2020年上海市高考数学卷详解版

2020年上海秋季高考数学试卷
2020.7.7
一、填空题
1.已知集合{
}{}5,4,2,4,2,1==B A ，则=B A 【答案】{}4,2 2.求极限=++∞→231
lim n n n
【答案】
3
1
【解析】21
111lim
lim 1313
3n n n n n n
→∞→+
+==-- 3.已知复数i z 21-=,求=z 【答案】5
【解析】||z =
=
4.已知函数3
)(x x f =，则=-)(1
x f
【答案】3
11
)(x x f
=-
【解析】由3
y x =反解得1
3x y
=，互换得
1
3y x
=，注意
x ∈R
5.已知60
32
1=d c
b a
，求=d
c b a
【答案】2
【解析】将该行列式按第3行展开有26)1(31
3=⇒
=-⨯+d
c b a d
c b a .
6.已知y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥-+003202y y x y x ，则x y z 2-=最大值为
【答案】1-
【解析】由可行域易得三个顶点为
()()()1,12,03,0、、，依次代入可知：1121max
-=⋅-=z
.
7.已知一组数据b a ,,2,1，这四个数的中位数为3，平均数为4，则=ab 【答案】36
【解析】不妨假设b a ≤，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+94
44
3322b a b a a
，故36=ab .
8.{}n a 为各项不为零的等差数列，且9101a a a =+，求
=+⋅⋅⋅++10
9
21a a a a
【答案】
8
27 【解析】设等差数列公差为d ，则d a d a d a a -=⇒+=++11118)9(，
故8
279369928
991110
9
21=+-+-=+⋅+
=
+⋅⋅⋅++d d d d d a d
a a a a a
9.抗击疫情期间，要从6位志愿者中挑选4位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，问共有 种排法. 【答案】180
【解析】法一：1801
22446=⋅⋅C C C .
法二：4112
6432
180C C C C =
10.已知椭圆13
42
2=+y x ，第二象限有一点P ，点P 与右焦点F 的连线所在直线与椭圆有一交点为Q ，点Q 与点Q '关于x 轴对称，且Q F PF '⊥，则PQ 直线方程是
【答案】01=-+y x
【解析】设点),(),,(),,(222211y x Q y x Q y x P -'，则1:+=my x l PQ . 由于Q F PF '⊥，
故10)1(0))(()1)(1(02122121-=⇒=+-⇒=--+--⇒='⋅m y y m y y x x F （P 在第二象限）故01:=-+y x l PQ .
11.设R a ∈，若存在定义域为R 的函数)(x f 满足①对任意R x ∈0，)(0x f 的值为0x 或2
0x ，②关
于x 的方程a x f =)(无实数解，求a 取值范围 【答案】),1()1,0()0,(+∞-∞∈ a
【解析】考虑)(a f ，由关于x 的方程a x f =)(无实数解，则a a a f ≠=2
)(，故0≠a 且1≠a .注
意此为必要条件.同时构造出⎩⎨
⎧=≠=a
x x
a x x x f 2)(是满足条件的函数，故),1()1,0()0,(+∞-∞∈ a .
12.已知平面向量1a ，2a ，12,,k b b b ⋅⋅⋅⋅()*
∈N k 是平面内两两互不相等的向量，1
21a
a -=，且
对任意的2,1=i 及k j ,,2,1⋅⋅⋅=，{1,2}i j a b -∈，则k 最大值为
【答案】6 【解析】不妨假设1
2(0,0),(0,1)a a ==，(,)j b x y =，由{1,2}i j a b -∈可得：221x y +=或
222(1)1x y +-=或2，故k 的最大值即为两种不同颜色圆的交点个数.如图所示6个.
二、选择题
13.下列不等式恒成立的是（ ）
A.ab b a 22
2
≤+ B.ab b a 22
2
-≥+ C.ab b a 2≤+ D.ab b a 2-≥+ 【答案】B
【解析】对于B 选项，整理得2
()
0a b +≥，显然成立；对于A ：取1,1a b ==-错误；对于C ：
取1a b ==-；对于D ：取0,1a b ==.
14.直线0143=++y x 的一个参数方程可以是（ ）
A.1314x t y t =+⎧⎨=-+⎩
B.⎩⎨⎧--=-=t
y t x 3141 C.1314x t y t =-⎧⎨=-+⎩ D.1413x t y t =+⎧⎨=--⎩ 【答案】D
【解析】依次求解各参数方程对应的一般式方程，分别为：:4370A x y --=，
:3470,:4310,:3410B x y C x y D x y --=+-=++=.
15.在棱长为10的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为左侧面11A ADD 上一点，已知点P 到11D A 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与C A 1平行的直线相交的面是（ ）
A.平面ABCD
B.平面11CC BB
C.平面11CC D D
D.平面11AA B B 【答案】A
【解析】法一：直线1A P 与线段AD 交于点E ，由于P 在平面DC A 1下方，所以过点P 作C A 1的平行线在平面1A EC 上,与底面ABCD 相交.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则点1(8,0,7),(10,10,10)P CA =- ，故直线1A C 的方
向向量为(1,1,1)n
=- ，从而存在实数t ，使得(,,)PQ tn t t t ==-，点(8,,7)Q t t t +-+ ，
令0810*******t t t ≤+≤⎧⎪
≤-≤⎨⎪≤+≤⎩
，得710-≤≤，分别令80t +=或10，0t -=或10，70t +=或10，只有7t =-满足，此时点(1,7,0)Q 在平面ABCD 内.
