江苏省淮安市清江中学2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(文科) 含解析

2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷
（文科）
一、YCY填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．
1．已知全集U={1,2，3，4｝，集合A={l,2，3｝，B={2，3，4}，则∁U（A∩B）=．2．命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定为．
3．复数z=（1﹣i）（2+i）的实部为．
4．已知f（+1)=lgx，则f（21）=．
5．函数f（x）=（)的增区间是．
6．定义在区间（﹣1,1）内的函数f（x）满足2f(x)﹣f（﹣x）=lg(x+1），则f（x）=．7．设奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t)=f（1﹣t）,且时，f （x）=﹣x2,则的值等于．
8．已知为偶函数，则ab=．
9．函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R）,若f（a）=2，则f（﹣a）的值为．10．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有,且当x∈［﹣3，﹣2]时,f（x)=2x，
则f的值是．
11．设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=．12．已知函数的定义域为R，则a的取值范围是．
13．设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞),x1≠x2,不等式
＞0恒成立，则实数a的取值范围是．
14．函数f（x）=｜x2+x﹣t｜在区间［﹣1，2］上最大值为4，则实数t=．
二、解答题：本大题共6小题,共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知z=1+i，a，b∈R,若，求a,b的值．
16．已知集合A=｛x|（x﹣6)(x﹣2a﹣5）＞0}，集合B={x|[（a2+2）﹣x]•（2a﹣x)＜0｝（1）若a=5，求集合A∩B；
(2）已知a,且“x∈A"是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
17．已知函数,a是实数．
（1）若函数f（x）有零点,求a的取值范围；
(2）当a=﹣1时，求函数f（x)的值域．
18．函数f（x)的定义域为(0,+∞）且对一切x＞0,y＞0,都有=f（x）﹣f（y），当x＞1
时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
(2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（6)=1，解不等式f（x+5）﹣f．
19．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0。

02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元,写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元?
(服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）
20．已知函数f(x）=x2﹣1，g（x)=a|x﹣1|．
（1）若关于x的方程|f（x)｜=g（x)只有一个实数解，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈R时,不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数h（x)=｜f（x）｜+g（x）在区间[﹣2，2］上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．
2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（下)期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、YCY填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．
1．已知全集U={1，2，3,4}，集合A={l，2，3}，B={2,3,4｝，则∁U（A∩B)=｛1，4} ．【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由A与B求出两集合的交集，根据全集U，求出交集的补集即可．
【解答】解：∵全集U={1，2,3，4｝，集合A={l，2,3}，B=｛2，3，4｝,
∴A∩B=｛2，3｝，
则∁U（A∩B）=｛1，4}．
故答案为:｛1,4}
2．命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定为∀x∈R，x+1＜0．
【考点】命题的否定．
【分析】题目给出了特称命题，它的否定是全称命题．
【解答】解：∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”，
∴命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定是：
∀x∈R，x+1＜0．
