昌平区2016-2017学年第一学期九年级期末数学试题及答案

昌平区2016 - 2017学年度第一学期初三年级期末质量抽测
数学试卷（120分钟 满分120分）
2017．1
考生须知
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
2．如图，在⊙O 中，∠BOC =80°，则∠A 等于
A ．50°
B ．20°
C ．30°
D ．40° 3．将二次函数表达式2
23y x x =-+用配方法配成顶点式正确的是
A ．2
(1)+2y x =-
B ．2
(+1)+4y x =
C ．2(1)2y x =--
D ．2
(2)2y x =+-
4．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是
A B C D
5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在 小正方形的顶点上，则tan ∠CAB 的值为
A ．1
B ．13
C ．1
2 D
．5
A
1. 答题前，考生务必将自己的学校名称、姓名、考试编号在答题卡上填写清楚。

2. 请认真核准条形码上的姓名、考试编号，将其粘贴在指定位置。

3. 请不要在试卷上作答。

答题卡中的选择题请用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹的签字笔作答。

4. 修改答题卡选择题答案时，请用橡皮擦干净后重新填涂。

请保持答题卡清洁，不要折叠、弄破。

5. 请按照答题卡题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不给分。

6. 考试结束后，请交回答题卡和试卷。

6．如图，反比例函数k
y x
=
在第二象限的图象上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，且=2AOB
S ,则k 的值为
A ．4-
B ．2
C ．2-
D ． 4
7．已知一个扇形的半径是2，圆心角是60°，则这个扇形的面积是
A ．
2π3 B ．π C ．π
3
D ．2π 8．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为
A ．与x 轴相离、与y 轴相切
B ．与x 轴、y 轴都相离
C ．与x 轴相切、与y 轴相离
D ．与x 轴、y 轴都相切 9．已知点A （2，y 1）、B （m ，y 2）是反比例函数(0)k
y k x
=
>的图象上的两点，且y 1＜y 2． 满足条件的m 值可以是
A ．6-
B ．1-
C ．1
D ．3
A
B C D
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．已知sin 2
A =
，则锐角A 的度数是 ． 12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，
∠A = 70º，则∠BCE 的度数为 ．
13．将抛物线2
2y x =向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的
表达式为 ．
14．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC =4，则CD 的长为 ．
E
O
E C B
A
F
15．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章。

