所得的点数分别为m ，n ．已知6m n +≥，则7m n +=的概率为
（ ）． A ．
17
B ．
16
C ．
213
D ．
313
7．ABC △中90C ∠=︒,2AC =,P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（ ）． A ．2
B ．4
C ．8
D ．不确定
8．已知函数()2sin f x x ω=在区间ππ,34⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-，则ω的取值范围是( )． A ．(]3,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
B ．32,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．[)3,2,2
⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦
D ．3,22
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
二、多项选择题：每小题有多个正确选项．
9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）． A ．2
3
4
i i i i 0+++= B ．3i 1i +>+
C ．若()2
z=12i +,则复平面内z 对应的点位于第四象限
D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形
ABCDEFGH ，其中1OA =，则以下结论正确的是（ ）．
A ．0HD BF ⋅=
B ．22
OA OD ⋅=-
C ．2OB OH OE +=-
D ．22AH FH -=-11．在ABC △中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ，以下说法中正确的是（ ）． A ．若A B >，则sin sin A B >
B ．若4a =，5b =，6c =，则AB
C △为钝角三角形 C ．若5a =,10b =，π
4
A =
，则符合条件的三角形不存在 D ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △为直角三角形 12．设函数()()πsin 05f x x ωω⎛
⎫
=+> ⎪⎝
⎭
，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点．下面论述正确的是（ )．
A ．()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点
B ．()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点
C ．()f x 在π0,
10⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
三、填空题：
13．()6
2x y +展开式中含2
4
x y 项的系数为______．（用数学作答）
14．来自甲、乙、丙3个班级的5名同学站在一排照相,其中甲班有2名同学，乙班有2名同学,丙班有1名同学,则仅有甲班的同学相邻的站法种数为______． 15．已知平面向量a ,b ,其中2a =，1b =,π
,3
a b =,则2a b -=______；若t 为实数，则a tb +的最小值为______．
16．在扇形OAB 中，π
3
AOB ∠=,C 为弧AB 上的动点，若OC xOA yOB =+,则3x y +的取值范围为______．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤． 17．已知()1,2a =，()1,3b =-，()3,2c =-． (1）求向量a 与2a b +所成角的余弦值； （2）若()()
2//a b b kc ++，求实数k 的值． 18．已知函数()21f x a b =⋅+，其中向量3sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos ,cos 22x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭． （1）若ABC △为锐角三角形,求()f A 的取值范围；
（2)保持()y f x =上每点的纵坐标不变，将横坐标缩小到原来的一半得到函数()y g x =,求()y g x =在区间π0,2
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的单调递增区间．
19．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中7a =，8c =．
（1）若sin C =
,求角A ；
(2）若b c <，且ABC △的面积为ABC △的周长．
20．某上市公司成立二十周年期间举行了一场“公司是我家"的知识竞赛．为了解本次竞赛成绩的情况，从中随机抽取了部分职工的成绩(单位：分，满分为100分)作为样本进行统计,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图回答下列问题．
组别 分组 频数 频率
第1组 [)50,60 8
0.16
第2组 [)60,70
a
第3组 [)70,80 20 0.40 第4组 [)80,90 0.08 第5组 []90,100
2 b
合计
（1）求出a ，b ,x ，y 的值；
（2)在抽取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的职工中随机抽取2名职工进行宣讲,求所抽取的2名职工来自同一组的概率；
（3）在（2）的条件下，用ξ表示所抽取的2名职工来自第5组的人数，求ξ的分布列及数学期望． 21．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，
2
π3
B =
，3c = （1）求角C ；
（2）若点E 满足2AE EC =，求BE 的长．
22．一台机器的重要系统由5个元件组成，各个元件是否正常工作相互独立，且每个元件正常工作的概率均为
1
2
