高考数学第一轮总复习 第13单元《几何证明选讲》同步训练 理 新人教B版

高考数学第一轮总复习 第13单元《几何证明选讲》
同步训练 理 新人教B 版
第71讲 相似三角形的判定与性质
1.如图，△ADE ∽△ACB ，∠ADE ＝∠C ，那么下列比例式成立的是( )
A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC
B. AB AB ＝AE AC ＝DE BC
C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC
D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC
2.在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，那么DE ∶BC ＝( )
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶ 2
D ．1∶1
3.在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，过C 作CE ⊥BD 于E ，则BE ＝( )
A.b a
B.a b
C.b2a2＋b2
D.a2＋b2b
(第3题图) (第4题图)
4.如图，在△ABC 中，AE ＝ED ＝DC ，FE ∥MD ∥BC ，FD 的延长线交BC 的延长线于点N ，且EF ＝2，则BN ＝( )
A ．7
B ．6
C ．8
D ．12
5.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为 .
(第5题图) (第6题图)
6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ，AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝______.
7.如图，在直角梯形ABCD中，上底AD＝3，下底BC＝33，与两底垂直的腰AB＝6，在AB上任取一点P，使△PAD和△PBC两个三角形能构成一对相似三角形，这样的点P有个．8.把一个面积为4的三角形ABC用以下方式生成一个新的三角形DEF：点D与点A关于点B对称，点E与点B关于点C对称，点F与点C关于点A对称，求三角形DEF的面积．
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD3＝BC·BE·CF.
第72讲 直线与圆的位置关系
1.如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过点C 的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于( )
A ．15° B．20°
C ．25° D．30° 2.已知AB 与C
D 相交于圆内一点P ，且∠APD ＝30°，则弧AD 与弧BC 所成的圆心角的度数和为( )
A ．30° B．45°
C ．60° D．180°
3.点P 为⊙O 的弦AB 上一点，且AP ＝9，PB ＝4，连接PO ，作PC ⊥OP 交圆于C ，则PC 的长为( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
4.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝3，PB ＝1，则∠ABC ＝( )
A ．70° B．60°
C ．45° D．30°
5.如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若PA BC ＝32，则PB BC
＝________.
6.如图，已知直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，以AC 为直径作圆O 交AB 于D ，则CD ＝ .
7.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB ，垂足为D ，且AD ＝5DB ，设∠COD ＝θ，则tan θ的值为________．
8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.
(1)求∠APB的大小；
(2)当OA＝3时，求AP的长．
9.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.
(1)求证：BE＝2AD；
(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．
第十三单元 几何证明选讲
第71讲 相似三角形的判定与性质
1．A 由△ADE ∽△ACB ，∠ADE ＝∠C ，可确定两个相似三角形的对应边，由此可知AD AC ＝AE AB
＝DE BC
，故选A. 2．C
3．C 由直角三角形射影定理可知BC2＝BE·BD，
所以BE ＝BC2BD ＝b2a2＋b2
. 4．C 因为FE ∥MD ∥BC ，AE ＝ED ＝DC ， 所以EF BC ＝AE AC ＝13，EF CN ＝ED DC ＝11
＝1， 所以EF ＝CN ，所以EF BN ＝EF BC ＋CN ＝14
， 所以BN ＝4EF ＝8. 5.92 AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13
. 因为BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92. 6．15 由三角形相似可得EO BC ＝AO AC ，解得EO ＝152
. 由对称性知OF ＝OE ，所以EF ＝15.
7．2 设AP ＝x.
(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝AP BC ，即36－x ＝x 33
，所以x2－6x ＋9＝0，得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP ，即333＝x 6－x
，所以得x ＝32. 所以符合条件的点P 有2个．
8．解析：连接AF ，BD ，CE ，则S △DEF ＝S △ECF ＋S △FAD ＋S △DBE ＋S △ABC ＝2S △ABC ＋2S △ABC ＋2S △ABC ＋S △ABC ＝28.
9．证明：在Rt △ABC 中，因为AD ⊥BC ，
所以AD2＝BD·DC，且AD·BC＝AB·AC.
在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
由射影定理，BD2＝BE·BA，DC2＝CF·AC，
所以BD2·DC2＝BE·BA·CF·AC＝BE·CF·AD·BC＝AD4，所以AD3＝BC·BE·CF. 第72讲 直线与圆的位置关系
1．B 由已知，CO ⊥CP ，即∠OCP ＝90°.
又∠COB ＝2∠CAB ＝70°，
所以∠P ＝90°－∠COB ＝20°.
故选B.
2．C 特殊位置法：点P 是圆心即可得正确答案为C.
3．B 如右图．
因为OP ⊥PC ，
所以P 为弦CD 的中点，
故PC2＝PA·PB＝9×4，
即PC ＝6(负值舍去)． 4.B 由切割线定理得PA2＝PB·PC. 因为PA ＝3，PB ＝1，所以解得PC ＝3，
即BC ＝2，OA ＝1，OP ＝2，
因为OA ⊥PA ，所以∠P ＝30°，∠AOB ＝60°，
因为OA ＝OB ，所以∠ABC ＝60°，故选B.
5.12
根据切割线定理有 PA2＝PB·PC＝PB(PB ＋BC)，
PA BC ＝32
， PB2＋PB·BC－34
BC2＝0， (2PB ＋3BC)(2PB －BC)＝0，
所以PB BC ＝－32(舍去)，PB BC ＝12
. 6.125
∠ADC 为直径AC 所对的圆周角，则∠ADC ＝90°. 在Rt △ACB 中，CD ⊥AB.
由等面积法有AB·CD＝CA·CB，故得CD ＝125
. 7.52 设BD ＝k(k>0)． 因为AD ＝5DB ，所以AD ＝5k ，AO ＝OB ＝5k ＋k 2
＝3k ， 所以OC ＝OB ＝3k ，OD ＝2k.
由勾股定理得，
CD ＝OC2－OD2＝3k 2－2k 2＝5k ，
所以tan θ＝CD OD ＝5k 2k ＝52
. 8．解析：(1)因为在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°， 所以∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.
因为PA ，PB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ， 即∠OAP ＝∠OBP ＝90°，所以∠APB ＝60°.
(2)如图，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D.
因为在△OAB 中，OA ＝OB ，所以AD ＝12
AB. 因为在Rt △AOD 中，OA ＝3，∠OAD ＝30°，
所以AD ＝OA·cos 30°＝332
，AP ＝AB ＝3 3.
9．解析：(1)证明：连接DE ，因为ACED 是圆的内接四边形， 所以∠BDE ＝∠BCA ，
又∠DBE ＝∠CBA ，
所以△BDE ∽△BCA ，
即有BE BA ＝DE CA
，而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE ， 又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD.
(2)由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，
根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，
即(AB －AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，
所以(2－t)×2＝2t(2t ＋2)，即2t2＋3t －2＝0，
解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12
.。