高二下学期数学人教A版必修第二册6.2.4向量的数量积课件
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6.2.4平面向量的数量积
学习重点
平面向量数量积的概念与物理意义;
数量积的几何性质和代数性质;
向量投影的概念;
投影向量的意义
教学难点
平面向量数量积的概念及几何性质，投影向量的意义
情景引入
向量可以进行加、减运算，以及数乘运算，这三种运算称为向量的线性运算。
• 问题1：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？你认为应按怎
已知乘积求夹角cos =
⋅
探究二
问题4：接下来我们要研究数量积运算的性质，根据已有的研究经验，你认为可以从哪些
角度研究数量积的性质？
(1) a ·e =|a|cosθ
(2) a ⊥b ⟺ a · b =0
(3)当a与b同向时， a · b =| a || b |；
当a与b反向时， a · b =-| a || b |
• 向量数量积的定义：非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与
b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
• 规定：零向量与任一向量的数量积等于0
• 追问1：向量的数量积运算与向量的数乘运算的结果有什么不同？
• 追问2：影响数量积大小的因素有哪些？
• 追问3：若≠0，且
又因为 ·( ＋2 )＝| |2＋2 · ＝1－ = ，所以 ＝
又θ∈[0，π]，故θ＝
(+)
||+|
=
例题讲解
【例3】已知||=6，||=4，与的夹角为60º，求(+2)·(-3)
解：( +2 )·( -3 ) = · -3 · +2 · -6 ·
即 2-k2 2=0
因为 2=32=9， 2=42=16，所以 9-16k2=0
因此 k= ±
悟
方法规律：
类比多项式乘法进行向量的计算化简，
可引入乘法交换律、合并同类项等法则进行化简.
探究三
（3）向量的投影
F
Ԧ
问题7：你能解释一下||
的物理意义吗？
՜
力 在Ԧ方向上的投影
追问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积运算的哪些
运算律？你能证明吗？
对于向量a，b，c和实数λ，有
b= b·
a
① a·
b=λ(a·
b)= a·
(λb)
② (λa)·
c=a·
c + b·
c
③ (a+b)·
问题6：设a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？
2．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0,求向量模时要灵活
运用公式|a|＝ 2
3．向量数量积的运算律
4．向量的投影
谢谢认真观看
任意向量, ，是否也有下面类似的结论？
解：（1）(a+b)2
=(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=a2+2a·b+b2
（2）(a+b)·(a-b)
=a·a-a·b+b·a-b·b
=a2-b2
例题讲解
【变式】已知非零向量 ， 满足| |＝1，且( － )·( ＋ )＝
答：对于实数a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但对于向量a，b，c，(a·
b)c=a(b·
c)不一定成立
因为(a·
b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·
c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线
所以(a·
b)c=a(b·
c)不一定成立
例题讲解
【例2】我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2对
①求| |
②当 · ＝− 时，求向量与 ＋2 的夹角θ的值
解：①因为( －
即|| + || =
)·( ＋ )＝ ，即 + =
所以| |2＝| |2－ ＝1－ ＝ ，故|
|＝
②因为| ＋2 |2＝| |2＋4 · ＋|2 |2＝1－1＋1＝1，故| ＋2 |＝1
∙ ( =
= ∙ ∙ (
)
< < )
)
(3)
例题讲解
【例4】已知| |＝8，与同向的单位向量为，| |＝4， ， 的夹角为120°，则向
量在向量方向上的投影向量为
Ԧ
解：向量在向量方向上的投影向量为| |cos 120° ＝4×cos 120° ＝－2
样的路径研究这种运算？
向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？
