第8届全国大学生数学竞赛(非数学类)预赛参考解答

第8届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛参考解答 （2016年10月）
一 填空题（满分30分，每小题5分）
1. 若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则1()lim ()n
n f a n f a →+∞⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 。

解: 1()lim ()n
n f a n f a →+∞⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=()()11()()()lim ()n
f a f a n f a f a n n e f a ο'→+∞⎛⎫'++ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭。

2. 若(1)=0f ，'(1)f 存在，求极限2
20
(sin cos )tan 3lim (1)sin x x f x x x
I e x
→+=- .
解: 2222
00(sin cos )3(sin cos )
lim 3lim x x f x x x f x x x x x →→+⋅+=⋅I= 所以
2222
022''
222
00'(sin cos )(1)sin cos 1
=3lim sin cos 1sin cos 1sin 1cos 3(1)lim 3(1)lim()
13
3(1)(1)='(1)
22
x x x f x x f x x x x x x x x x f f x x x f f →→→+-+-⋅
+-+--==-=-I
3. 设)(x f 有连续导数,且2)1(=f .记)(2
y e f z x
=,若z x
z
=∂∂,求)(x f 在0>x 的表达式. 解: 由题设得
)()('222y e f y e y e f x
z
x x x ==∂∂. 令2y e u x =,得到当0>u 有 )()('u f u u f =, 即
u
u f u f 1
)()('=, 从而())'(ln ')(ln u u f =. 所以有1ln )(ln c u u f +=,cu u f =)(. 再而由初始条件得u u f 2)(=. 故当0>x 有x x f 2)(=.
4. 设()sin 2x f x e x =，求(4)
(0)f 。

解。

由Taylor 展式得 23334111()1+()2(2)()2!3!3!f x x x x o x x x o x ⎡⎤⎡⎤=++
+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以()f x 展式的4次项344
12(2)+3!3!x x x x -⋅=-，从而(4)(0)14f =-！
，故(4)(0)24f =-。

5. 求曲面2
22
x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程。

解。

该曲面在点000(,,)x y z 的切平面的法向量为00(,2,1)x y -。

又该切平面于已知平面平行，从而两平面法向量平行，故
0021
221
x y -==-。

从而002,1x y ==，得2
2
00032
x z y =+=，从而所求切平面为 2(2)2(1)(3)0x y z -+---=， 即223x y z +-=。

二（满分14分）设)(x f 在[0,1]上可导，(0)0f =，且当(0,1)x ∈，0<'()1f x <。

试证当
(0,1)a ∈，
()
2
30
()()a
a
f x dx
f x dx >⎰
⎰。

证: 设 ()2
30
()()()x
x
F x f t dt
f t dt =-⎰
⎰
，则(0)0F =且要证明'()0.F x >
设20
()2
()()x
g x f t dt f x =-⎰
， ...............................3'
则'()()()F x f x g x =， ... .........................5' 由于(0)0,'()0f f x =>，故()0f x >，从而
只要证明()0g x >，0x >。

而(0)0g =，我们只要证明'()0,0g x x a ><<。

而 '(=2()[1'()]0g x f x f x ->），得证。

................6'
三（满分14分）某物体所在的空间区域为z y x z y x 22:2
2
2
++≤++Ω, 密度函数为
222z y x ++, 求质量⎰⎰⎰Ω
++=dxdydz z y x M )(222.
解. 由于 12122121:2
22≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ωz y x , 是一个椭球, ..........................2'
其体积为π322=
V . 作变换21-=x u , 21-=y v ,⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=212z w , 将Ω变为单位球
1:222≤++∑w v u , 而
2)
,,()
,,(=∂∂z y x w v u , 故dxdydz dudvdw 2=且
⎰⎰⎰∑⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dudvdw w v u M 22
2212212121. .............................4' 因一次项积分都是0, 故
A dudvdw w v u M +⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=⎰⎰⎰∑22122
2, 其中241414121π
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=
V A . .............................4'
记()
5
4sin 1
220
20
2
22
π
θθϕππ=
⋅=++=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
dr r r d d dudvdw w v u
I . 由于2
2
2
,,w v u 在∑上积分都是3/I , 故 π62
2361313121+=+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++=A I M .............................4'
四（满分14分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上具有连续导数，(0)0,(1)1f f ==。

