几何概型与蒲丰投针问题

新教师教学课例研究
在蒲丰提出投针问题之前，传统随机概型的事件个数是有限的。

蒲丰投针问题将随机事件的个数由有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。

传统蒲丰投针问题的结果可以由微积分等多种方法解得，由于该结果包含无理数π，数学家们也用蒲丰投针过程来模拟估计π的值。

通过对蒲丰投针及其推广问题的解答过程的研究，可以进一步理解几何概型的含义，同时，通过研究数学家们对投针问题结果的应用，可以更好地理解不同领域之间的相互交叉和共同发展。

一、蒲丰投针问题的突破性提出与概率论发展史（一）概率论的起源
概率论起源于赌博问题。

18世纪，雅各布.伯努利的《猜度术》和亚伯拉罕•棣莫弗的《机遇论》的诞生使得概率论具有了数学基础，这两本书中也给出了一系列计算复杂概率问题的方法。

伯努利证明了一系列基础的大数定理，这些定理表明在大量的随机试验中，平均结果很可能趋近于均值。

在很长的一段时间里，概率论的研究对象都是有限个离散的随机事件，直到蒲丰投针问题提出，数学家们的研究对象才从古典概型扩展到了几何概型。

（二）蒲丰投针的突破性提出及其意义
古典概型是指包含有限个等可能随机事件的概率模型，在很长一段时间内是数学家们的研究主题。

1777年法国科学家蒲丰提出了著名的蒲丰投针问题，将随机事件的个数从有限拓展到无限，并据此提出了几何概型。

后来数学家们将投针问题扩展到投小圆片等，这一类问题都被称之为“蒲丰问题”。

这些问题都具有无限个等可能的随机事件。

因为蒲丰投针问题的结果恰好和π相关，而当时人们普遍关注π的近似计算，因此蒲丰投针问题获得了很大进展。

曾经有数学家自己进行数千次投针实验，利用频率近似等于概率的思想得到无理数π的近似值。

在蒲丰提出投针问题的时候，数学家们并没有预料到这个突破性地引出了几何概型的经典问题，在未来会被如此之多地应用到无理数π的近似求解中。

二、蒲丰投针问题及其推广
（一）经典蒲丰投针问题及其解答经典的蒲丰投针问题是：在平面上有一组间距为a 的平行线，将一根长度为l 的针（l a ）随机地投掷到平面上，求针和平行线相交的概率。

分析：由于针投掷到平面上时可能发生的结果是无限的，因此这个问题的概率不能用传统古典概型的求法即针与直线相交事件的次数除以随机事件总数求得。

记x 为针的中点到最近的直线的距离，θ为针和直线的夹角，
，针和直线相交，又有x 、θ
机变量，解法一：记x 为针的中点到最近的直线的距离，θ为针和直线的夹角
由于x
，因此x 的概率密度函数是f （x ）
，同样地，由于θ
，因此
θ的概率密度函数是f （θ）=。

又由于x 、θ
密度f （x ，θ）
=
的时候：
P=
针和直线相交时针的顶端距离两条相邻直线的最长垂直距离是1×cos θ，而在这个区域里针的顶端距离直线的最长垂直距离为a ，因此在a 区域里针的顶端距离直线的距离不超过1×cos θ的概率是：
P=
，也是蒲丰投针问题的经典解法，而解法二更加独特
，可以看作典型几何概型的解答思路。

（二）蒲丰投针问题的推广
在经典的蒲丰投针问题中，投掷物针可以看作一维的线段。

在之后的研究中，数学家们对经典的蒲丰投针问题进行了推广，将投掷物针从一维的线段拓展到二维的曲线、三维的几何体等，并对此类问题进行了解答。

以向等间距平行线所在的平面投掷硬币为例。

假设平面上有a 的平行线，向该平面上随机地投掷半径为r 的硬币，求硬币和直线相交的概率。

：
这个问题可以运用几何概型最典型的解题思路求解。

设硬币圆心到距离它最近的直线的距离为R ，当R>r 时，硬币和平行线相离，而R r 时，硬币和平行线相交。

而硬币圆心到距离最近。

因此可以得到用圆心到距离最
近直线的距离R
而硬币
（一）进行蒲丰投针试验估计π
几何概型与蒲丰投针问题
曹腾之
（内蒙古包头市一机集团第一中学 内蒙古 包头 014030）
【摘要】1777年，法国科学家蒲丰提出了著名的蒲丰投针问题，将等可能事件的个数从有限拓展到无限，并提出了几何概型。

经典的蒲丰投针问题可以用微积分等多种方法解答，而数学家们在原有问题的基础上将蒲丰投针问题从二维拓展到了多维情形。

由于蒲丰投针问题的结果包含π，因此数学家们也用蒲丰投针问题来模拟π的值，现代也可以利用计算机模拟蒲丰投针过程来估计π。

【关键词】蒲丰投针；几何概型；随机模拟【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2016）29-0276-02
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，
将该式变形可得
通过进行投
，理数π。

如果进行n 次蒲丰投针实验，其中
h 次针和直线相交，那么可以用频率来估计针和直线相交的概率，进一步可以估计
，意大利数学家马里奥•拉扎里尼亲自进行了蒲丰的投针实验，通过在平面上投掷针3408次，他得到了历史上π的精确到了6位小数。

