第三章 微分方程及差分方程方法

dy q( y)


p(x)dx
．
得到方程 dy p(x) q( y) 的隐式通解为 dx G(y) F(x) C ．
其中 G( y) 为 1 的原函数， F (x) 为 p(x) 的一个原函数， C 为任意常数． q( y)
2、齐次方程
形如
dy dx

f

y x

的方程，称为齐次方程．其中

x

C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
f

y x

是以
y x
为中间变量的
函数．
齐次方程的一般解法：引进新的未知函数 u y ，则 y ux ， dy u x du ，
x
dx
dx
方程 dy dx

f

y x

变为
uLeabharlann x du dxf
(u) ，即 x du dx

f
(u) u ，亦即
2
1 du 1 dx ． f (u) u x
1
定义 5 如果微分方程的解中含有任意变化的常数，且任意变化的常数的个 数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．
由于通解含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一种客观事物的规 律性．因此，必须根据问题的实际情况提出某些特定的条件．即当自变量取特定 值时，未知函数或其导数取对应的确定值，这种定解的条件称为初始条件（或初 值条件）．微分方程满足初始条件的定解问题就称为初值问题．
解 为 y C1 C2 x er1x ； 如 果 两 个 根 为 共 轭 复 根 r1,2 i ， 则 通 解 为
y e x (C1 cos x C2 sin x) ． 2、 n 阶常系数齐次线性微分方程 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0 ，
其特征方程为 rn p1r n1 pn1r pn 0 ． 如果特征根 r 是单实根，则原方程对 应有一个特解 y erx ，如果特征根中有一对共轭复数根 i ，则原方程对应有
两个特解 y1 e x cos x, y2 e x sin x ，如果特征根 r 是 l 重实数根，则原方程对 应 有 l 个 特 解 y1 erx , y2 x erx ,, yl xl1 erx ， 如果 特征 根有 m 重 共 轭复 数 根 i ，则原方程对应有 2m 个特解 y2k1 xk1 e x cos x ， y2k xk1 e x sin x (k 1, 2,, m) 。
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得
y

e
p( x)dx

q(
x)
e
p
(
x
)dxdx

C

，
它即为方程 y p(x) y q(x) 的通解．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ． 此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的 通解．
设其通解为 p (x,C1) ，然后，再根据关系式 y p(x) ，又得到一个一阶微
分方程
dy dx

(x,C1)
，对它进行积分，即可得到原方程的通解
y (x,C1)dx C2 ．
3、 y = f ( y, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含自变量 x ，求解的方法是：把 y 暂时看作自变量， 并作变换 y p( y) ．于是，由复合函数的求导法则有
这是一个变量可分离方程，它的解是关于 u 、x 两个变量的函数，再以 y 代替 u ， x
便得到齐次方程
dy dx

f

y x

的解．
3、一阶线性微分方程
形如 y p(x) y q(x) 的方程，称为一阶线性微分方程．若 q(x) 0 ，则称方
程为一阶非齐次线性微分方程；若 q(x) 0 ，则方程写为

f (x0 )(x x0 )
（2）
（2）称为（1）的近似线性方程，显然 x0 也为方程（2）的平衡点，则关于平衡 点 x0 是否稳定有如下结论：
若 f (x0 ) 0 ，则平衡点 x0 对于方程（2）和（1）都是稳定的； 若 f (x0 ) 0 ，则平衡点 x0 对于方程（2）和（1）都是不稳定的.
lim
t
x(t
)

x0
则称平衡点 x0 是稳定的（或渐近稳定）；否则，称平衡点 x0 是不稳定的（或不渐
近稳定）。
判断平衡点 x0 是否稳定的两种常用方法：
6
间接法：利用定义 2。
直接法：不求方程（1）的解 x(t) ，将 f (x) 在点 x0 处作泰勒展开，只取一次 项，方程（1）近似为
dx(t ) dt
3、欧拉（Enler）方程
形如 xn y(n) p1xn1 y(n1) pn1xy pn y Q(x) （其中 p1, p2 ,, pn 均为实
5
常数）的方程，叫做欧拉方程．
令 x et ，即 t ln x ，将自变量 x 换成 t ，于是有
y dy dy dt 1 dy ，即 xy dy
dx dt dx x dt
dt
y

