苏教版2019年高二数学选修2-1同步课堂精练：3.1.3 空间向量基本定理 Word版含答案

1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且a＝OA＋OB＋OC，b＝OA＋OB－OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是__________．
(1)OA；(2)OB；(3)OC；(4)OA或OB.
2．在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在线段OA上且OM＝2MA，N 为BC的中点，则MN等于__________．
3．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝x AB＋y AC＋z AS，则x＋y＋z＝__________.
4．在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA＝a，OB＝b，OC ＝c，则用向量a，b，c表示OG和GH的结果是__________，__________.
5．在以下三个命题中，真命题是__________．
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
6．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，OA＝a，OC＝c，OO'＝b，D是四边形OABC 的对角线交点，则O D'＝________.
7．已知四面体ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝__________.
AA＝a，8．在空间平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连结对应顶点．设
1
AB＝b，AC＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量AM＋AN 的结果是__________．
9．设{a，b，c}是空间的一个基底．
(1)若p＝a＋2b－c，q＝－4a－8b＋4c，求证：向量p与q共线；
(2)若m＝2a－b，n＝b＋c，s＝4a－5b－3c，求证：向量m，n， s共面．
参考答案
1.答案：(3) 解析：本题考查三个向量能否构成空间的一个基底，关键是要看它们是否共面.
由a＝OA＋OB＋OC，b＝OA＋OB－OC，
得2OC＝a－b，∴OC＝1
2
a－
1
2
b.
∴OC与a，b共面.
∴OC与a，b不能构成空间基底.
2.答案：
211
322
-++
a b c解析：如图，MN＝ON－OM
＝1
2
(OB＋OC)－
2
3
OA
＝
211 322
-++
a b c.
3.答案：0 解析：BD＝1
2
(BC＋BS)＝
1
2
(AC－AB＋BS－AB)＝－AB＋
1 2AC＋
1
2
BS.
4.答案：OG＝
1
3
(a＋b＋c) GH＝
1
3
-a解析：设BC的中点为D. ∵OG＝OA＋AG，
而AG＝
2
3
AD，AD＝OD－OA，OD＝
1
2
(OB＋OC)，
∴OG＝
1
3
(a＋b＋c).
GH＝OH－OG，OH＝
2
3
OD＝
1
3
(OB＋OC)，
∴GH ＝13-a .
5. 答案：①② 解析：①正确.基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确.
6. 答案：12a －b ＋
12c 解析：O D '＝O O '＋OD ＝－OO '＋12(OA ＋OC )＝12OA －OO '＋12OC ＝12a －b ＋12
c . 7. 答案：3a ＋3b －5c 解析：取BC 的中点G ，连结EG ，FG ， 则EF ＝GF －GE ＝
12CD －12BA ＝12CD ＋12AB ＝12(5a ＋6b －8c )＋12
(a －2c ) ＝3a ＋3b －5c .
8. 答案：32a ＋b ＋c 解析：如图，AM ＋AN ＝12(AB ＋1AC )＋12
(1AB ＋1AC )＝12AB ＋121AB ＋1AC ＝12b ＋12(a ＋b )＋(a ＋c )＝32
a ＋
b ＋
c . 9. 答案：证明：(1)q ＝－4(a ＋2b －c )＝－4p ，由向量共线的充要条件知，向量p 与q 共线.
(2)假设s ＝x m ＋y n ，
则4a －5b －3c ＝x (2a －b )＋y (b ＋c )＝2x a ＋(y －x )b ＋y c .
∴24,5,3,x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩
解得2,3,x y =⎧⎨=-⎩
故s ＝2m －3n .
由向量共面的充要条件知向量m ，n ，s 共面.。