在第九章“勾股”中
记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C = 90º，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问△ABC 的内切圆⊙O 直径是多少步？” 根据题意可得⊙O 的直径为 步．
16．如图，Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝55°，点D 在边BC 上，
BD ＝2CD ．把线段BD 绕着点D 逆时针旋转α（0＜α＜180）度后， 如果点B 恰好落在Rt △ABC 的边上，那么α= ． 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．计算：22sin 304sin 45cos 45tan 60︒-︒⋅︒+︒．
18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，
小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少?
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉
字能组成“昌平”的概率．
19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，如果AC
=，且tan ∠ACD = 2．求AB 的长．
20．一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式； （2）求m 的值．
21．如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为6，∠B =60°，求AC 的长．
A
C
D C
B
A
22．一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心O ．（要求：不写作法，保留作图痕
迹）
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
23．昌平区南环路大桥位于南环路东段，该桥设计新颖独特，悬索和全钢结构桥体轻盈、通透，恰好与东
沙河湿地生态恢复工程及龙山、蟒山等人文、自然景观相呼应；首创的两主塔间和无上横梁的设计，使大桥整体有一种开放、升腾的气势，预示昌平区社会经济的蓬勃发展，绚丽的夜景照明设计更是光耀水天，使得南环路大桥不仅是昌平新城的交通枢纽，更是一座名副其实的景观大桥，今后也将成为北京的一个新的旅游景点，成为昌平地区标志性建筑.
某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在B 点测得顶端D 的仰角∠DBA = 30°，向前走了50米到达C 点后，在C 点测得顶端D 的仰角∠DCA = 45°，点A 、C 、B 在同一直线上．求南环大桥的高度AD ．（结果保留整数，参考数据：41.12≈，73.13≈，
45.26≈）
24．在平面直角坐标系x O y 中，反比例函数x
m
y =的图象过点A （6，1）． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A 的直线与反比例函数x
m
y =
图象的另一个交点为B ，与y 轴交于点P ， 若AP =3PB ，求点B 的坐标．
A
C
B
D
25．如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线
于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF 和AD ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，∠EAC ＝60°，求AD 的长．
26．有这样一个问题：探究函数2
-2=2x x y 的图象与性质．
小文根据学习函数的经验，对函数2
-2=2
x x y 的图象与性质进行了探究．
下面是小文的探究过程，请补充完整：
（1）函数 2
-2=2
x x y 的自变量x 的取值范围是 ；
（2）下表是y 与x 的几组对应值．
则m 的值为 ；
（3）如下图，在平面直角坐标系x O y 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
根据描出的点，画出该函数的图象；
F
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）： ．
五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，
共22分）
27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，
△ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为（1，0）． （1）在图1中画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）在图1中画出将△ABC 绕原点O 按逆时针方向旋转90所得的△A 2B 2C 2；
（3）在图2中，以点O 为位似中心，将△ABC 放大，使放大后的△A 3B 3C 3与△ABC 的对应边
的比为2:1（画出一种即可）．直接写出点A 的对应点A 3的坐标．
28．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
2y x bx c =-++经过点
A （0，2）
，B （3，4-）． （1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点， 记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直 线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的 取值范围．
29．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，点P 为△ABC 内一点．
（1）连接PB ，PC ，将△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ，点B ，C ，P 的对应点
分别为点D ，A ，E ，连接CE ． ① 依题意，请在图2中补全图形；
② 如果BP ⊥CE ，BP =3，AB =6，求CE 的长．
（2）如图3，连接P A ，PB ，PC ，求P A+PB+PC 的最小值．
小慧的作法是：以点A 为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，那么就将P A+PB+PC 的值转化为CP +PM +MN 的值，连接CN ，当点P 落在CN 上时，此题可解． 请你参考小慧的思路，在图3中证明P A +PB +PC =CP +PM +MN ． 并直接写出当AC =BC =4时，P A +PB +PC 的最小值．
昌平区2016-2017学年度第一学期初三年级期末质量抽测
数学参考答案及评分标准 2017. 1
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）
图1
B
图
2
B
图3
N
B
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．解： 22sin 304sin 45cos 45tan 60︒-︒⋅︒+︒ 2
222
142=⨯
⨯⨯+- ………………………………………………………… 4分
123=+-
2= ． ………………………………………………………………… 5分 18．（1）P （摸出“书”）=
1
4
．……………………………………………………… 1分 （2
）根据题意，可以画出如下的树状图：
………………3分
∴P （摸出“昌平”）=212=1
6
． ……………………………………………………… 5分错误！未找到引用源。