d2 y dx2


1 x2
dy dt

1 x
d2 y dt 2

dt dx

1 x2
d2y

dt 2

dy dt

，即

x2 y

d2 y dt 2

dy dt
，
同理可求得
x3 y

d3 y dt 3

3
d2 y dt 2

2
dy dt
，…．
定义 6 不含任意变化常数的微分方程的解，叫做微分方程的特解．
二、几类简单一阶方程的解法
1、变量可分离方程
形如 dy p(x) q( y) 的微分方程称为变量可分离的方程． dx
变量可分离方程求解的基本步骤如下： （1） 变量分离：
dy p(x)dx （当 q( y) 0 时）． q( y) （2） 两端积分：
2、二阶方程的平衡点和稳定性
方程的一般形式可用两个一阶方程表示
依此法继续进行，接连积分 n 次，便得到原方程的含有 n 个任意常数的通解．
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )
4、伯努利（Bernoulli）方程
称方程 y p(x) y q(x) y ( 0,1) 为 n 阶伯努利（Bernoulli）方程 。
当 0 时，方程为线性方程；当 1 时，方程为可分离方程．
下面讨论伯努利方程的解法．
伯努利方程虽然不是线性方程，但通过变量代换可化成线性方程．
第三章 微分方程及差分方程方法
微分方程理论是在十七世纪末开始发展起来的，几乎与微积分的计算同时产 生．现在，微分方程已经成为研究各种自然现象和社会现象的强有力的工具．当 人们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规 律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型.建 模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在 的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实 际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了.而差分方程反映的是关于离散 变量的取值与变化规律.通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系， 从而建立差分方程.差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散 变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系 等式，从而建立差分方程.通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特 别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变 量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解.差分方程模型 有着广泛的应用.实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方 程模型就可以近似于某个差分方程模型.差分方程模型有着非常广泛的实际背景. 在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防 治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用.
ln | y | p(x)dx ln C1 或 y C e p(x)dx （ C C1 ）．
一阶非齐次线性微分方程通解的常数变易法：即在求出对应齐次线性微分方
程的通解 y C e p(x)dx 后，将通解中的常数 C 变易为待定函数 u(x) ，并设一阶非
齐次线性微分方程通解为 y u(x) e p(x)dx ， 代入方程 y p(x) y q(x) ，得
三、几类常见的可降阶的高阶方程
1、 y(n) = f ( x) 型的微分方程
微分方程 y(n) f (x) 是一个 n 阶微分方程，方程的右端是 x 的已知的连续函 数 f (x) ．像这样的 n 阶微分方程，通过 n 次积分，就可以得到方程的通解．
积分一次，得 y(n1) f (x)dx C1 ，同理可得 y(n2) f (x)dxdx C1x C2 ，…
五、微分方程稳定性理论简介
1、一阶方程的平衡点和稳定性
定义 1 设有微分方程
dx(t) f (x) dt
（1）
右端不显含自变量 t ，代数方程 f (x) 0 的实根 x x0 称为方程（1）的平衡点（或
奇点），显然它是方程（1）的解（或称奇解）。
定义 2 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解 x(t) 都满足
第一节 微分方程的理论 一、基本概念
定义 1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的等式就叫做微分 方程．
定义 2 不含偏导数或偏微分的微分方程称为常微分方程；含有偏导数或偏 微分的微分方程称为偏微分方程．
定义 3 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做 微分方程的阶．
定义 4 满足微分方程的函数称为微分方程的解．
记 Dk

dk dt k
，则上式可写成
xy Dy ，
x2 y D2 y Dy D(D 1) y ，
x3 y D3 y 3D2 y 2Dy D(D 1)(D 2) y ，…
一般地，有
xk y(k) D(D 1)(D k 1) y ，
代入原欧拉方程，便得到一个以 t 为自变量的常系数线性方程．求出该方程的通 解后，再把 t 换成 ln x ，即得欧拉方程的通解．
y p(x)y 0，
此方程称为方程 y p(x) y q(x) 所对应的齐次线性微分方程．
首先求方程 y p(x)y q(x) 所对应的齐次线性微分方程 y p(x)y 0 的通
解，它是变量可分离方程．分离变量，得 1 dy p(x)dx ，两边积分，得通解为 y