2025届福建省龙岩市连城县第一中学高考冲刺数学模拟试题含解析

2025届福建省龙岩市连城县第一中学高考冲刺数学模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则
()U A B ⋂=（ ） A ．()
(),35,-∞+∞ B ．(](),35,-∞+∞ C ．(]
[),35,-∞+∞ D ．()[),35,-∞+∞ 3．双曲线
的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．
B ．2
C ．3
D ．6 4．已知12log 13a =13
1412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．a c b >>
5．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商
j i a a 仍是该数列中的项，则（ ） A ．593,36a S ><
B ．593,36a S >>
C ．693,36a S >>
D ．693,36a S >< 6．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足5x y +≥
） A ．935 B ．635 C ．537 D ．737
7．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+
B ．5ln 2-
C ．3ln 2+
D ．3ln 2- 8．若集合{}2|
0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1- C ．()11-， D ．()1
2-， 9．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则
A ．//a b
B ．a b ⊥
C ．()-⊥a b a
D ．()-⊥a b b 10．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．
11．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A ．1
B
C
D ．0
12．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 的前n 项满足()3*1232232n n a a a na C n N ++++
+=∈，则n a =______. 14．已知α的终边过点(3,2)m -，若()1tan 3
πα+=，则m =__________． 15．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.
16．设全集U =R ，集合{}
220|A x x x =-<，{|1}B x x =>，则集合()U A B ⋂=______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上
方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求e 的值. （2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且22
k <-，是否存在k 使得2AB AC =成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.
18．（12分）已知等差数列{}n a 中，25514a a ==，，数列{}n b 的前n 项和21n n S b =-.
（1）求,n n a b ；
（2）若(1)n
n n n c a b =-+，求{}n c 的前n 项和n T . 19．（12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点()
1,33M --且倾斜角为α. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.
20．（12分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =，1A O ⊥平面ABCD ．
（1）证明：1//A O 平面11B CD ；
（2）若1AB AA =，求二面角111D AB A --的余弦值．
21．（12分）在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//BC AD ，CD AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，且222PO AD BC CD ====
（Ⅰ）求证：//AB 平面POC ；
（Ⅱ）求二面角O PC D --的余弦值；
（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E ，使得AB DE ⊥，若存在指出点E 的位置，若不存在请说明理由.
22．（10分）ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 54b c =，2B C =.
（1）求cos B ；
（2）若5c =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，求ADC 的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
x y <，不能得到
1x y <， 1x y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】
因为x ，y R ∈， 当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y
=>， 故x y <时，1x y
<不成立， 当1x y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立，
综上可知，“x y <”是“1x y
<”的既不充分也不必要条件， 故选：D
【点睛】 本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
2、D
【解析】
先计算集合B ，再计算A
B ，最后计算()U A B ⋂． 【详解】
解：{}
27100B x x x =-+< {|25}B x x ∴=<<，
{}37A x x =≤<
{|35}A B x x ∴=<，
()[)U ,35(,)A B -∞+∞∴=．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．
3、A
【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.
【详解】
双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r ＝. 答案：A
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.
4、D
【解析】
由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.
【详解】 根据指数函数的图像与性质可知1314
120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，
由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小；
而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-
lg13lg14lg12lg13
=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13
-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得
()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13
⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅ 221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅
11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13
⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=⋅
(
(lg13lg130lg12lg13+⋅-=
>⋅
所以a c >，
综上可知a c b >>，
故选：D.
【点睛】
本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 5、D
【解析】
由题意可得955
a a a =
，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围． 【详解】 解：i j a a +，或其积i j a a ，或其商
j i a a 仍是该数列中的项， 29a a ∴+或者29a a 或者92
a a 是该数列中的项， 又数列{}n a 是递增数列，
1239a a a a ∴<<<⋯<，
299a a a ∴+>，299a a a >，只有92
a a 是该数列中的项， 同理可以得到93a a ，94
a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<， ∴955
a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =， 同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7
483a =， 94912914133613S a a a -∴=++⋯+=
<-，
故选：D ．
【点睛】 本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
6、D
【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.
【详解】
因为,x y 是整数，所以所有满足条件的点(,)M x y 是位于圆22
10x y +=（含边界）内的整数点，满足条件2210x y +≤的整数点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),±±±±
(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(1,3)±±±±±±±±±±±±±±共37个，
满足x y +≥
7个，则所求概率为737
. 故选：D .
【点睛】
本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.
7、A
【解析】
设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2
()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．
【详解】
解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2
x a ∴=-， 而2x 满足2
221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦
设2
()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，
所以min min 42()25ln 2AB f a f ===+⎝⎭
故选：A ．
【点睛】
本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．
8、C
【解析】
求出集合A ，然后与集合B 取交集即可．
【详解】 由题意，{}2|
0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭
，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<，故答案为C. 【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．
9、D
【解析】
画出a ，b ，根据向量的加减法，分别画出()a b λ-的几种情况，由数形结合可得结果.