故答案为∀x∈R,x+1＜0．
3．复数z=(1﹣i）（2+i）的实部为3．
【考点】复数的基本概念．
【分析】直接把两个复数采用多项式乘多项式运算即可．
【解答】解:z=（1一i)（2+i)=1×2+i﹣2i﹣i2=3﹣i，
所以复数z的实部是3．
故答案为3．
4．已知f（+1）=lgx,则f（21）=﹣1．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】由题意，用换元法,设+1=t，求出f(t）,即可计算f(21）的值．
【解答】解:根据题意,设+1=t（t＞1）,
则x=,
∴f(t）=lg，
即f（x）=lg（x＞1）;
∴f（21)=lg=﹣1．
故答案为:﹣1．
5．函数f(x）=（）的增区间是（﹣∞，）．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】令z=2x2﹣3x+1,则y=f(x）=（）z，求得二次函数的单调性，由指数函数的单调
性,复合函数的单调性：同增异减,即可得到所求增区间．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R,
令z=2x2﹣3x+1，
可得y=f（x）=（）z在（﹣∞，+∞）递减，
函数z=2x2﹣3x+1在(﹣∞，）递减，在（,+∞）递增，
由复合函数的单调性:同增异减，可得
函数f（x)的增区间为（﹣∞，)．
故答案为：(﹣∞,）．
6．定义在区间（﹣1，1）内的函数f（x)满足2f（x）﹣f（﹣x）=lg(x+1），则f(x）=
．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】因为2f（x）﹣f（﹣x）=lg(x+1）,用﹣x代替x，得，2f(﹣x）﹣f（x)=lg(﹣x+1），两式联立消去f（﹣x），就可求出
f（x）．
【解答】解：∵2f（x）﹣f（﹣x）=lg（x+1），①
∴2f（﹣x）﹣f（x）=lg（﹣x+1）,②
①×2+②，得，3f（x）=2lg(x+1）+lg（1﹣x)
∴f（x)=
故答案为
7．设奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t)=f（1﹣t），且时，f （x）=﹣x2,则的值等于．
【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】由题设知f（3)=f（1﹣3）=f(﹣2）=﹣f（2）=﹣［f（1﹣2）］=﹣f（﹣1）=f（1)=f （0)=0.=====﹣．所以
=﹣．
【解答】解：∵奇函数y=f(x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t）,
且时，f（x）=﹣x2，
∴f（3）=f（1﹣3）=f（﹣2)=﹣f（2）=﹣［f（1﹣2）]=﹣f（﹣1)=f（1）=f（0）=0．=====﹣．
∴=﹣．
故答案为：﹣．
8．已知为偶函数，则ab=12．
【考点】偶函数．
【分析】根据偶函数的定义f（﹣x)=f（x）列出关于a，b的方程组即可解出a，b．
【解答】解:当x＞0时，﹣x＜0，∵f（x)是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），即a(﹣x）2+b（﹣x）=ax2﹣bx=3x2﹣4x，
∴，即，
故ab=12．
9．函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R）,若f（a）=2，则f(﹣a)的值为0．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】把α和﹣α分别代入函数式，可得出f(a）=a3+sina+1=2，f(﹣a）=（﹣a）3+sin(﹣a）+1,结合它们间的关系即可得出答案．
【解答】解：∵由f（a)=2
∴f（a）=a3+sina+1=2,a3+sina=1，
又∵f（﹣a）=(﹣a）3+sin(﹣a)+1=﹣（a3+sina)+1=﹣1+1=0．
故答案为0
10．设偶函数f(x）对任意x∈R，都有,且当x∈［﹣3,﹣2］时，f（x）=2x，则f的值是．
【考点】抽象函数及其应用;函数的值．
【分析】由偶函数的定义,可得f（﹣x）=f（x)，将x换为x+3，可得f（x+6）=f(x），可得函数为6为周期的函数，f=f（0。

5）=﹣,由解析式即可得到．
【解答】解：∵，
∵f(x）的周期为6，
∴f=f(19×6﹣0。

5)=f(﹣0.5）
=f（0.5）=f（﹣2.5+3）
=．
故答案为：．
11．设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或4．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由一元二次方程有实数根⇔△≥0得n≤4；又n∈N+,则分别讨论n为1，2，3，4时的情况即可．
【解答】解析：由题意得x==2±，
因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，
又因为n∈N+,取n=1，2，3,4，验证可知n=3，4符合题意；
反之n=3，4时都可推出一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根．
故答案:3或4
12．已知函数的定义域为R，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1］．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数定义域为R，转化为｜x﹣1|﹣|x﹣2|﹣a≥0恒成立即可得到结论．【解答】解：∵函数的定义域为R,
