成都石室中学高2019届11月份同步月考-数学(理科)试卷解析 (2)
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理科数学参考答案 第2页 共5页
3 k 2 1 1 1 2 k2 2k 2 1 3 ……………………………（5 分） 2 2 2 AC BD 2 2 1 k 2 2 1 k 2 2 k 1 2 2
法二：
AC BD
1 2 2 1 8 2 （当且仅当 AC BD ，即 k 1 取等） AC BD AC BD 3 3 8 2 综上： AC BD ………………………………………………………………………（6 分） min 3 （Ⅱ）证明：①当直线 l1 , l2 其中一条直线的斜率为 0 ，另一条斜率不存在时，易得直线 PQ 为： x 0
……………………………………………………………………………………………………………（7 分）
k 2k 2 k 2 , ②当直线 l1 , l2 的斜率存在且为 0 时，由（Ⅰ）易知 P ，同理 Q , 2 2 2 2 2k 2k 1 2k 1 2k
P 1.50 X 1.70 f 1.50 X 1.60 f 1.60 X 1.70 0.7
故 的分布列为： P n C3 0.3
n 3 n
因为从这批学生中随机选取 3 名， 相当于三次重复独立试验， 所以随机变量 服从二项分布 B 3, 0.7 ，
an 0
an an1 2 n 2
在①中令 n 1 ，解得 a1 3 a1 1舍 ………………………………………………………… （4 分）
an ຫໍສະໝຸດ 是首项为 3 ，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an 2n 1 ………………………… （6 分）
所以这批学生的身高满足近似于正态分布 N 1.6, 0.01 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发 育总体是正常的． ………………………………………………………………………………………………… （12 分） 20．（12 分）解： （Ⅰ）①当直线 l1 , l2 其中一条直线的斜率为 0 ，另一条斜率不存在时，易得
，
0.7n n 0,1, 2,3 ，
1 0.189 2 0.441 3 0.343
0 0.027
P
（III）由 N 1.6, 0.01 ，取
E 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.343 2.1 （或 E 3 0. 7 2. 1 ）………（8 分）
石室中学高 2019 届 11 月份同步考 数学参考答案（理科）
一、选择题：1-4：DCCD 5-8:BDCA 9-12:BACD
2 1 1 二、填空题:13.1；14. ；15. e e ； 16. 3 49
三、解答题 17. （12 分）解： （Ⅰ）
2 an 2an 4Sn 3①
AC BD 3 2 …（1 分）
②当直线 l1 , l2 的斜率存在且为 0 时，设 l1 : y kx 1, A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则：
2 x 2 y 2 2 0 2 k 2 x 2 2kx 1 0 y kx 1 2k 1 x1 x2 , x1 x2 ……………………………………………………………… （ 2 分） 2 2k 2 k2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 k 2 2 8 1 k 2 2 1 k ，同理 BD k ………（4 分） AC 1 k 2 2 1 2k 2 k2 2k 2 1 2 2 k 2 4 3 k 1 3 2 k 4k 2 2 k2 2 3 2 1 法一： AC BD 2 2 k 1 2 4 2 4 2 k 2 2k 2 1 2k 5k 2 2k 5k 2