证明：
10111lim ()2n
n k k n f x dx f
n n →∞=⎛⎫
⎛⎫-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
∑⎰。

证明 将区间[0,1]n 等分，设分点k k x n =
，则1
k x n
∆=，且 10111lim ()n
n k n f x dx f n n →∞=⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰=()1
1
1lim ()k
k n n
x k k x n k k n f x dx f x x -→∞
==⎛⎫
-∆ ⎪⎝⎭
∑∑⎰
......................3'
11=lim [()()]k
k n
x k x n k n f x f x dx -→∞
=⎛⎫
- ⎪
⎝⎭∑⎰=1
1
()()
lim ()k
k n x k k x n k k f x f x n x x dx x x -→∞=⎛⎫-- ⎪-⎝⎭
∑⎰
11()()lim ()k k n x k k k x n k k k f f x n x x dx x ξξ-→∞=⎛⎫
-=- ⎪-⎝⎭
∑⎰（其中1(,)k k k x x ξ-∈） 11lim ()()k k n x k k x n k n f x x dx η-→∞
=⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭
∑⎰（其中k η在,k k x ξ之间） ..........................6'
211
1lim ()()2n k k k n k n f x x η-→∞
=⎛⎫⎛⎫'=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 111lim ()()2n k k k n k f x x η-→∞=-⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭
∑ 1011()=22f x dx '=--⎰。

.............................5'
五（满分14分）设函数()f x 在区间[,]0 1上连续，且()I f x dx =≠⎰
1
0。

证明在(,)0 1内
存在不同的两点,x x 12，使得()()f x f x I
+=12112。

证明：设()()x
F x f t t I
=
⎰01d ，则(0)0,(1)1F F ==。

由介值定理，存在(,)ξ∈01使得()F ξ=
1
2
. .....................6' 在两个子区间 (0, ), (, 1)ξξ分别应用拉格朗日中值定理： 111()()(0)1/2
(), (0,)0f x F F F x x I ξξξξ
-'=
==∈-， 222()(1)()1/2
(), (,1)11f x F F F x x I ξξξξ
-'=
==∈--， ....................6'
12121112()()()()1/21/2
I I f x f x F x F x ξξ
-+=+=+=''。

.....................2'
六: 设)(x f 在()+∞∞-, 可导，且)3()2()(+=+=x f x f x f 。

用Fourier 级数理论证明)(x f 为常数 .
证： 由)2()(+=x f x f 知f 为以2为周期的周期函数，其Fourier 系数分别为：
dx x n x f a n ⎰
-=
1
1
cos )(π , dx x n x f b n ⎰-=1
1
sin )(π, .............................4'
由 )3()(+=x f x f 知
dx
x n x f a n ⎰-+=1
1
cos )3(π
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰--++-++-++-++-+=+=+=-=1
1
11
31313
13
13
13
13
131sin )(3sin cos )(3cos sin )(3sin cos )(3cos )3sin sin 3cos )(cos ()3(cos )(tdt
n t f n tdt n t f n dt
t n t f n tdt n t f n dt
n t n n t n t f dt
t n t f πππππππππππππ
所以sin n n n a a b ππ=+。

.............................6' 同理可得ππn a n b b n n n 3sin 3cos -=
联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=π
πππn a n b b n b n a a n n n n n n 3sin 3cos 3sin 3cos ，得0==n n b a )2,1( =n . .........................2'
而f 可导，其Fourier 级数处处收敛于()f x ，所以
2
)sin cos (2)(0
10a nx b nx a a x f n n
n =++=∑∞= 其中1
01
()a f x dx -=⎰
为常数。

.......................2'。