C13 江苏省苏锡常镇四市2017届高三下学期教学情况调研(一)(3月)数学-Word版含答案

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2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)参考答案

……2 分 ……4 分 ……7 分
（法二）因为在△ ABC 中， A B C π ，
则 sin Acos B sin Bcos A sin( A B) sin(C π)=sinC ，
……2 分
由 a b c 得： sin A a sin C ， sin B bsin C ，代入上式得： ……4 分
B．（选修 4—2：矩阵与变换）
解：设
M=
a c
b d

，M
1 1

8
1 1

a c

b d

，M
1

2

2

4

a c

2b
2d

，
……3 分
a b 8，
a 6，
ac2db8，2 ，解得
……４分
……6 分 ……7 分
又 f (1) 0 ，当 x (0,1) ， f (x) 0 ；当 x (1, ) 时， f (x) 0 . ……9 分
故不等式 (x 1) f (x) …0 恒成立．
……10 分
若 a 2 ， f (x) x ln x (1 a)x 1 ， x
4． 24 8． 2
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．解：（1）（法一）在△ ABC 中，由余弦定理， a cos B 3 ，则 a a2 c2 b2 3 ，得 a2 c2 b2 6c ；① 2ac bcos A 1，则 b b2 c2 a2 1 ，得 b2 c2 a2 2c ，② 2bc ①+②得： 2c2 8c ， c 4 .

江苏苏锡常镇四2017年高三教学情况调研

江苏省苏锡常镇四市2017年高三教学情况调研（一）化学试题注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分。

考试时间100分钟。

2.请把答案写在答题卡的指定栏目内。

可能用到的相对原子质量：H-l C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 S-32 Cl-35.5 I-127选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1.2016年世界环境日我国确定的主题是“改善环境质量，推动绿色发展”。

下列做法不应该提倡的是A.发展清洁能源B.增加植被面积C.燃烧煤炭供热D.选择绿色出行2.下列有关化学用语表示正确的是Cl B.硫离子的结构示意图：A.中子数为20的氯原子：2017C. N2H4的电子式：D.丙烯的结构简式：CH2CHCH33. 下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是A.NH3极易溶于水，可用于工业制冷剂B.木炭具有还原性，可用于冰箱和居室除臭剂C.Al2O3是两性氧化物，可用于制造高温材料D.Na、K合金熔点低且导热，可用于快中子反应堆的导热剂4.短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，X的原子半径比Y的小，Y原子最外层电子数是其内层电子总数的3倍，W原子的核电荷数等于X、Z原子的核电荷数之和，X和Z同主族。

下列说法正确的是A.原子半径：r(W)>r(Z)>r(Y)B.Z的最高价氧化物对应水化物的碱性比W的强C.化合物X2Y2和Z2Y2所含化学键类型完全相同D.工业上常用电解熔融W的氧化物制备W的单质5.下列指定反应的离子方程式正确的是A.向Al2(SO4)3溶液中加入过量氨水：Al3++3OH-=Al(OH)3↓B.向Fe(OH)3胶体中加入氢碘酸溶液：Fe(OH)3+3H+=Fe3++3H2OC.将NaClO溶液与亚硫酸钠溶液混合：ClO-+SO32-=SO42-+Cl-D.用石墨作电极电解氯化镁溶液：2Cl-+2H2O H2↑+Cl2↑+2OH-6.下列装置用于实验室制备氨气并配制银氨溶液，不能达到实验目的的是A.检查气密性B.制备氨气C.吸收氨尾气D.配制银氨溶液7. 在探究Ba2ClO(OH)3·H2O性质的实验中，取该物质溶解后，分别和下列溶液充分混合搅拌，反应后溶液中主要存在的一组离子正确的是A.加入过量浓盐酸：H+、Ba2+、Cl-、ClO-B.加入过量NaHCO3稀溶液:Na+、HCO3-、CO32-、C1O-C.加入过量Fe(NO3)2溶液：Ba2+、NO3-、Fe2+、C1O-D.加入过量Na2SO4溶液：Ba2+、ClO-、Na+、SO42-8. 在给定的条件下，下列选项所示的物质间转化均能一步实现的是A.B.C.D.9.化学中常用图像直观地描述化学反应的进程或结果。