• 问题2：如图，一个物体在力的作用下产生位移且力与位移的夹角为，那么
力所做的功W是多少？
W=||||
F
s
追问：猜测向量乘法如何运算？
探究一
（1）向量的乘法运算及其物理意义
• 问题3：你能给出向量乘法的定义吗？
的投影向量
s
探究三
（3）向量的投影
追问：设与方向相同的单位向量为e，与b的夹角为θ， OA1 与e，，θ之间的关系
A
A
Ԧ
A
Ԧ
1
(1)
（1）投影向量
（2）投影向量
（3）投影向量
Ԧ
1
1
(2)
= || ∙ ∙ （ < <
= ∙
=| |2- · -6| |2
=| |2-| || |cos-6| |2
=62-6×4×cos60º-6×42
=-72
例题讲解
【变式】已知| |=3，| |=4，且与不共线．当k为何值时，向量 +k 与 k 互相垂直？
解： +kb与 -k 互相垂直的充要条件是( +k )·( -k )=0
例题讲解
【变式】已知为单位向量，||=4， 与e夹角为60°，则在方向上的投影向
量为
．
解：2
例题讲解
【变式】已知| |＝3， 在方向上的投影是 ，则 · 为________．．
解：
课堂小结
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，
其值可以为正也可以为负,还可以为0,
特别地， a · a =| a |2或| a |= a a
(4) | a ·b|≤| a || b | （由|cosθ|≤1得到）
追问:向量运算的性质既有几何性质也有代数性质。你认为该怎样入手研究几何性质？
探究二
问题5：前面从向量的特殊取值及两个向量的特殊几何关系入手研究了数量积的性质，你
认为从代数角度应研究数量积的什么性质？
Ԧ
解：由a·b=|a||b|cosθ得： cos =
∵ θ∈[0，π]
∴θ=
2π
3
⋅
=
−54 2
12×9
=−
2
2
悟
方法规律:
(1)求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，
否则，要通过平移Biblioteka 两向量符合以上条件.(2)求平面向量夹角的方法
Ԧ
·＝0，是否能推出
Ԧ
＝0
• 追问4：向量的数量积一定是正数吗？正负由什么决定？
例题讲解
2π
【例1】已知||=5，||=4，与的夹角θ= ，求·
3
2π
解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos
3
1
=5×4×(− )=-10
2
例题讲解
【变式】设||=12，||=9，
Ԧ
Ԧ · = −54 2 ，求与的夹角.
Ԧ
追问：类比||的物理意义,
你能说一说|| 的几何意义吗？
՜
向量 在
Ԧ 方向上的投影
B
Ԧ
1
投影：设a、b是两个非零向量，（如图）在平面内任取一点O，作OA = ，OB = 过点B作直线
OA的垂线，垂足为A1，我们把OA1 叫做向量b在a上的投影（projection）,OA1 叫做向量b在向量a上
学习重点
平面向量数量积的概念与物理意义;
数量积的几何性质和代数性质;
向量投影的概念;
投影向量的意义
教学难点
平面向量数量积的概念及几何性质，投影向量的意义
情景引入
向量可以进行加、减运算，以及数乘运算，这三种运算称为向量的线性运算。
• 问题1：类比数的运算，你认为接下来还可以研究向量的什么运算？你认为应按怎
已知乘积求夹角cos =
⋅
探究二
问题4：接下来我们要研究数量积运算的性质，根据已有的研究经验，你认为可以从哪些
角度研究数量积的性质？
(1) a ·e =|a|cosθ
(2) a ⊥b ⟺ a · b =0
(3)当a与b同向时， a · b =| a || b |；
当a与b反向时， a · b =-| a || b |
• 向量数量积的定义：非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与
b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
• 规定：零向量与任一向量的数量积等于0
• 追问1：向量的数量积运算与向量的数乘运算的结果有什么不同？
• 追问2：影响数量积大小的因素有哪些？
• 追问3：若≠0，且
又因为 ·( ＋2 )＝| |2＋2 · ＝1－ = ，所以 ＝
又θ∈[0，π]，故θ＝
(+)
||+|
=
例题讲解
【例3】已知||=6，||=4，与的夹角为60º，求(+2)·(-3)
解：( +2 )·( -3 ) = · -3 · +2 · -6 ·
即 2-k2 2=0
因为 2=32=9， 2=42=16，所以 9-16k2=0
因此 k= ±
悟
方法规律：
类比多项式乘法进行向量的计算化简，
可引入乘法交换律、合并同类项等法则进行化简.