1. 60 ， 0. 1，
50 X 1. 70 0. 7 0. 6826 ，又结合（Ⅰ），可得： 由（Ⅱ）可知， P <X P 1.
P 2 <X 2 P 1.40 X 1.80 2 P 1.70<X 1.80 P （ 1.50 X 1.70) 0.96 0.9544
EB DC 2, BEF 60
…（8 分）
设平面 PBC , 平面 PBD 的法向量分别为 n x1 , y1 , z1 , m x2 , y2 , z2 ，则
n PB 0 x1 3 y1 2 z1 0 即 …………………………（9 分） n 3,1, 3 n PB 0 2 3 y 2 z 0 1 1 x 3 y2 2 z 2 0 m PB 0 m 0, 2, 3 即 2 …………………………（10 分） 2 x 0 m DB 0 2 mn 5 cos m, n ……………………………………………………………………（11 分） m n 7
（Ⅱ） an 2n 1
bn
1 1 1 1 1 …………… （8 分） an an1 2n 1 2n 3 2 2n 1 2n 3
数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
1 1 1 1 1 2 3 5 5 7
①当 0 a 1 时， 0 ，则 u x 0 ，即有 g x 0 ，从而 g x 在 0, 上单调递增 又 g 1 0 ， g x 0 的解集为 0,1 ， g x 0 的解集为 1,
2 0.02 100 13 f 1.40 X 1.50 f 1.70 X 1.80 0.13 100 1 f 1.50 X 1.60 f 1.60 X 1.70 1 2 0.02 2 0.13 0.35 2 又由于组距为 0.1，所以 a 0. 20 ， b 1. 30 ， c 3. 50 ．………………………………………（4 分） （Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取 1 名，身高在 1.50,1.70 的概率为 f 1.30 X 1.40 f 1.80 X 1.90
21．（12 分） （Ⅰ） 解： f x 1
1 2a ln x 1 1 （1 分） x 2a ln x x 0 …………………………………… 2 x x x x 1 1 2a x 2 2ax 1 令 g x x 2a ln x ，则 g x 1 2 ，注意到 g 1 0 ………… （2 分） x x x x2 1 ⑴ 当 a 0 时， f x x 2 （当且仅当 x 1 取等）…………………………………………（3 分） x 2 ⑵ 当 a 0 时，令 u x x 2ax 1 ，则 u x 的 4 a 2 1 ，且 u 1 2 1 a
2 an 1 2an 1 4Sn 1 3 n 2 ②
2 2 an ①—②得： an 1 2 an an 1 4an ………………………………………………（2 分）
整理得： an an1 an an1 2 0 又
当 k 0 时， AC BD
2
max
3 2 ………………………………………………………………（5 分）
8 2 1 2 当 k 0 时， AC BD 3 2 1 （当且仅当 k 1 时取等）………（6 分） 2 3 2 2k 2 5 k
1 n 1 …（12 分） 2n 1 2n 3 3 2 n 3
18． （12 分）解： （Ⅰ）在等腰直角 PAD 中， PA PD, E 为 AD 中点 PE AD ……… …（1 分）
平面PAD 平面ABCD , 平面PAD 平面ABCD AD , PE AD, PE 平面PAD PE 平面ABCD PE BD ①………………………………………………（3 分） 在梯形 ABCD 中， AD // BC 且 AD 2BC 2CD D E D C B， C DE / / BC 四边形 BCDE 为菱形 EC BD ②………………………………………………（5 分） 由①②得 BD 平面 PEC …………………………………………………………… （6 分） （Ⅱ）如图，过点 E 作 EF / / DB ，交 AB 于 F ，由（1）易知 EF , EC, EP 两两相互垂直，建系如图 在 Rt PAD 中， ED EA 2, PA PD, PA PD ，则 EP 2
由图可知，二面角 C PB D 为锐二面角，故其余弦值为
理科数学参考答案 第1页
5 ……………………………（12 分） 7
共5页
19．（12 分） 解：（Ⅰ）由图 2 可知，100 名样本学生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以样本的频率估计 总体的概率，可得这批学生的身高高于 1.70 的概率为 0.15．记 X 为学生的身高，结合图 1 可得：