16.命题p ：若存在R a ∈且0≠a ，对任意的R x ∈，
有)()()(a f x f a x f +<+恒成立；已知命题1q ：)(x f 单调递减，且0)(>x f 恒成立；命题2q ：)(x f 单调递增，且存在00<x 使0)(0=x f .则下列说法正确的是（ ） A.1q ，2q 都是p 的充分条件 B. 只有1q 是p 的充分条件 C. 只有2q 是p 的充分条件 D. 1q ，2q 都不是p 的充分条件 【答案】A
【解析】若1q 成立，取21x x >，则)()(21x f x f <，取021≠-=x x a ，则0)(>a f ，故
)()()()()(2221a f x f x f a x f x f +<<+=成立，所以1q 是p 的充分条件；
若2q 成立，取00<x ，使0)(0=x f ，由于x x x <+0且)(x f 单调增，取0x a =，
有)()()()()()()(00a f x f x f x f x f x x f a x f +=+=<+=+，即)()()(a f x f a x f +<+.所以
2q 是p 的充分条件.
三、解答题
17.已知边长为1的正方形ABCD ，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱. （1）求该圆柱表面积；
（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2
π
到11ABC D ，求直线1C D 与平面ABCD 所成的夹角
【答案】（1）π4（2）2arctan
2
或33arcsin
【解析】（1）由题意得，此圆柱底面半径为1，高为1，记侧面积为S 侧，底面积为S 底，则：
22112,212S S ππππ=-⋅==⋅⋅=底侧，该圆柱的表面积为224πππ+=
（2）连接BD ，因为1
1,,BC BC BC AB BC AB B ⊥⊥=，所以1BC ⊥平面ABCD ，
直线BD 为直线1C D 在平面ABCD 上的射影，设1C D 与平面ABCD 所成的夹角为θ，则
12tan 22
BC BD θ=
==
，因此直线1C D 与平面ABCD 所成的夹角为2
arctan 2 18.已知)0(sin )(>=ωωx x f
（1）若)(x f 的周期为π4，求ω以及2
1
sin =
x ω的解集； （2）设1=ω，[]
2
()()3()(),0,24g x f x f x f x x ππ⎡⎤
=
+--∈⎢⎥⎣⎦
，求)(x g 值域.
【答案】(1)21=
ω，2(1),3k x x x k k ππ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭
Z ∣；（2）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-0,21
【解析】（1）由题意可得，24||
T
π
πω==
，又0ω>，所以12ω= 所以此时由1()sin
22x f x == ，可得(1),26
k x k k Z π
π=+-⋅∈ 方程的解集为2(1),3k x x x k k π
π
⎧⎫∈=+-⋅
∈⎨⎬⎩
⎭
Z ∣ （2）由题意知
()sin f x x =
，所以2()(sin ))sin 2g x x x x π⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
化简得1cos221()sin 22262x x g x x π-⎛
⎫=
-=-++ ⎪⎝
⎭， 当0,4x π⎡⎤
∈
⎢⎥⎣⎦
时，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
()g x ∴在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为单调递减函数，在,64x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时为单调递增函数
所以max
min 1()(0)0,()62g x g g x g π⎛⎫====- ⎪⎝⎭，所以()g x 的值域为1,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
19.在研究某市交通情况时发现，道路密度是指该路段上一定时间内用过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量x
q
v =
，x 为道路密度， q 车辆密度，(0,80]x ∈，且
80
1100135()040,3(040)854080x
x v k x x k ⎧-<<⎪=⎨⎪--+≤≤>⎩
. (1) 当交通流量95v >时， 求道路密度x 的取值范围；
(2) 若道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求出车辆密度q 的最大值.
【答案】(1))380,
0(∈x ；（2）
7
28800
. 【解析】（1）①当040x <<时，令801100135()953
x ->，解得)380
,0(∈x
②当4080x ≤
≤时，由于0,0k k >-<，故(40)8585v k x =--+≤，此时95v >时无解
综上所述，)3
80
,
0(∈x . （2）因为80x =时，(8040)8550v k =-⋅-+=，求得7,8
k
q vx ==
①当(0,40)x ∈时，所以808011100135,1350,400033x
x
q x x x q ⎛⎫⎛⎫
=-⋅⋅>∴<
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
②当[40,80]x ∈时，所以2
27748028800
1208877
q x x x ⎛⎫=-+=--+
⎪⎝⎭ ∴当4807x =
时，q 有最大值为28800
7
又
2880040007>，4807x ∴=时，q 取得最大值为288007
20. 如图，已知双曲线)0(14:
22
21>=-b b
y x C 与圆22224:b y x C +=+交于点),(A A y x A （第一象限），曲线Γ满足A x x >，且在12C C 、上，2C 与x 轴的左、右交点分别记作12F F 、. (1)若6=A x ，求b 的值；
(2)若5=
b ,圆与x 轴交点分别为21,F F ，点P 在双曲线第一象限部分，且81=PF ，求21PF F ∠；
(3)过点)22,0(2+b S 斜率为2
b
-的直线l 与曲线Γ交于M 、N 两点，用b 表示OM ON ⋅并求其取值范围.
