高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3....》108PPT课件

3.两个复数的积是一个确定的复数.
4.复数的乘法仍然满足交换律、结合 律、分配律.
5.一般地，当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时，这两个复数叫 做互为共轭复数.
6.复数z=a+bi的共轭复数记作
z, 即 z = a - bi.
7.复数的除法是乘法的逆运算.
8.复数的除法法则：
(a
+
bi)
(c
3.2.2
馆陶一中：石雨松
回顾旧知
复数加减法的运算法则是什么？
回
两个复数相加(减)就是实
忆 部与实部,虚部与虚部分别相
加(减).
…
复数加法和减法运算的几何意义是什么？
复数的加、减法可以按照向量 的加、减法来进行.
新课导入
实数能进行加、减、乘、 除运算，那么复数呢？
其实，复数除了 可以相加相减之外，它 还可以乘除呢！这也是 我们这节课的重点.
对于任意z1, z2 , z3 ∈C有 交换律：z1z2 = z2z1 结合律：(z1z2 )z3＝z1(z2z3 ) 分配律：z1(z2 + z3 )＝z1z2＋z1z3
例题1
计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
提示
复数的乘法与多项式的乘法是 类似的,我们知道多项式的乘法用乘 法公式可迅速展开, 运算,类似地, 复数的乘法也可大胆运用乘法公式 来展开运算.
进入我们 今天学习 的内容.
学习目标
1.理解复数代数形式的四则运算，并能用运算律进行 复数的四则运算。
2.能根据所给的运算形式选择恰当的方法进行四则运 算。
3.掌握类比的数学方法。
多项式的乘法运算 ？
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
由多项式的乘法法则，我们可以类 比出复数的乘法法则吗？
是 4 - 20i 的共轭复数，求x的值．
解：因为 4- 20i的共轭复数是 4+ 20i，
根据复数相等的定义，可得
x2 x2
+ x - 2 = 4, - 3x + 2 = 20.
解得
x = -3或x = 2 x = -3或x = 6
X=-3
2.设w = - 1 + 3 i，求证 W3 = 1.
22
2.下列命题中的真命题为：(D )
A.
若Z1
+ Z2
=
0,
则Z1与Z
互为共轭复数
2
B.
若Z1
+ Z2
=
0,
则Z1与Z
互为共轭复数
2
C.
若Z1
- Z2
=
0,
则Z1与Z
互为共轭复数
2
D. 若Z1 - Z2 = 0,则Z1与Z2互为共轭复数
解答题
1.已知复数 x2 + x - 2 + (x2 - 3x + 2)i (x R)
例题3
计算 (1 + 2i) (3 - 4i).
提示 用上面的方法把分母“实数化”.
解：(1 + 2i) (3 - 4i) = 1 + 2i
3 - 4i
=
(1 + 2i)(3 + 4i) (3 - 4i)(3 + 4i)
=
3
-
8 + 6i + 32 + 42
4i
= -5 + 10i = - 1 + 2 i.
解： 原式=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i. 注意
(-2i)4i=8 而不是
-8！
例题2
计算 (1)(3 + 4i)(3 - 4i); (2)(1 + i)2 .
提示
本例可以用复数的乘法法则 计算，也可以用乘法公式计算.
实数系中的乘法公式在 注意 复数系中也是成立的.
解：(1) (3 + 4i)(3 - 4i)
（17.全国1）下列运算结果为纯虚 数的是（）
A.
B.
C.
D.
答案：C.
随堂练习
填空 1.若Z∈C且(3+ Z)i =1,则Z = ( -3-i ). 2.(1+ 2i)2 = ( -3+4. i ).
自己动动手
选择
1.设z
=
3 + i，则 1 等于( z
D
)
A.3 + i B.3 - i C. 3 i + 1 D. 3 + 1 i 10 10 10 10
我 来们 进用 行乘 计法 算公
式
= 32 - (4i)2
= 9 - (-16)
= 25.
(平方差公式)
（2）(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
.
= 1 + 2i - 1
= 2i. (完全平方公式)
知识要点
注意本例 (1) 3+4i 与 3-4i 两复数的特点. 我们把这两个复数3+4i,3-4i称为共 轭复数.
一般地，当两个复数的实部相 等,虚部互为相反数时，这两个复
数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
知识要点
复数z=a+bi的共轭复数记作 z, 即 z = a - bi
动动脑
若Z1,Z2,是共轭复数，那么 （1）在复平面内，它们所对应的点 有怎样的位置关系？
（关于X轴对称）
（2）Z1Z2是一个怎样的数？( 实数)
证明：w3
=
(-
1 2
+
3 2
i)3
=
(-
1 2
+
3 2
i)2
(-
1 2
+
3 2
i)
=
(-
1 2
-
3 2
i)(-
1 2
+
3 2
i)
=
(-
1 2
)2
-
(
3 2
i)2
=
1 4
+
3 4
=
1.
3.计算 (1- 4i)(1 + i) + 2 + 4i
3 + 4i
解：
(1- 4i)(1 + i) + 2 + 4i = 1 + 4 - 3i + 2 + 4i
25
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课堂小结
1.复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数， 那么它们的积
a + bic + di = ac + b (ac - bd) + (ad + bc)i.
2.复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,复数的乘法也可运用乘法公式来展 开运算.
探究
类比实数的除法是乘法的逆 运算，我们规定复数的除法是乘 法的逆运算，试探求复数除法的 法则.
大家想想我们如何处理根式除法的？
做根式除法时，分子分母都乘以分母的 “有理化因式”，从而使分母“有理化”.
我们可以类比根式的除法，从而得到简便 的操作方法：先把两个复数相除写成分数形 式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，使分母“实数化”，最后在化简.
+
di)
=
ac c2
+ +
bd d2
+
bc -ad c2 + d2
i
其中(c + di 0).
9.在实际中我们进行复数相除的方法是： 先把两个复数相除写成分数形式，然 后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，使分母“实数化”，最后在化简.
高考链接
（18.全国1）设
，
则 =( )
A.0 B. C.1 D.
我们规定，复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个 复数，那么它们的积
a + bic + di = ac + bci + adi + bdi2
= (ac - bd) + (ad + bc)i
i2 = -1 注意
能描述出复数乘法的运算 法则吗？
探究
思考…
复数的乘法是否满足交换律、结合律？ 乘法对加法满足分配律吗？
3 + 4i
3 + 4i
=
7+i 3 + 4i
=
(7
+ i)(3 - 4i) 32 + 42
= 21+ 4 + 3i - 28i = 25 - 25i = 1- i.
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习题答案
练习(第111页)
1. (1) -18-21i; (2) 6-17i; (3) -20-15i. 2. (1) -5; (2) -2i; (3) 5. 3. (1) i; (2) -i; (3) 1-I; (4) -1-3i.