上,若系统中有多于一半的元件正常工作，则系统就能够正常工作． (1）求该系统不能正常工作的概率；
（2）为提高该系统的工作性能，拟增加两个功能一样的其它品牌元件,且每个元件正常工作的概率均为
p ，则p 满足什么条件时，可以提高整个系统的工作性能？
参考答案
1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 9．AD 10．ABC 11．ACD 12．ACD 13．60
14．24
15．（1)2
（23
16．[]1,3
17．解：(1)∵()1,2a =，()1,3b =-，∴()21,8a b +=-． 设向量a 与2a b +所成角为θ，
则()()
23
cos 13135652a a b
a a
b θ⋅+===
⨯+
所以向量a 与2a b +3
1313
(2）∵()21,8a b +=-, 又∵()31,32b kc k k +=--,
∵()()
2//a b b kc ++可知()()()132831k k -⨯-=-，解得522
k =． 18．解:（1)()22123cos cos 1222x x x f x a b ⎛⎫=⋅+=-+ ⎪⎭
π3cos 2sin 6x x x ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭．
由已知π02A <<
,πππ
663
A -<-<， 即1π3sin 26A ⎛
⎫-
<-<
⎪⎝
⎭()13f A -<< (2）依题意，()π2sin 26g x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
， 令πππ
2π22π262k x k -
≤-≤+，k ∈Z 时，函数单调递增， 解得ππ
ππ63k x k -≤≤+，
联立ππππ63π
02
k x k x ⎧-≤≤+⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，解得π03x ≤≤，
即()y g x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为π0,3
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
19．解：(1
）由正弦定理可得sin 7sin 872
a C A c ==⨯=, ∵a c <，∴A C <，所以π02A <<，∴π3
A =． （2)
由已知1
sin 28sin 2
ABC S ac B B ===△
∴sin B =
又b c <，∴B C <，∴π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴11cos 14
B ==
， 由余弦定理得,2
22
2
2
11
2cos 782782514
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴5b =，
所以ABC △的周长为20．
20．解:(1)由题意可知()280.1610
110.400.160.0810*******.08
0.160.16b b y z b a ⎧=⎪⎪
⎪=⎪⎨⎪=----⎪⎪⎪=----⨯⎩
解得16a =，0.04b =,0.032x =，0.004y =． （2）由题意可知,第4组有4人，第5组有2人,共6人．
从竞赛成绩在80分以上（含80分）的职工中随机抽取2名职工，有2
615C =种情况．
设事件:A 随机抽取的2名职工来自同一组，则()22247
1515
C C P A +=
=， 故随机抽取的2名职工来自同一组的概率为
7
15
． （3）由（2）可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，
()2420155C P ξ===,()1142811515C C P ξ===，()221
21515
C P ξ===，
所以ξ的分布列为 ∴28012515153
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． 21．解：(1)法一：由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又()()sin cos sin cos sin sin πsin A C C A A C B B +=+=-=, 所以2sin sin sin B C B =．
由于sin 02B =≠，所以1
sin 2
C =． 又π03C <<
,所以π6
C =． 法二：由题设及余弦定理可得222222
2sin 22a b c b c a b C a c ab bc
+-+-=⨯+⨯，
化简得2sin b C b =．
因为0b >，所以1
sin 2
C =． 又π03C <<，所以π
6
C =．
（2）由正弦定理易知sin sin b c
B C
==3b =．
又2AE EC =，所以22
33AE AC b ==，即2AE =．
在ABC △中，因为2π3ABC ∠=，π6C =，所以π
6A =,
所以在ABE △中,π
6
A =，A
B =2AE =，
由余弦定理得1BE ===， 所以1BE =．
22．解：(1)设系统不能正常工作的概率为1p ，
依题意，()5
01215
5
5
11
22
p C C C ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭．
(2）设增加两个新元件后，该系统能正常工作的概率为2p ， 若两个新元件都不能正常工作，则系统能够正常工作的概率为
()()()5
2
2
455
5
1311216
p C C p ⎛⎫-+=- ⎪
⎝⎭, 若两个元件中仅有一个能正常工作，则系统能够正常工作的概率为
()()()5
13452
5
5
5
1112C p p C C C p p ⎛⎫
-++=- ⎪⎝⎭
，
若两个元件都能够正常工作，则系统能够正常工作的概率为
()5
2234525555113216p C C C C p ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
, 则()()2
22313111616p p p p p =-+-+, 由212p >得1
2
p >，
所以当每个新元件正常工作的概率超过1
2
时，能够提高整个系统的工作性能．。