【详解】
由题意，得向量()a b -是所有向量()a b λ-中模长最小的向量，如图，
当AC BC ⊥，即()
-⊥a b b 时，||AC 最小，满足a b a b λ-≤-，对于任意的R λ∈，
所以本题答案为D.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.
10、B
【解析】 ()2)2,4f x x π
=++,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值. 【详解】
由已知，2()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++2)2,4x π
=++ 又44x ππ-≤≤，32444
x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4πx =-时，min ()1f x =. 故选：B.
【点睛】
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.
11、B
【解析】
根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段
后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
【详解】
由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA ，
即过1段后又回到起点，
可以看作以1为周期，
由202063364÷=，
白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB →BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D →DA ，
黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，
2.
故选B .
【点睛】
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题. 12、D
【解析】
根据复数运算，求得z ，再求其对应点即可判断.
【详解】 51212z i i
==-+，故其对应点的坐标为()1,2-. 其位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1n +
【解析】
由已知写出用1n -代替n 的等式，两式相减后可得结论，同时要注意1a 的求解方法．
【详解】
∵31232232n n a a a na C +++++=①，
∴2n ≥时，31231123(1)2n n a a a n a C -++++
+-=②， ①－②得3322112()2(1)n n n n na C C C n n +++=-==+，
∴1n a n =+，
又31322a C ==，
∴1n a n =+（*n N ∈）．
故答案为：1n +．
【点睛】
本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知n S 求n a 的解题方法求解．
14、2-
【解析】
】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．
【详解】
∵α的终边过点()3,2m -，若()1tan 3
πα+=， ()21tan , 2.33
tan m m παα-+==
=∴=-． 即答案为-2.
【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.
15、21 3892
【解析】
根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积.
【详解】
如图所示：
正四棱锥P -A BCD 的下底边长为二丈，即AB =20尺，高三丈，即PO =30尺，
截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A 'B '=6尺， 所以16302130202
OO ⨯'-=⨯， 解得21OO '=，
所以该正四棱台的体积是
()2212120206638923
V =⨯⨯+⨯+=， 故答案为：21；3892.
【点睛】
本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.
16、(0,1]
【解析】
分别解得集合A 与集合B 的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.
【详解】
由题可知，集合A 中()2
202002x x x x x -<⇒-<⇒<< 集合B 的补集{|1}U B x x =≤，则{0(|1})U A B x x ⋂=<≤
故答案为：(0,1]
【点睛】
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）12
e =；（2）不存在，理由见解析
【解析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率； （2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，利用等
AB AC =即可得解.
【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D . 点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB k k =-，2221310b b b a a a a c c a
--⋅=--- 化简得：22230c ac a -+=，
即22310e e -+=，解得12e =
或1e =（舍去）， 所以12
e =； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=， 由（1
）可得,:A AB y kx k ⎛=-+ ⎝⎭
2k <-
联立2212
2x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
2222212210k k x x k k +-+--=， 设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯=，
即222112B k x k --=+
，2
k <-，
所以1B A B ==-，
同理可得2
12
1
2
1
k
AC
k
⎫
-+
⎪
⎝⎭
==
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
+
若存在k
AB AC
=成立，
则
22
2
122
k
k k
+
=
++
，
20
k
++=，∆<0，此方程无解，
所以不存在k
AC
=成立.
【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.
18、（1）31
n
a n
=-，1
2n
n
b-
=；（2）
3
21,
2
33
2,
22
n
n
n
n n
T
n n
⎧
+-
⎪⎪
=⎨
⎪--
⎪⎩
为偶数
为奇数
.
【解析】
（1）由条件得出方程组211
51
52
4143
a a d a
a a d d
=+==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
=+==
⎩
⎩
，可求得{}n a的通项，当2
n≥时，1
n n n
b S S
-
=-，可得1
2
n n
b b
-
=，当1
n=时，111
=21,
S b b
=-，得出{}n b是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得{}n b的通项；（2）由（1）可知，1
(1)(31)2
n n
n
c n-
=--+，分n为偶数和n为奇数分别求得.
【详解】
（1）由条件知，211
51
52
4143
a a d a
a a d d
=+==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
=+==
⎩
⎩
，31
n
a n
∴=-，
当2
n≥时，
11
21(21)
n n n n n
b S S b b
--
=-=---，即
1
2
n n
b b
-
=，
当1
n=时，
1111
=21,1
S b b b
=-∴=，
n
b是以1为首项，2为公比的等比数列，1
2n
n
b-
∴=；
（2）由（1）可知，1
(1)(31)2
n n
n
c n-
=--+，
当n为偶数时，[]
3
(2)5(8)(31)32121
22
n n
n n
n
T n S n
=-++-++-+=⨯+-=+-
当n 为奇数时，1113332(1)1(31)2=2222
n n n n n n T T c n n n ---=+=+----+-- 综上，321,2332,22n n n n n T n n ⎧+-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩
为偶数为奇数 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前n 项和，注意分n 为偶数和n 为奇数两种情况分别求得其数列的和，属于中档题.