19．解：在Rt △ABC 中，
∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
∴∠B =∠ACD ．…………………………………………………………… 1分
∵tan
∠ACD = 2
，
∴tan ∠B=
2AC
BC
=，…………………………………………………………………… 3分 ∴BC =……………………………………………………………………………… 4分 由勾股定理得5AB =.………………………………………………………………… 5分
20．解：（1）设这个二次函数的表达式为2
()y a x h k =-+.
依题意可知，顶点（-1，9
2
）， ∴29(+1)2
y a x =+
. 平昌平昌
平
昌
香
书
香书书香书香昌平
∵（0，4）， ∴29
4(0+1)2
a =+. ∴12
a =-
. ∴这个二次函数的表达式为219
(1)2
2
y x =-++.…………………… 3分 （2）5
2
m =
.…………………… 5分 21．解法一：
作直径AD ，连接CD . ∴∠ACD=90°，……………………… 1分 ∵∠B=60°，∴∠D =∠B=60°．……………………… 3分 ∵⊙O 的半径为6，∴AD =12.
在Rt △ACD 中， ∠CAD=30°，∴CD =6. ∴AC =36.………………………………… 5分 解法二：
连接OA ，OC ，过O 点作OE ⊥AC 于点E ，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°．…………………………… 1分 ∵⊙O 的半径为6，∴OA=OC =6. ∵ OE ⊥AC ， ∴AE =CE =
2
1
AC ，∠AOE=∠COE=60°. (3)
在Rt △OEC 中， ∠OCE=30°，
∴OE =3，∴CE =33.………………………………………………………… 4分 ∴AC
=36.………………………………………………… 5分 22．解：
点O 即为所求………………………………………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分） 23．解：由题意， 在Rt △ACD 中， ∵ ∠CAD=90°，∠DCA =45°， ∴ AC =AD .………………………… 1分
解法1
C
解法2
C
A
C
B
D
设AC =AD =x ，
在Rt △ABD 中， ∵ ∠BAD=90°，∠DBA =30°， ∴ BD =2AD =2x ，
∴ AB =x 3.………………………………………………………… 2分
∴ BC =
x ）3-2（.
∵ BC=50,
∴ 50）3-2（=x . …………………………………………… 3分
∴ 3.68≈x .
∴ x=68…………………………………………… 4分
∴ 南环大桥的高度AD 约为68米. …………………………………… 5分 24．解：（1）反比例函数x
m
y =
的图象过点A （6，1）． ∴ m =6………………………………………………………………………… 1分 ∴ 反比例函数的表达式为x
y 6
=
………………………………………………………2分
（2）过A 点作AM ⊥y 轴于点M ，AM =6， 作BN ⊥y 轴于点N ，∴AM ∥BN ∵ AM ∥BN ，AP =3PB ∴
3
1
BP 3BP AP BP AM BN === ∵ AM =6， ∴BN =2…………………………3分 ∴ B 点横坐标为2或-2
∴ B 点坐标为（2，3）或(-2, -3). ………………………………… 5分
25．（1）证明：连接CE ， ∵ AC 为⊙O 的直径， ∴ ∠AEC=90°． ∴ ∠BEC=90°． ∵ 点F 为BC 的中点， ∴ EF=BF=CF ．………………………………………………………… 1分
∴ ∠FEC=∠FCE .
A C
F
∵ OE=OC ， ∴ ∠OEC=∠OCE . ∵ ∠FCE +∠OCE =∠ACB =90°， ∴ ∠FEC +∠OEC =∠OEF =90°．
∴ EF 是⊙O 的切线．………………………………………………………… 2分 （2）∵ OA=OE ，∠EAC ＝60°，∴ △AOE 是等边三角形. ∴ ∠AOE=60°． ∴ ∠COD=∠AOE=60°． ∵ ⊙O 的半径为2，∴ OA=OC=2
在Rt △OCD 中， ∵ ∠OCD=90°，∠COD =60°， ∴ ∠ODC =30°．∴ OD =2OC =4，
∴CD =32.………………………………………………………… 4分 在Rt △ACD 中， ∵ ∠ACD=90°，AC =4，CD =32.
∴ AD =72.………………………………………………………… 5分 26．
（1）1≠x ；………………………………………………… 1分 （2）m 的值为4
9
；………………………………………………… 2分 （3）
………………………………………………… 4分 （4）当2>x 时， y 随自变量x 的增大而增大. 当21<<x 时， y 随自变量x 的增大而减小. 当0<x 时， y 随自变量x 的增大而增大. 当10<<x 时， y 随自变量x 的增大而减小.
图象有两个分支，关于点（1,1）中心对称. 等…………………………………………… 5分 五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分） 27．解：（1）如图1.………………………………………… 2分 （2）如图1.……………………………………… 4分 （3）如图2（画出一种情况即可）.
此时点A 的对应点A 3的坐标是（4-，4-）或（4，4）（写出一个即可）．………………………7分
28．（1）抛物线2
2y x bx c =-++经过点A （0，2），B （3，4-），代入得
解得:
∴ 抛物线的表达式为2422
++-=x x
y ，………………………………… 2分
对称轴为直线 错误！未找到引用源。

．……………………………………………… 3分 （2）由题意得 错误！未找到引用源。

，二次函数2422
++-=x x
y 的最大值为4．
由函数图象得出D 纵坐标最大值为4．…………………………………… 4分 因为点B 与点C 关于原点对称，所以设直线BC 的表达式为kx y =，
将点B 或点C 与的坐标代入得，
34
-
=k .
∴ 直线BC 的表达式为x y 3
4
-
=． 当 x =1时，34
-=y ………………………………… 6分
∴ t 的范围为43
4
≤≤-t ． (7)
29．解：（1）①如图1……………………… 1分
②如图2，连接BD 、CD
∵△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE
∴BC ∥AD 且BC =AD
∵∠ACB =90°
∴四边形BCAD 是矩形……………………… 2分 ∴CD =AB =6
∵BP =3
∴DE = BP =3
∵BP ⊥CE ，BP ∥DE
∴DE ⊥CE ……………………… 3分 ∴在Rt △DCE 中，
CE
=
=
= 4分
（2）证明：∵以点A 为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN .
∴△AMN ≌△ABP ，
∴MN =BP ，P A =AM ，∠P AM =60° ∴△P AM 是等边三角形. ∴P A =PM
∴ P A +PB +PC =CP +PM +MN …………………… 6分
当AC =BC =4时，P A +PB +PC
=．…………………… 8分
图3
N
B
E
图1
B
E
图2
B。