重庆大学城第一中学校高中数学人教A版必修五教案：第一章第一节正弦定理

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在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边
从而在直角三角形ABC
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学做思一：正弦定理?
导学：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：?
如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=A sin B=B sin A,则，同理，可得.从而
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（当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）?
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即?
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导做：是否可以用其他方法证明这一等式？?
可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系．?
导思：很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.
在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到
∠BAB′=90°，∠C =∠B′，
∴sin C=sin B′=.
∴.
同理,可得.
∴.
这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式?
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学做思二：正弦定理证明
导学：我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?
向量的数量积的定义式A·B=|A||B|C osθ,其中θ为两向量的夹角.
回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?
可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化.
这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.
导做：在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得?
+
AC=
CB
AB
而添加垂直于AC的单位向量j是关键,为了产生j与AB?、AC、CB的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.
导思：下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.
向量法证明过程:。