∴｜x﹣1｜﹣｜x﹣2|﹣a≥0恒成立,
即｜x﹣1|﹣｜x﹣2|≥a恒成立,
设f（x）=｜x﹣1｜﹣|x﹣2｜,
则根据绝对值函数的几何意义可知
﹣1≤f(x）≤1，
∴要使|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a恒成立,
则a≤﹣1，
故答案为:(﹣∞，﹣1］;
13．设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2,+∞)，x1≠x2，不等式
＞0恒成立，则实数a的取值范围是(﹣∞，2］．．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】首先由函数单调性定义，判断f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增;然后把a分成a≤2与a＞2两种情况分别进行检验；最后得到只有a≤2时,才满足f（x）=x｜x﹣a|在［2，+∞）上单调递增的结论．
【解答】解：由题意知f(x）=x|x﹣a｜在[2，+∞）上单调递增．
(1）当a≤2时，
若x∈［2，+∞）,则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，
此时＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的;
（2）当a＞2时，
①若x∈［a，+∞），则f（x)=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，所以f(x）在[a，+∞）上是递增的；
②若x∈[2，a）,则f（x）=x(a﹣x）=﹣x2+ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[，a）
上是递减的，因此f（x）
在［2，a）上必有递减区间．
综上可知a≤2．
故答案为（﹣∞，2］．
14．函数f(x）=｜x2+x﹣t|在区间［﹣1，2］上最大值为4，则实数t=2或．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【分析】根据数f（x）=|x2+x﹣t｜=|（x+）2﹣﹣t｜,在区间[﹣1，2]上最大值为4，可得4+2﹣t=4或+t=4，由此可求t的值．
【解答】解：∵函数f(x）=|x2+x﹣t｜=|（x+）2﹣﹣t|，在区间[﹣1,2]上最大值为4，∴4+2﹣t=4或+t=4
∴t=2或t=
故答案为：2或
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知z=1+i,a，b∈R，若,求a，b的值．
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】z=1+i，可知z2=2i，然后化简方程，利用复数相等，求出a、b的值．
【解答】解:∵z=1+i，∴z2=2i
∴，
∴∴
故选A=﹣1，b=2．
16．已知集合A=｛x｜（x﹣6）(x﹣2a﹣5)＞0｝，集合B=｛x|［（a2+2）﹣x］•（2a﹣x）＜0}
（1)若a=5，求集合A∩B；
（2）已知a,且“x∈A"是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．
【分析】（1)a=2时，集合A、B为两确定的集合，利用集合运算求解；
(2）a＞时，根据元素x∈A是x∈B的必要条件，说明B⊆A，确定端点的大小，结合数
轴分析条件求解即可
【解答】解：(1）由集合A中的不等式（x﹣6）(x﹣15）＞0，解得：x＜6或x＞15，即A=(﹣∞，6）∪（15，+∞），
集合B中的不等式为（27﹣x）•（10﹣x)＜0,即（x﹣27）（x﹣10）＜0，解得：10＜x＜27，即B=（10，27），
∴A∩B(15，27），
（2)当a＞时，2a+5＞6，∴A=（﹣∞，6）∪（2a+5,+∞），
a2+2＞2a，∴B=（2a，a2+2)，
∵x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊆A，
∴a2+2≤6，
∴＜a≤2．
17．已知函数，a是实数．
（1）若函数f（x）有零点，求a的取值范围；
（2)当a=﹣1时，求函数f（x）的值域．
【考点】函数零点的判定定理;函数的值域．
【分析】(1）函数f(x）有零点，即方程有非负实数解，采用参数分离法求a 的取值范围；
（2）当a=﹣1时，将解析式化简，看作关于的二次函数求值域．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为[0，+∞)．
由函数f(x)有零点，即方程有非负实数解，
可得在x∈[0，+∞)上有解，
因为，所以，
所以a的取值范围是．…
（2）当a=﹣1时，,x∈［0，+∞), 函数f(x）的值域为．…
第（1）用数形结合方法求解，参照给分．
18．函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对一切x＞0，y＞0，都有=f(x）﹣f（y)，当
x＞1时，有f(x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f(x）的单调性并证明；
（3）若f(6）=1，解不等式f（x+5）﹣f．
【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
【分析】（1）由条件只要令x=y=1，即可得到f（1）=0;
（2)令0＜x1＜x2，则＞1，当x＞1时,有f（x）＞0．f(）＞0，再由条件即可得到单调性；