这种由投针实验求π的近似
值的方法，需要进行真正的实验并统计实验结果。

为了使得频率近似等于概率，需要进行大量的实验，在实际生活中往往难以满足这一条件。

在现代计算机技术之前，数学家们一直使用频率估计概率的方法进行投针实验来估计π，现代数学家们可以利用数值模拟方法代替真正的投针试验，利用蒙特卡罗方法来更高精度地估计π。

（二）蒙特卡罗方法估计π
可以采取如下方法数值模拟投针试验过程。

在平面上平行于直线建立y 轴，垂直于直线建立x 轴，记x 为针中点的x 轴坐标，θ为针和平行线的夹角。

由于x 、θ分别是
随机变
量，而且x 的概率密度函数是f
，θ的
于是，可以由f （x ）抽样产生
x x 、θ。

容易得其中，ξ1、ξ2都是（0，
1）上均匀分
：。

如果投掷N 次，线相交的概率。

这样就实现了用计算机进行大量随机模拟来获得更高精度的π的估计。

这种依赖重复的随机样本来得到数值解的计算算法就是蒙特卡罗方法，蒙特卡罗方法最早也诞生于蒲丰投针问题。

1777年蒲丰投针问题将随机事件的个数从有限扩展到无限，并开创性地提出了几何概率，在很长的一段时间内数学家们都致力于研究蒲丰投针及其推广问题，并给出了多种解答。

蒲丰投针问题最广泛的应用是利用随机试验来估计无理数π，随着现代计算机科学的发展，这个十分重要的应用也有了新的发展。

参考文献
[1]朱春浩.简明概率论学术史纲要[A].2010.[2]黄朝霞.蒲丰投针问题研究[A].2005.
[3]尹增谦；管景峰；张晓宏；曹春梅.蒙特卡罗方法及应用2002.
（上接96页）阶段等，还包括车站值班员服务礼仪以及礼仪投诉处理等礼仪。

职工演礼体现了轨道交通窗口服务行业对礼仪服务的重视。

这里结合了青年志愿者服务礼仪、与媒体、社区和其它公共场所中的礼仪要求，学生的演礼要遵循现实场景中的要求，比如在等公交车时，要主动排队、不能拥挤；在乡村小学支教时，要尊重学生们的习惯；在敬老院里，为老人们提供服务时，要尊重老人们的意见，不能自己想当然等等。

校外的礼仪服务，为学生提供了一个把校内尝到的礼仪知识转化为为社会公众服务的平台，学生可以通过这种方式回馈社会。

在演礼平台上，同学们学习到了老师与同学的三美：
自然美、修饰美和内在美，从而不断地提高自身的综合素质，培养出自己
高雅的气质和服务社会的的美丽心灵，使自己秀外慧中，表里如一。

参考文献
[1]王瑞平.大学生礼仪教育研究[D]太原：山西财经大学，2008.
[2]刘佳鹤.大学生礼仪修养教育研究[D].哈尔滨：东北林业大学，2010.
[3]徐秋梅.和谐社会视野下大学生礼仪修养提升的路径选择[D].上海：华东师范大学，2009.作者简介：郭珊珊（1974—），女，福建仙游人，副教授，硕士研究生，研究方向：中国现当代文学及普通话教学、礼仪教学。

本文是2017年广西教学成果奖申报阶段性研究成果之一。

（上接17页）SmFe 0.8Mn 0.2O 3样品的介电损耗峰随温度变化的关系，如图3所示。

由拟合可以得到SmFe 0.8Mn 0.2O 3陶瓷样品弛豫单元的激活能为0.75eV 。

在样品烧结中的高温退火很容易使得样品中的氧发生丢失，从而形成氧空位，而这些氧空位又可以进一步电离，如下公式所示：
O o （通常位置上的氧离子）
（氧空位）+1/2O 2 （1-4）V o
V o ++e （1-5）V o +
V o +++e
（1-6）
文献报道，对于V o +和V o ++有两个主能级分别位于0.1-0.7eV 和1.0-2.0eV ，而我们估算出跟这个值很接近，所以我们认为，SmFe 0.8Mn 0.2O 3陶瓷样品中的热激活过程也与氧空位有关。

初步认为，氧空位的产生跟材料中Fe/Mn 离子的变价有关，针对材料中氧空位的分析，还需作进一步研究。

三、小结
介电测量结果显示，样品的铁电居里温度随着Mn 掺杂的增大而降低。

分析认为这是由于Mn 掺杂削弱Fe-O-Fe 的反铁磁作用，由于样品是磁性诱发的铁电性，使得样品奈尔温度降低的同时铁电居里温度也降低，并且，我们计算了掺杂量为0.2时样品损耗峰的激活能，分析认为损耗峰是与氧空位相关的。

参考文献
[1]E. O. Wollan ，and W. C. Koehler ，Phys. Rev. 100，545 （1955）.[2]P. W. Anderson ，Phys. Rev. Lett. 21，13 （1968）.
[3]J.-Y. Kim ，T. Y. Koo ，and J.-H. Park ，Phys. Rev. Lett. 96，047205 （2006）.图3 SmFe 0.8Mn 0.2O 3陶瓷样品的介电损耗峰随温度变化的
Arrhenius 拟合结果。