【解析】（1）由22
2222
144x y b x y b ⎧-=⎪
⎨⎪+=+⎩
消元得2222414x b x b +--=， 将6A x =代入可得2b =；
（2）由题意可知22
22145
9x y x y ⎧-
=⎪⎨⎪+=⎩
，易知点P 在第一象限的双曲线上，18
PF =，
2144PF PF ∴=-=，
又易知126F F =，由余弦定理可得：2221284611
cos 28416
F PF +-∠==⨯⨯， 1211
arccos
16
F PF ∠=∴ （3）设直线方程22
2:2
++
-=b x b y l ，直线与双曲线渐近线平行，与双曲线 只有一个交点，下面讨论与圆的交点情况，圆心到直线距离4
12
222
b b d +
+=，
半径24b R +=，计算可得R d =，直线与圆相切.分别将直线与双曲线和圆
联立求出交点坐标)16
416
4,)82(1612(
224224++++++b b b b b b b M ，)2,(b N ，
故44
168821648216122
2
24224224+=+++=+++++++=⋅b b b b b b b b b b ON OM . 又由于l 要与曲线Γ有两个交点，故652425224
222
2
+>+⇒+>⇒>+⇒>b b b b N y A A .
所以OM ON ⋅的取值范围是(6)++∞
21. 已知有限数列{}n a 项数为m ，若其满足m a a a a a a -≤⋅⋅⋅≤-≤-13121，则称数列{}n a 满足性 质P .（1）判断数列1,5,2,3和1,5,2,3,4是否具有性质P ，请说明理由；
（2）已知11=a ，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围.
（3）若n a 是m ,,2,1⋅⋅⋅的一个排列)4(≥m ，)1,,2,1(1-⋅⋅⋅==+m k a b k k ，若数列{}{}n n b a ,都具有性 质P ，求所有满足条件的{}n a .
【解析】（1）第一个具有，第二个不具有； （2）【法一】①显然0>q 满足题意，
②现研究0<q 时，此时必有2112-≤⇒-≤-q q q .而当2-≤q 时，验证
3,111≥-≥--n a a a a n n ，即01121≥-----n n q q ※，
而n 为偶数时，※0)1(211221
>+-=+--=---q q q q
n n n ；
n 为奇数时，※02)1(11221>-+=+--=---q q q q n n n
故(](),20,q ∈
-∞-+∞.
【法二】由题意可得111n n a a a a +-≤-，即()111*n n q q --≤-，对{2,3,
,9}n ∈恒成立，
对q 进行分类讨论： ①当1q
≥时，()*式等价于11n n q q q -≥⇔≥，显然成立；
②当01q <<时，
()*式等价于11n n q q q -≤⇔≤，显然成立；
数形结合千般好，化归转化离不了
③当10q -≤<时，
()*式等价于1n n q q -≤，当n 为偶数时10,0n n q q -><不成立，舍去； ④当1q <-时，
若n 为奇数，11111()11n n n n n n q
q q q q q ----=-<<-<-=-，()*式显然成立； 若n 为偶数，
()*式等价于1111(1)2n n n q q q q ---≤-⇔+≥对{2,4,6,8}n ∈恒成立， 记1()(1)n f n q q -=+，易知n 为偶数时单调递增数列，故只需(2)(1)2f q q =+≥ 解得2q ≤-
综上所述，实数q 的取值范围是(,2](0,)-∞-⋃+∞
（3）①当11=a 时，必有m a a a a ≤⋅⋅⋅≤≤432，所以n a n =，此时{}n b 满足条件； 也可将此数列的第一项和第二项交换，得到数列m ,6,5,4,3,1,2⋅⋅⋅； 当m a =1时，必有m a a a a ≥⋅⋅⋅≥≥432,所以1+-=n m a n ，此时{}n b 满足条件； 同理将此数列的第一项和第二项交换，得到数列1,2,3,3,2,,1⋅⋅⋅---m m m m . ③再证明其他情况下的1a 均不满足，假设),1,2,1(,1m m k k a -≠=，将),4,3,2(1m i a a i ⋅⋅⋅=-从小到大排列后
为k m k k k k k -⋅⋅⋅++--⋅⋅⋅,2,1,,1,1,3,3,2,2,1,1，即32,a a 为1,1+-k k ，54,a a 为2,2+-k k . 此时{}n b 必不满足性质P .
综上所述，所有满足{}n a 条件的有四种，分别是m a n ,3,2,1⋅⋅⋅=或m a n ,3,1,2⋅⋅⋅=或1,,2,1,⋅⋅⋅--=m m m a n 或1,,2,,1⋅⋅⋅--=m m m a n。