（3）由f（6)=1，求出f（36)=2f（6）=2,f（x+5）﹣f即f[x（x+5）]＜f（36），再运用单调性，即可得到不等式，解出即可．
【解答】解：（1）∵对一切x＞0，y＞0，都有=f(x）﹣f（y），
∴令x=y=1．则f(1)=f（1)﹣f（1）=0;
（2）f（x)在定义域（0，+∞）上是增函数．
理由如下：令0＜x1＜x2，则＞1，当x＞1时，有f（x）＞0．
∴f（）＞0，即f（x2）﹣f(x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）,
则f（x）在定义域(0,+∞）上递增;
（3）若f（6）=1，则f（6）=f（)=f(36）﹣f（6），f（36)=2f(6)=2,
∴f(x+5）﹣f即f[x(x+5）］＜f（36），
∵f（x）在定义域(0,+∞）上是增函数,
∴0＜x(x+5）＜36，
∴x＞0且﹣9＜x＜4,
∴0＜x＜4．
故原不等式的解集为（0，4）．
19．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本)
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的表示方法;函数的值．
【分析】（I）服装的实际出厂单价为P，应按x≤100和x＞100两类分别计算,故函数P=f(x）应为分段函数;
（II）由（I)可求出销售商一次订购了450件服装时的出厂价P，450（P﹣40)即为所求；
也可列出当销售商一次订购x件服装时，该服装厂获得的利润函数，再求x=450时的函数值．
【解答】解:（I）当0＜x≤100时，P=60
当100＜x≤500时，
所以
(II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元,
则
此函数在[0，450］上是增函数，故当x=450时，函数取到最大值
因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．
20．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1｜．
（1）若关于x的方程|f（x)｜=g（x)只有一个实数解，求实数a的取值范围；
(2）若当x∈R时,不等式f(x)≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数h（x）=｜f（x)|+g（x)在区间［﹣2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数最值的应用．
【分析】（1）关于x的方程|f(x)｜=g（x)只有一个实数解，可转化为｜x﹣1｜（|x+1|﹣a）=0只有一个解，进而转化为｜x+1｜=a,有且仅有一个等于1的解或无解，进行判断得出参数范围即可．
（2）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可,此分类讨论是根据自变量进行分类的，故求得的参数范围必须求交集教参能满足恒成立．
（3）将所给的函数写成分段函数的形式,在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段上的最值得到函数的最大值，由于参数的影响，函数的单调性不确定,故可以根据需要分成三段进行讨论
【解答】解:(1）方程｜f(x)|=g（x）,即|x2﹣1｜=a｜x﹣1｜,变形得｜x﹣1｜(｜x+1｜﹣a）=0,
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程｜x+1|=a,
有且仅有一个等于1的解或无解,
由此得a＜0．
(2）不等式f(x）≥g（x）对x∈R恒成立,即（x2﹣1）≥a｜x﹣1｜（＊）对x∈R恒成立, ①当x=1时,（＊）显然成立，此时a∈R;
②当x≠1时,（*）可变形为，令
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ(x)＞﹣2，
所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．
（3）因为h(x）=｜f(x)｜+g(x）=｜x2﹣1|+a｜x﹣1｜=
当时，结合图形可知h（x)在[﹣2，1］上递减,在[1，2］上递增，
且h（﹣2)=3a+3,h（2）=a+3，经比较,此时h(x）在[﹣2，2］上的最大值为3a+3．
当时，结合图形可知h（x）在［﹣2，﹣1]，上递减，在，［1，2］上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3,，经比较,知此时h（x）在[﹣2，2］上的最大值为3a+3．
当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，
在，［1，2]上递增,且h(﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，,
经比较，知此时h（x）在［﹣2，2]上的最大值为a+3．
当时,结合图形可知h（x）在，
上递减,
在，上递增，且h(﹣2）=3a+3＜0，h(2)=a+3≥0，
经比较,知此时h(x）在[﹣2，2］上的最大值为a+3．
当时，结合图形可知h（x)在［，﹣1］上递增，在［1，﹣]上递
减，
故此时h（x)在［﹣2，2]上的最大值为h(1）=0．
综上所述，当a≥0时，h（x）在[﹣2,2］上的最大值为3a+3；当﹣3≤a＜0时，h(x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3；
当a＜﹣3时，h（x）在［﹣2,2]上的最大值为0．
2016年8月2日。