19、（1）4cos ρθ=
，1cos t sin x t y αα
=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2
. 【解析】
（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=
，整理得)
26cos 320t t αα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.
【详解】
（1）由22cos 2sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数， 可得()2224x y -+=，即224x y x +=，
∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=，
cos x ρθ=，222x y ρ=+，
∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，
∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，
直线l
经过点(1,M --，且倾斜角为α， ∴直线l
的参数方程：1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）. （2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t .
将直线l 的参数方程代入C 并整理，
得()263sin cos 320t t αα-++=， ∴()
63sin cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=. 又A 为MB 的中点，
∴2B A t t =，
∴()
23sin cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝
⎭，即2sin ()16πα+=， 0απ≤≤，
∴7666
π
π
πα≤+<， ∴62ππα+
=，即3πα=， ∴tan 33π
=.
【点睛】
本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
20、（1）详见解析；（2）
155
. 【解析】
（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，可证得四边形11 A OCO 为平行四边形，由此得到11AO//O C ，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，
在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,O O 分别为11,AC A C 的中点，11//OC A O ∴，
∴四边形11 A OCO 为平行四边形，11A O//O C ∴，
1A O ⊄平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ．
（2）以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．
设1OA =，
四边形ABCD 为正方形，12
AB AA ∴==11OA ∴=， 则()0,1,0A -，()10,0,1A ，()11,1,1B ，()11
,1,1D -， ()11,2,1AB ∴=，()112,0,0B D =-，()111,1,0A B =，
设()1111,,n x y z =为平面11AB D 的法向量，()2222,,n x y z =为平面11A AB 的法向量，
由1111100n AB n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：11112020x y z x ++=⎧⎨-=⎩，令11y =，则10x =，12z =-， 由2121100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：22222200x y z x y ++=⎧⎨+=⎩，令21x =，则21y =-，21z =， ()10,1,2n ∴=-，()21,1,1n =-，
12
1212115cos ,553
n n n n n n ⋅-∴<>===-⨯⋅， 二面角111D AB A --为锐二面角，
∴二面角111D AB A --的余弦值为155
. 【点睛】
本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.
21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）105
；（Ⅲ）存在，点E 为线段PC 的中点. 【解析】 （Ⅰ）连结OC ，BC AO =，//BC AD ，则四边形ABCO 为平行四边形，得到证明.
（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面PCD 法向量为1(0,2,1)n =，平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-，计算夹角得到答案.
（Ⅲ）设(,,)E x y z ，计算(,1,22)DE λλλ=--，(1,1,0)AB =，根据垂直关系得到答案.
【详解】
（Ⅰ）连结OC ，BC AO =，//BC AD ，则四边形ABCO 为平行四边形.
//AB OC AB POC OC POC ⎧⎪⊄⎨⎪⊂⎩
平面平面//AB ⇒平面POC .
（Ⅱ）PO ⊥平面ABCD ，CD AD OD BC CD ⊥⎧⇒⎨==⎩
四边形OBCD 为正方形. 所以OB ，OD ，OP 两两垂直，建立如图所示坐标系，
则(1,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)B ，
设平面PCD 法向量为1(,,)n x y z =，则1110(0,2,1)0
n CD n n PD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩， 连结BD ，可得BD OC ⊥，又BD PO ⊥所以，BD ⊥平面POC ，
平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-，
设二面角O PC D --的平面角为θ，则121210cos 5||||
n n n n θ⋅==⋅.
（Ⅲ）线段PC 上存在点E 使得AB DE ⊥，设(,,)E x y z ，(,,2)(1,1,2)(,,22)PE PC x y z E λλλλλ=⇒-=-⇒- (,1,22)DE λλλ=--，(1,1,0)AB =，102
AB DE AB DE λ⊥⇒⋅=⇒=
， 所以点E 为线段PC 的中点.
【点睛】 本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
22、（1）35
（2）10 【解析】
（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得cos C =，再根据二倍角的余弦公式计算cos B 即可；
（2）由已知可得b =a ，由已知计算出CD 与sin C ，再根据三角形的面积公式求出结果即可.
【详解】
（1）2B C =，
∴sin sin 22sin cos B C C C ==， 在ABC 中，由正弦定理得，
sin sin B b C c =，
4c =，
∴sin cos 2sin 2B b C C c ===， ∴23cos cos 22cos 15B C C ==-=
，
（2）5c =4c =，
∴b =
由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-， 则238025255
a a =+-⋅⋅⨯， 化简得，26550a a --=，
解得11a =或5a =-（负值舍去），
6BD =，∴5CD =，
cos
C =，()0,C π∈，
∴sin C ==，
∴
ADC 的面积11sin 510225
S DC AC C =⋅⋅=⨯⨯=. 【点睛】
本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.。