二元一次方程组应用题练习

速度问题练习题与解析
要点一
题目
甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两 人同时从同地相背而跑，乙跑4分钟后两人第一次相遇，已 知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需多少分钟．
要点二
解析
设环形跑道的周长为$L$米，甲的速度为$a$米/分，乙的 速度为$b$米/分。根据题意可列方程组： $begin{cases}4a + 4b = L 6a = Lend{cases}$。解得： $begin{cases}a = frac{L}{6} b = frac{L}{4}end{cases}$ 。所以乙跑一周所需时间为$frac{L}{b} = frac{L}{frac{L}{4}} = 4$分钟。
工程问题
题目
一项工程，甲单独做20天完成，乙单 独做30天完成，甲先做了这项工程的 $frac{1}{3}$，剩下的由乙完成，还需 几天？
解析
设还需x天完成。根据题意，我们可以 列出以下方程组
工程问题
$begin{cases} frac{1}{20} times frac{1}{3} + frac{1}{30}x = 1
混合问题练习题与解析
题目
某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径 ，要从中抽取10件在同一条件下测量，如何采用简单随 机抽取的方法抽取样本？
解析
简单随机抽样的方法有抽签法和随机数法等。这里采用抽 签法更为直观易行。具体操作如下：第一步，将100件轴 分别编号1,2,…,100；第二步，准备质量相同的签100个， 并将每个轴的编号写在小纸条上放入签中；第三步，搅拌 均匀后从中抽取10个签；第四步，将对应签上的轴编号作 为样本编号，然后测量它们的直径。
方程组的性质
解的唯一性
对于给定的二元一次方程组，其 解是唯一的。
解的无穷性
当二元一次方程组中的某些系数 相等时，该方程组无解；当某些 系数成比例时，该方程组有无穷 多个解。
02
方程组的应用题类型
比例问题
题目
某农场有甲、乙两块地，甲地有100公顷，乙地有80公顷，现计划在两块地上种植棉花和玉米。如果甲地种植棉 花，每公顷需要肥料1吨，乙地种植玉米，每公顷需要肥料2吨，那么，在满足棉花和玉米所需肥料量相同的情况 下，甲、乙两块地上应各种植什么作物？
THANK YOU
感谢聆听
解集
满足二元一次方程组中所有方程的未知数的值称为 解集。
方程组的解法
代入法
通过消元法将二元一次方程组转化为一个一元一次方程，然后求 解该一元一次方程得到一个未知数的值，再将这个值代入原方程 组中求解另一个未知数。
消元法
通过加减消元法或代入消元法将二元一次方程组中的两个方程进 行消元处理，得到一个一元一次方程，然后求解该一元一次方程 得到一个未知数的值，再将这个值代入原方程组中求解另一个未 知数。
100 + x$。
工程问题练习题与解析
题目
一项工程，甲单独做20天完成，乙单 独做30天完成，若由甲先做若干天后， 乙接着做，共用25天完成，问甲做了 几天？
解析
设甲做了$x$天，则乙做了$25 - x$天。 根据工作效率=工作量/工作时间，可 列方程：$frac{x}{20} + frac{25 x}{30} = 1$。
二元一次方程组应用题练习
目
CONTENCT
录
• 方程组的概念与性质 • 方程组的应用题类型 • 方程组应用题解题技巧 • 练习题与解析
01
方程组的概念与性质
方程组的基本概念
定义
二元一次方程组是由两个或两个以上的方程组成， 其中含有两个未知数，并且每个方程中未知数的次 数都是一次。
组成
二元一次方程组由两个一次方程组成，每个方程中 包含两个未知数。
适用范围
消元法适用于任何二元一次方 程组，但需要一定的计算技巧 和耐心。
代入法
定义
代入法是通过将一个方程中的一 个未知数用另一个方程表示出来，
然后代入另一个方程进行求解的 方法。
步骤
首先通过观察或计算找出两个方程 之间的联系，然后将一个未知数用 另一个未知数表示出来，最后代入 另一个方程进行求解。
解析
设甲地种植棉花x公顷，乙地种植玉米y公顷。根据题意，我们可以列出以下方程组
比例问题
02
01
03
$begin{cases} x + y = 180 x + 2y = 200
比例问题
end{cases}$ 解得：$x = 160$，$y = 20$。
所以，甲地应种植棉花160公顷，乙地应种植玉米20公顷。
速度问题
$begin{cases}
frac{4}{x} + frac{4}{6} = 1
速度问题
end{cases}$ 解得：$x = 12$。
所以，乙跑一周需12分钟。行程Fra bibliotek题题目
甲、乙两列火车同时从A、B两地相向而行，甲车平均每小时 行驶120千米，乙车平均每小时行驶110千米．3小时相遇． A、B两地相距多少千米？
工程问题
end{cases}$ 解得：$x = 46$。
所以，还需46天完成。
速度问题
题目
甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而 跑，乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需多 少分钟．
解析
设乙跑一周需x分钟。根据题意，我们可以列出以下方程组
行程问题练习题与解析
题目
甲、乙两列火车同时从A、B两地相向而 行，甲车平均每小时行驶120千米，乙车 平均每小时行驶110千米．3小时相遇． A、B两地相距多少千米？
VS
解析
设A、B两地相距为$d$千米。根据题意 可得：甲车行驶距离+乙车行驶距离=总 距离。即：$3 times 120 + 3 times 110 = d$。
适用范围
代入法适用于任何二元一次方程组， 但需要一定的观察和计算能力。
04
练习题与解析
比例问题练习题与解析
题目
某农场有甲、乙两块地，甲地有150公顷，乙地有100公顷，现计划将甲地的部分土地 与乙地的全部土地互换，以改善种植结构，使甲、乙两块地的面积相等。问应互换多少
公顷土地？
解析
设从甲地互换到乙地的土地面积为$x$公顷，则甲地剩余面积为$150 - x$公顷，乙地 则为$100 + x$公顷。根据题意，甲、乙两块地面积相等，因此可列方程：$150 - x =
解析
设A、B两地相距x千米。根据题意，我们可以列出以下方程 组
行程问题
$begin{cases}
3 times 120 + 3 times 110 = x
行程问题
end{cases}$ 解得：$x = 750$。 所以，A、B两地相距750千米。
03
方程组应用题解题技巧
代数法
80%
定义
代数法是一种通过对方程进行变 形和代入，从而求解方程组的方 法。
100%
步骤
首先对方程进行移项、合并同类 项等变形，然后对方程进行代入 求解。
80%
适用范围
代数法适用于任何二元一次方程 组，但需要一定的计算技巧和耐 心。
消元法
定义
消元法是通过消去一个未知数 ，将二元一次方程组转化为一 元一次方程进行求解的方法。
步骤
选择一个未知数进行消元，通 过加减消元法或代入消元法将 二元一次方程组转化为一元一 次方程，然后求解。