探究三
（3）向量的投影
F
Ԧ
问题7：你能解释一下||
的物理意义吗？
՜
力 在Ԧ方向上的投影
追问：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积运算的哪些
运算律？你能证明吗？
对于向量a，b，c和实数λ，有
b= b·
a
① a·
b=λ(a·
b)= a·
(λb)
② (λa)·
c=a·
c + b·
c
③ (a+b)·
问题6：设a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？
2．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0,求向量模时要灵活
运用公式|a|＝ 2
3．向量数量积的运算律
4．向量的投影
谢谢认真观看
任意向量, ，是否也有下面类似的结论？
解：（1）(a+b)2
=(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=a2+2a·b+b2
（2）(a+b)·(a-b)
=a·a-a·b+b·a-b·b
=a2-b2
例题讲解
【变式】已知非零向量 ， 满足| |＝1，且( － )·( ＋ )＝
答：对于实数a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但对于向量a，b，c，(a·
b)c=a(b·
c)不一定成立
因为(a·
b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·
c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线
所以(a·
b)c=a(b·
c)不一定成立
例题讲解
【例2】我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2对
①求| |
②当 · ＝− 时，求向量与 ＋2 的夹角θ的值
解：①因为( －
即|| + || =
)·( ＋ )＝ ，即 + =
所以| |2＝| |2－ ＝1－ ＝ ，故|
|＝
②因为| ＋2 |2＝| |2＋4 · ＋|2 |2＝1－1＋1＝1，故| ＋2 |＝1
∙ ( =
= ∙ ∙ (
)
< < )
)
(3)
例题讲解
【例4】已知| |＝8，与同向的单位向量为，| |＝4， ， 的夹角为120°，则向
量在向量方向上的投影向量为
Ԧ
解：向量在向量方向上的投影向量为| |cos 120° ＝4×cos 120° ＝－2
样的路径研究这种运算？
向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？
• 问题2：如图，一个物体在力的作用下产生位移且力与位移的夹角为，那么
力所做的功W是多少？
W=||||
F
s
追问：猜测向量乘法如何运算？
探究一
（1）向量的乘法运算及其物理意义
• 问题3：你能给出向量乘法的定义吗？
的投影向量
s
探究三
（3）向量的投影
追问：设与方向相同的单位向量为e，与b的夹角为θ， OA1 与e，，θ之间的关系
A
A
Ԧ
A
Ԧ
1
(1)
（1）投影向量
（2）投影向量
（3）投影向量
Ԧ
1
1
(2)
= || ∙ ∙ （ < <
= ∙
=| |2- · -6| |2
=| |2-| || |cos-6| |2
=62-6×4×cos60º-6×42
=-72
例题讲解
【变式】已知| |=3，| |=4，且与不共线．当k为何值时，向量 +k 与 k 互相垂直？
解： +kb与 -k 互相垂直的充要条件是( +k )·( -k )=0
例题讲解
【变式】已知为单位向量，||=4， 与e夹角为60°，则在方向上的投影向
量为
．
解：2
例题讲解
【变式】已知| |＝3， 在方向上的投影是 ，则 · 为________．．
解：
课堂小结
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，
其值可以为正也可以为负,还可以为0,
特别地， a · a =| a |2或| a |= a a
(4) | a ·b|≤| a || b | （由|cosθ|≤1得到）
追问:向量运算的性质既有几何性质也有代数性质。你认为该怎样入手研究几何性质？
探究二
问题5：前面从向量的特殊取值及两个向量的特殊几何关系入手研究了数量积的性质，你
认为从代数角度应研究数量积的什么性质？
Ԧ
解：由a·b=|a||b|cosθ得： cos =
∵ θ∈[0，π]
∴θ=
2π
3
⋅
=
−54 2
12×9
=−
2
2
悟
方法规律:
(1)求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，
否则，要通过平移Biblioteka 两向量符合以上条件.(2)求平面向量夹角的方法
Ԧ
·＝0，是否能推出
Ԧ
＝0
• 追问4：向量的数量积一定是正数吗？正负由什么决定？
例题讲解
2π
【例1】已知||=5，||=4，与的夹角θ= ，求·
3
2π
解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos
3
1
=5×4×(− )=-10
2
例题讲解
【变式】设||=12，||=9，
Ԧ
Ԧ · = −54 2 ，求与的夹角.
Ԧ
追问：类比||的物理意义,
你能说一说|| 的几何意义吗？
՜
向量 在
Ԧ 方向上的投影
B
Ԧ
1
投影：设a、b是两个非零向量，（如图）在平面内任取一点O，作OA = ，OB = 过点B作直线
OA的垂线，垂足为A1，我们把OA1 叫做向量b在a上的投影（projection）,OA1 叫做向量b在向量a上