在梯形 ABCD 中， ADC 120 , ED DC 2 ，则 EC 2 3
P 0,0, 2 , C 0, 2 3,0 , B 1, 3,0 , D 1, 3,0
PB 1, 3, 2 , PC 0, 2 3, 2 , DB 2,0,0 ……
……………………………………………………………………………………………………………（9 分）
2k 2 2 2 2 2 k 2 2 k 1 ………………………………………………………… （10 分） k PQ 1 2k k k 3k 2 2 1 2k 2k 2 k 2 1 2 k 2 1 2 2 k x ，即 y lPQ : y x 2 2 3k 3 2k 3k 2k 2 直线 PQ 恒过定点 0, ……………………………………………………………………（11 分） 3 2 综上，直线 PQ 恒过定点 0, ………………………………………………………………（12 分） 3
3 k 2 1 1 1 2 k2 2k 2 1 3 ……………………………（5 分） 2 2 2 AC BD 2 2 1 k 2 2 1 k 2 2 k 1 2 2
法二：
AC BD
1 2 2 1 8 2 （当且仅当 AC BD ，即 k 1 取等） AC BD AC BD 3 3 8 2 综上： AC BD ………………………………………………………………………（6 分） min 3 （Ⅱ）证明：①当直线 l1 , l2 其中一条直线的斜率为 0 ，另一条斜率不存在时，易得直线 PQ 为： x 0
……………………………………………………………………………………………………………（7 分）
k 2k 2 k 2 , ②当直线 l1 , l2 的斜率存在且为 0 时，由（Ⅰ）易知 P ，同理 Q , 2 2 2 2 2k 2k 1 2k 1 2k
P 1.50 X 1.70 f 1.50 X 1.60 f 1.60 X 1.70 0.7
故 的分布列为： P n C3 0.3
n 3 n
因为从这批学生中随机选取 3 名， 相当于三次重复独立试验， 所以随机变量 服从二项分布 B 3, 0.7 ，
an 0
an an1 2 n 2
在①中令 n 1 ，解得 a1 3 a1 1舍 ………………………………………………………… （4 分）
an ຫໍສະໝຸດ 是首项为 3 ，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an 2n 1 ………………………… （6 分）
所以这批学生的身高满足近似于正态分布 N 1.6, 0.01 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发 育总体是正常的． ………………………………………………………………………………………………… （12 分） 20．（12 分）解： （Ⅰ）①当直线 l1 , l2 其中一条直线的斜率为 0 ，另一条斜率不存在时，易得
，
0.7n n 0,1, 2,3 ，
1 0.189 2 0.441 3 0.343
0 0.027
P
（III）由 N 1.6, 0.01 ，取
E 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.343 2.1 （或 E 3 0. 7 2. 1 ）………（8 分）
石室中学高 2019 届 11 月份同步考 数学参考答案（理科）
一、选择题：1-4：DCCD 5-8:BDCA 9-12:BACD
2 1 1 二、填空题:13.1；14. ；15. e e ； 16. 3 49
三、解答题 17. （12 分）解： （Ⅰ）
2 an 2an 4Sn 3①
AC BD 3 2 …（1 分）
②当直线 l1 , l2 的斜率存在且为 0 时，设 l1 : y kx 1, A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则：
2 x 2 y 2 2 0 2 k 2 x 2 2kx 1 0 y kx 1 2k 1 x1 x2 , x1 x2 ……………………………………………………………… （ 2 分） 2 2k 2 k2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 k 2 2 8 1 k 2 2 1 k ，同理 BD k ………（4 分） AC 1 k 2 2 1 2k 2 k2 2k 2 1 2 2 k 2 4 3 k 1 3 2 k 4k 2 2 k2 2 3 2 1 法一： AC BD 2 2 k 1 2 4 2 4 2 k 2 2k 2 1 2k 5k 2 2k 5k 2
