【问题】高考数学二轮专题复习与策略第2部分专题讲座1四大数学思想教师用书理

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专题讲座1 四大数学思想
思想1 函数与方程思想
函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．
方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．
(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则(ln 2)与(ln 3)的大小关系为________．
(2)直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，直线l过点P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范围为________．
(1)(ln 2)＞(ln 3) (2) [(1)令F(x)＝，则F′(x)＝.
因为对∀x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0，
即F(x)在R上单调递减．
又ln 2＜ln 3，所以F(ln 2)＞F(ln 3)，
即＞，
所以＞，即3f(ln 2)＞2f(ln 3)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l与x轴的交点为N(a,0)．
由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.
因为直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，所以
解得k＞.
又M为线段AB的中点，所以
由P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，
所以＝，
所以－＝2k＋.
又因为k＞，所以2k＋≥2，当且仅当k＝时等号成立，所以－≥2，则－≤a≤0.]
函数与方程思想在解题中的应用
1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表
达式的方法加以解决．
[变式训练1] 将函数y＝sin的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________．
【导学号：】[把y＝sin的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝sin＝sin的图象，
而此图象关于y轴对称，则4m－＝kπ＋(k∈Z)，
解得m＝kπ＋(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值为.]
思想2 数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质．
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
(2016·山东高考)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是_____．
(3，＋∞) [作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋＝(x－m)2＋－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则－m2<m，即m2－>0.又m>0，解得m>3.]
数形结合思想在解题中的应用
1．建立函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．
2．建立函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．
3．建立解析几何模型求最值或范围．
4．建立函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．
[变式训练2] (1)若方程x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是________．
(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
(1) (2)(0,1)∪(1，＋∞) [(1)由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一根大于1.
设f(x)＝x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b，则
即
作出可行域如图阴影部分所示．
可以看作可行域内的点(a，b)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知kOA＝－，∴－2＜＜
－.
(2)设y ＝g(x)＝(x ≠0)，则g ′(x)＝，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0， ∴g ′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数， ∴g (x )的图象的示意图如图所示． 当x >0，g (x )>0时，f (x )>0,0<x <1， 当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，
∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．]
思想3 分类讨论思想
分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
(1)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －1，x <1，
2x
，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2
f (a )
的a 的取值
范围是________．
(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角
三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则
PF 1
PF 2
的值为________． (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ (2)2或72 [(1)由f (f (a ))＝2f (a )
得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，
∴a ≥23，∴2
3
≤a <1.
当a ≥1时，有2a
≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.
(2)若∠PF 2F 1＝90°， 则PF 2
1＝PF 2
2＋F 1F 2
2.
∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 解得PF 1＝143，PF 2＝4
3，
∴
PF 1PF 2＝72
. 若∠F 2PF 1＝90°， 则F 1F 2
2＝PF 2
1＋PF 2
2 ＝PF 2
1＋(6－PF 1)2
，
解得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴
PF 1
PF 2
＝2. 综上所述，
PF 1PF 2＝2或72
.] 分类讨论思想在解题中的应用
1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．
3．由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
[变式训练3] (1)已知二次函数f (x )＝ax 2
＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 等于________．
(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝9
2
，则a 1＝________.
(1)－3或38 (2)3
2或6 [(1)当a ＞0时，f (x )在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]上
单调递增，故当x ＝2时，f (x )取得最大值，即8a ＋1＝4，解得a ＝3
8.当a ＜0时，易知f (x )
在x ＝－1处取得最大，即－a ＋1＝4，∴a ＝－3.
综上可知，a ＝3
8或－3.
(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝3
2
，
S 3＝3a 1＝92
，显然成立；
当q ≠1时，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
q 2＝a 3＝3
2，a 1
1－q 3
1－q ＝S 3
＝9
2
.
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 1
q 2＝3
2， ①a 1
1＋q ＋q 2
＝9
2
，②
由①②，得1＋q ＋q 2
q 2
＝3，即2q 2
－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)． 当q ＝－12时，a 1＝a 3
q 2＝6.
综上可知，a 1＝3
2
或a 1＝6.]
思想4 转化与化归思想
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
(1)抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点
A (－1,0)，则PF
PA
的最小值是________．
(2)已知函数f (x )＝3e |x |
.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，则m 的最大值为________．
【导学号：】
[解题指导] (1)利用抛物线的定义把PF
PA
的最值问题等价转化成直线PA 的斜率问题． (2)f (x ＋t )≤3e x ――→x ＋t ≥0e x ＋t
≤e x ――→两边取对数t ≤1＋ln x －x
――→
令h
x ＝1＋ln x －x
h (x )min ≥－1.
(1)
22 (2)3 [(1)如图，作PH ⊥l 于H ，由抛物线的定义可知，PH ＝PF ，从而PF
PA
的最小值等价于PH PA
的最小值，等价于∠PAH 最小，等价于∠PAF 最大，即直线PA 的斜率最大．此时直线PA 与抛物线y 2
＝4x 相切，由直线与抛物线的关系可知∠PAF ＝45°，所以PF PA ＝PH
PA
＝
sin 45°＝
2
2
. (2)因为当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， 所以f (x ＋t )≤3e x ⇔e
x ＋t
≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .
所以原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任
意x ∈[1，m ]恒成立．
令h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)． 因为h ′(x )＝1
x
－1≤0，
所以函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数． 又x ∈[1，m ]，所以h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . 所以要使得对x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.
因为h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e
＝－1，且函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，
所以满足条件的最大整数m 的值为3.]
转化与化归思想在解题中的应用
1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．
2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．
3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．
4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程．
[变式训练4] (1)(2016·杭州二模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与B 1D 1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为1，则四面体B －EB 1D 1的体积为________．
(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函
数，则实数m 的取值范围是________．
(1)
105 16 (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－373，－5 [(1)连结BD ，DE (图略)，因为BD ∥B 1D 1，所以∠EBD 就是异面直线BE 与B 1D 1所成的角，设A 1A ＝1，则DE ＝BE ＝
5
2，BD ＝2，cos ∠EBD ＝54＋2－54
2×5
2
×2
＝
105，由V 三棱锥B －EB 1D 1＝V 三棱锥D 1－BEB 1得V 三棱锥B －EB 1D 1＝13×12×1×1＝16. (2)g ′(x )＝3x 2
＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x 2
＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t
－3t
恒成立，
则m ＋4≥－1，即m ≥－5；
由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373
.
所以若函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数，则m 的取值范围为－37
3＜m ＜－5.]
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