上海南汇中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

上海南汇中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
2. 将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 函数在时有极值0，那么的值为
A. 14
B. 40
C. 48
D. 52
参考答案：
B
【分析】
，若在时有极值0，可得，解得a，b，并且验证即可得出．
【详解】函数，，若在时有极值0，
可得，
则，解得：，或，，
当，时，满足题意函数在时有极值0．
当，时，，不满足题意：函数在
时有极值0．
．
故选B．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4. 从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()
A．9 B．10
C．18 D．20
参考答案：
C
略
5. 焦点坐标为，。

渐近线方程为的双曲线方程是
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
6. 已知点M（4，t）在抛物线x2=4y上，则点M到焦点的距离为（）
A．5 B．6 C．4 D．8
参考答案：
A
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】把点M（4，t）代入抛物线方程，解得t．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=t+1．
【解答】解：把点M（4，t）代入抛物线方程可得：16=4t，解得t=4．
∴点M到抛物线焦点的距离=4+1=5．
故选A．
7. 已知向量a＝(m－2, m＋3), b＝(2 m＋1, m－2),且a与b的夹角大于900,则实数m的取值范围是( )
A. m＞２或m＜－
B. －＜m＜２
C. m≠２
D. m≠２且m≠－
参考答案：
B
8. 直线是曲线的一条切线，则实数b的值为（）
A．2 B． C. D．
参考答案：
C
y′=（lnx）′= , ，令得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程, ∴ln2=1+b∴b=ln2-1．故选C．
9. 如图是一个空间几何体的主（正）视图、侧（左）视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（）
A．1 B． C． D．
参考答案：
C 10. 下列程序的输出结果是（）
A．2，2 B．3，2 C．2，
3 D．3，3
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：
①四边形BFD1E有可能为梯形
②四边形BFD1E有可能为菱形
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D
⑤四边形BFD1E面积的最小值为
其中正确的是___________（请写出所有正确结论的序号）
参考答案：
②③④⑤
略
12. 在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝5，AC＝BD＝5，AD＝BC＝6．则四面体ABCD的体积
为；四面体ABCD外接球的面积为．
参考答案：
；
13. 平面上两点满足设为实数，令表示平面上满足的所有
点
所成的图形．又令圆为平面上以为圆心，9为半径的圆．给出下列选项:
1 当时，为直线；
2 当时，为双曲线；
3 当时，与有两个公共点；
4 当时，与有三个公共点；
5 当
时，
与
有两个公共点．
其中是真命题的有: .(把你认为正确命题的序号都填上)
参考答案：
略
14. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的 X 的值为2，则输出的结果是______.
参考答案：
-3
15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，设为两个定点，
为动点，且
，其中常数为正实数，则动点
的轨
迹为椭圆； ③方程
的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有且仅
有3条.
其中真命题的序号为
．
参考答案：
①④
16. 若椭圆两焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0）点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是 ．
参考答案：
考点： 椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题： 计算题．
分析： 先设P 点坐标为（x ，y ），表示出△PF 1F 2的面积，要使三角形面积最大，只需|y|取最大，因为P 点在椭圆上，所以当P 在y 轴上，此时|y|最大，故可求．
解答： 解：设P 点坐标为（x ，y ），则，
显然当|y|取最大时，三角形面积最大．因为P 点在椭圆上，所以当P 在y 轴上，此时|y|最大，所以P 点的坐标为（0，±3），所以b=3．∵a 2=b 2+c 2，所以a=5
∴椭圆方程为
．
故答案为
点评： 本题的考点是椭圆的标准方程，主要考查待定系数法求椭圆的方程，关键是利用△PF 1F 2的面积取最大值时，只需|y|取最大
17. 设a 、b 是非零向量，给出平面向量的四个命题： ①|a ·b |＝|a ||b |；
②若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a －b |；
③存在实数m 、n 使得ma ＋nb ＝0，则m 2＋n 2＝0；
④若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |≥|b |且a 与b 方向相反． 其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)
参考答案：
②④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且。

（1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，为中点.求点到平面的距离.
参考答案：
（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴，又，∴平面，
∴. 同理，∴平面．
……6分（Ⅱ）解：法一：等体积法得到距离为
法二：建立如图的空间直角坐标系，
则.
∵为中点，∴
同理，设为平面的一个法向量，则，．又，
令则.
得．
又
∴点到平面的距离.
……13分
19. 在ABC中，, sinB=.
（I）求sinA的值；
(II)设AC=，求ABC的面积.
参考答案：
解析：（Ⅰ）（8分）由，且，∴，∴，∴，又，∴
（Ⅱ）（8分）由正弦定理得，又
∴
20. （本题满分8分）
已知的内角、、的对边分别为、、，，且（1）求角；（2）若向量与共线，求、的值．
参考答案：
（1）
，即，，
，解得（2）共线，。

由正弦定理，得，，由余弦定理，得，②联立方程①②，得。

21. 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有负实数根；
命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围。

参考答案：
略
22. 已知函数f(x)=x3+(m-4)x2-3mx+(n-6)(x∈R)的图象关于原点对称,其中m,n为常数.
(1)求m,n的值; (2)讨论函数f(x)的单调性.
参考答案：
思路分析:本题考查了函数的奇偶性以及利用导数求函数的单调区间问题.
解:(1)由于f(x)的图象关于原点对称,则f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即-x3+(m-4)x2+3mx+(n-6)=-x3-(m-4)x2+3mx-(n-6),
也就是(m-4)2+(n-6)=0恒成立.
∴m=4,n=6.
(2)f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-12.
令f′(x)=3x2-12=0,得x=±2.
∴f(x)在(-∞,-2］和［2,+∞)上是增函数,在［-2,2］上是减函数.
略。