1. 60 ， 0. 1，
50 X 1. 70 0. 7 0. 6826 ，又结合（Ⅰ），可得： 由（Ⅱ）可知， P <X P 1.
P 2 <X 2 P 1.40 X 1.80 2 P 1.70<X 1.80 P （ 1.50 X 1.70) 0.96 0.9544
EB DC 2, BEF 60
…（8 分）
设平面 PBC , 平面 PBD 的法向量分别为 n x1 , y1 , z1 , m x2 , y2 , z2 ，则
n PB 0 x1 3 y1 2 z1 0 即 …………………………（9 分） n 3,1, 3 n PB 0 2 3 y 2 z 0 1 1 x 3 y2 2 z 2 0 m PB 0 m 0, 2, 3 即 2 …………………………（10 分） 2 x 0 m DB 0 2 mn 5 cos m, n ……………………………………………………………………（11 分） m n 7
（Ⅱ） an 2n 1
bn
1 1 1 1 1 …………… （8 分） an an1 2n 1 2n 3 2 2n 1 2n 3
数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
1 1 1 1 1 2 3 5 5 7
①当 0 a 1 时， 0 ，则 u x 0 ，即有 g x 0 ，从而 g x 在 0, 上单调递增 又 g 1 0 ， g x 0 的解集为 0,1 ， g x 0 的解集为 1,
2 0.02 100 13 f 1.40 X 1.50 f 1.70 X 1.80 0.13 100 1 f 1.50 X 1.60 f 1.60 X 1.70 1 2 0.02 2 0.13 0.35 2 又由于组距为 0.1，所以 a 0. 20 ， b 1. 30 ， c 3. 50 ．………………………………………（4 分） （Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取 1 名，身高在 1.50,1.70 的概率为 f 1.30 X 1.40 f 1.80 X 1.90
21．（12 分） （Ⅰ） 解： f x 1
1 2a ln x 1 1 （1 分） x 2a ln x x 0 …………………………………… 2 x x x x 1 1 2a x 2 2ax 1 令 g x x 2a ln x ，则 g x 1 2 ，注意到 g 1 0 ………… （2 分） x x x x2 1 ⑴ 当 a 0 时， f x x 2 （当且仅当 x 1 取等）…………………………………………（3 分） x 2 ⑵ 当 a 0 时，令 u x x 2ax 1 ，则 u x 的 4 a 2 1 ，且 u 1 2 1 a
2 an 1 2an 1 4Sn 1 3 n 2 ②
2 2 an ①—②得： an 1 2 an an 1 4an ………………………………………………（2 分）
整理得： an an1 an an1 2 0 又
当 k 0 时， AC BD
2
max
3 2 ………………………………………………………………（5 分）
8 2 1 2 当 k 0 时， AC BD 3 2 1 （当且仅当 k 1 时取等）………（6 分） 2 3 2 2k 2 5 k
1 n 1 …（12 分） 2n 1 2n 3 3 2 n 3
18． （12 分）解： （Ⅰ）在等腰直角 PAD 中， PA PD, E 为 AD 中点 PE AD ……… …（1 分）
平面PAD 平面ABCD , 平面PAD 平面ABCD AD , PE AD, PE 平面PAD PE 平面ABCD PE BD ①………………………………………………（3 分） 在梯形 ABCD 中， AD // BC 且 AD 2BC 2CD D E D C B， C DE / / BC 四边形 BCDE 为菱形 EC BD ②………………………………………………（5 分） 由①②得 BD 平面 PEC …………………………………………………………… （6 分） （Ⅱ）如图，过点 E 作 EF / / DB ，交 AB 于 F ，由（1）易知 EF , EC, EP 两两相互垂直，建系如图 在 Rt PAD 中， ED EA 2, PA PD, PA PD ，则 EP 2
由图可知，二面角 C PB D 为锐二面角，故其余弦值为
理科数学参考答案 第1页
5 ……………………………（12 分） 7
共5页
19．（12 分） 解：（Ⅰ）由图 2 可知，100 名样本学生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以样本的频率估计 总体的概率，可得这批学生的身高高于 1.70 的概率为 0.15．记 X 为学生的身高，结合图 1 可得：
在梯形 ABCD 中， ADC 120 , ED DC 2 ，则 EC 2 3
P 0,0, 2 , C 0, 2 3,0 , B 1, 3,0 , D 1, 3,0
PB 1, 3, 2 , PC 0, 2 3, 2 , DB 2,0,0 ……
……………………………………………………………………………………………………………（9 分）
2k 2 2 2 2 2 k 2 2 k 1 ………………………………………………………… （10 分） k PQ 1 2k k k 3k 2 2 1 2k 2k 2 k 2 1 2 k 2 1 2 2 k x ，即 y lPQ : y x 2 2 3k 3 2k 3k 2k 2 直线 PQ 恒过定点 0, ……………………………………………………………………（11 分） 3 2 综上，直线 PQ 恒过定点 0, ………………………………………………………………（12 分） 3