江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试卷+答案

2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学2023.3注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时。

将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2log1A x x =<，{}1Bx x =>，则()RA B =A.{}2x x <B.{}01x x <≤C.{}1x x ≤D.R2.两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为()4,3A s =，()2,6B s =−，则B s 在A s 上的投影向量的长度为A.10D.2 3.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点不同”，则()P B A = A.79B.89C.911D.10114.已知正四面体P ABC −的棱长为1，点O 为底面ABC 的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O 的半径为5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()sin x f x e x =+，则不等式()21x f x e −<的解集是A.1,2π++∞ B.10,2π+D.11,22ππ−+6.在ABC △中，23BAC π∠=，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，ABD △的面积是ADC △面积的3倍，则tan B =7.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，点P ，Q 在直线2a x c =上，FP FQ ⊥，O 为坐标原点，若22OP OQ OF ⋅=，则该椭圆的离心率为A.238.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若对任意正整数n ，1133n n n S a a ++=−++，()1nn n S a a +>−，则实数a 的取值范围是A.31,2−B.51,2−C.52,2−D.()2,3−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分。

2017—2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)(含答案)

12017—2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题2018．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{﹣1，1}，B ＝{﹣3，0，1}，则集合A ∩B ＝．2．已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3．双曲线22143x y -=的渐近线方程为． 4．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600，现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n ＝．5．将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为．6．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．7．若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为8cm²，则它的体积为 cm³．8．设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若242a a +=，2S +41S =，则10=a ．9．已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是．10．设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，第6题已知tan A 3tan B c b b -=，则cosA ＝．211．已知函数1()41x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，，（e 是自然对数的底数），若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为．12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CP 3=，CA 4=，∠ACB ＝23π，则CP CA ⋅＝．13．已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为．14．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>在区间[1，2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）已知向量(2sin a α=，1)，(1b =，sin())4πα+．（1）若角α的终边过点(3，4)，求a b ⋅的值；（2）若a ∥b ，求锐角α的大小．16．（本题满分14分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，其底面边长为2，已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．（1）求证：B 1M ∥平面A 1BN ；（2）求证：AD⊥平面A 1BN ．。

江苏省苏锡常镇高三3月教学情况调研(一)数学(文)试题(解析版)

苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1. 已知集合，，则集合__________．2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．3. 双曲线的渐近线方程为__________．4. 某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为，则__________．5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字，，，）先后抛掷次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于的概率为__________．6. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是__________．7. 若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为__________．8. 设是等差数列的前项和，若，，则__________．9. 已知，，且，则的最小值是__________．10. 设三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，则__________．11. 已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为__________．12. 在中，点是边的中点，已知，，，则__________．13. 已知直线：与轴交于点，点在直线上，圆：上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值集合为__________．14. 若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为_____．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知向量，.（1）若角的终边过点，求的值；（2）若，求锐角的大小.16. 如图，正三棱柱的高为，其底面边长为.已知点，分别是棱，的中点，点是棱上靠近的三等分点.求证：（1）平面；（2）平面.17. 已知椭圆：经过点，，点是椭圆的下顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知，求直线的斜率.18. 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记.（1）当时，求的大小；（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.19. 已知函数，.（1）若，，且恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且函数在区间上是单调递减函数.①求实数的值；②当时，求函数的值域.20. 已知是数列的前项和，，且.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数，，，已知，，成等差数列，求正整数，的值；（3）设数列前项和是，且满足：对任意的正整数，都有等式成立.求满足等式的所有正整数.苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1. 已知集合，，则集合__________．【答案】【解析】2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________．【答案】5【解析】因为，所以，即，.3. 双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为,即.4. 某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为，则__________．【答案】63【解析】5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字，，，）先后抛掷次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于的概率为__________．【答案】【解析】两次数字之和等于有三种基本事件，所以概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是__________．【答案】25【解析】执行循环得：结束循环，输出25.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为__________．【答案】【解析】设侧面斜高为，则，因此高为8. 设是等差数列的前项和，若，，则__________．【答案】8【解析】因为，，所以，因此9. 已知，，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 设三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，则__________．【答案】【解析】因为，所以11. 已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，（当且仅当时取等号），当时，，因此12. 在中，点是边的中点，已知，，，则__________．【答案】6【解析】,所以点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．13. 已知直线：与轴交于点，点在直线上，圆：上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值集合为__________．【答案】【解析】以AP为直径的圆与圆C相切，设，所以以AP为直径的圆圆心为，半径为，因此外切时：，内切时：，即点的横坐标的取值集合为点睛：研究直线与圆位置关系时，要注意隐圆，即利用直接法或转移法求轨迹方程，最后根据直线与圆或圆与圆位置关系求解参数取值范围.14. 若二次函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为_____．【答案】【解析】设，则点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知向量，.（1）若角的终边过点，求的值；（2）若，求锐角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先根据三角函数定义得，，再根据向量数量积得结果，（2）由向量平行得，再利用两角和正弦公式以及同角三角函数关系得，即得锐角的大小试题解析：（1）由题意，，所以.（2）因为，所以，即，所以，则，对锐角有，所以，所以锐角.16. 如图，正三棱柱的高为，其底面边长为.已知点，分别是棱，的中点，点是棱上靠近的三等分点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据平行四边形性质得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据平几知识得，再根据线面垂直性质定理得，最后根据线面垂直判定定理得结论.试题解析：（1）连结，正三棱柱中，且，则四边形是平行四边形，因为点、分别是棱，的中点，所以且，又正三棱柱中且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）正三棱柱中，平面，平面，所以，正中，是的中点，所以，又、平面，，所以平面，又平面，所以，由题意，，，，，所以，又，所以与相似，则，所以，则，又，，平面，所以平面.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17. 已知椭圆：经过点，，点是椭圆的下顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于，两点，已知，求直线的斜率. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组得a,b,（2）设直线斜率，根据方程组解得E,F,再根据解得斜率.试题解析：（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，设直线：，与直线联立方程有，得，设直线：，同理，因为，所以，①，无实数解；②，，，解得，综上可得，直线的斜率为.18. 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记.（1）当时，求的大小；（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先根据直角三角形解得，再根据正弦定理列关于三角方程，根据同角三角函数关系得，即得的大小；（2）根据正弦定理列关于的函数关系，利用导数求最值，即得结果.试题解析：（1）设，由题，中，，，所以，在中，，，由正弦定理得，即，所以，则，所以，因为为锐角，所以，所以，得；（2）设，在中，，，由正弦定理得，即，所以，从而，其中，，所以，记，，；令，，存在唯一使得，当时，单调增，当时，单调减，所以当时，最大，即最大，又为锐角，从而最大，此时.答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为.19. 已知函数，.（1）若，，且恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且函数在区间上是单调递减函数.①求实数的值；②当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先利用参变分离将不等式化为函数最值：的最大值，再利用导数求函数最值，即得实数的取值范围；（2）①将单调性条件转化为对恒成立，再根据二次函数恒成立条件得不等式，解不等式可得实数的值；②先利用导数研究函数单调性，确定函数值域，再结合图像确定，根据图像确定值域.试题解析：（1）函数的定义域为.当，，，∵恒成立，∴恒成立，即.令，则，令，得，∴在上单调递增，令，得，∴在上单调递减，∴当时，，∴.（2）①当时，，.由题意，对恒成立，∴，∴，即实数的值为.②函数的定义域为.当，，时，.，令，得.∴当时，，当时，，当时，.对于，当时，，当时，，当时，.∴当时，，当时，，当时，.故函数的值域为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.20. 已知是数列的前项和，，且.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数，，，已知，，成等差数列，求正整数，的值；（3）设数列前项和是，且满足：对任意的正整数，都有等式成立.求满足等式的所有正整数.【答案】（1）；（2）和【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义判断，最后根据等比数列通项公式求结果，（2）根据等差数列化简得，再根据正整数限制条件以及指数性质确定不定方程正整数解，（3）先根据定义求数列通项公式，再根据等差数列求和公式求，根据数列相邻项关系确定递减，最后根据单调性求正整数解.试题解析：（1）由得，两式作差得，即.，，所以，，则，所以数列是首项为公比为的等比数列，所以；（2）由题意，即，所以，其中，，所以，，，所以，，；（3）由得，，，，所以，即，所以，又因为，得，所以，从而，，当时；当时；当时；下面证明：对任意正整数都有，，当时，，即，所以当时，递减，所以对任意正整数都有；综上可得，满足等式的正整数的值为和.。

苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研答案201703

苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（一）2017.03语文参考答案一、语言文字运用（15分）1．B 2．B 3．B 4．C 5．C二、文言文阅读（19分）6．B （革：危急）7．B（高石门绝意爵禄之门并不是因为科场失利）8．（1）当时权贵拜访他，向他求书画却不能（得到），是因为（石门子）不想用自己擅长的书画取媚他们。

（轩盖、造、盖、所能各1分，句意1分，共5分）（2）石门子对于酒（的态度）和那些醉乡中以酒来自我宽慰的贤人相比，怎么样呢？（视、广、何如各1分，句意1分，共4分）9．一生嗜酒（离不开酒）；（2分）书画成就也离不开酒。

（2分）[参考译文]世上仰慕旷达的人都认为嵇康、阮籍那些贤德之士能得到醉乡之乐，在于能保持本性而以酒成就了他们的名声，丘子说：醉乡之徒，是凭借他们的放荡不羁来应付时势，（他们）不能伸展心志，于是托之于酒来自我宽慰罢了。

我认为醉乡之人，不是真的快乐。

晋安的石门子早年善于写作，不喜欢在士子的举业上进取，常常说八股文的在排比对偶上极尽修饰，如同留着胡子而涂脂抹粉，不值得学习。

于是无意于求取官爵和俸禄之道，而结庐隐居，自己取号为霞仙。

（石门子）善画，善写隶书草书，擅长八分书。

家里贫穷，生性嗜好喝酒，每天以喝酒为事。

因此一生孤高清白，在海内闻名。

当时权贵拜访他，向他求书画却不能（得到），是因为（石门子）不想用自己擅长的书画取媚他们。

等到醉了，那么即使是一般人家把纸给他，（他也）欣然挥毫，任意纵横，而字体结构高雅古朴，神情姿态突兀；酒醒之后即使刻意挥毫，都比不上（醉酒之后写的字）。

大概是因为他醉后写的字最能体现酒醉时的精神面貌吧。

乡里有个叫宋子的人，和他交好，患疟疾一年了都没好。

某一天（石门子）去他家慰问他，宋子强忍着疾病移榻至厅堂见面，趁此时机待他以酒。

喝得畅快时，宋子拿出白绢请他作画，石门子于是拿笔蘸墨画了几株菊花，倒垂在悬崖而若隐若现于江波之间，菊花的清香姿态呈飘拂流动的样子，宋子（顿感）清凉，疏然爽朗。

2016-2017学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学试卷(带解析)

绝密★启用前2016-2017学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试卷（带解析）xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．U ={1,2,3,4,5,6,7}，M ={x |x 2−6x +5≤0,x ∈Z }，∁U M =________．2．若复数z 满足z +i =2+ii（i 为虚数单位），则|z |=______________．3．函数f (x )=1ln (4x −3)的定义域为______________．4．下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______________．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．则该校高二年级学生人数为_________．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 3，则该正四棱锥的体积为____________．7．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为_______．8．在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线y 2=8x 的焦点恰好是双曲线x 2a−y 23=1的右焦点，则双曲线的离心率为______________．9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3,S 9,S 6成等差数列，且a 2+a 5=4，则a 8的值为______________．10．在平面直角坐标系x O y 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2+y 2=5交于A ,B 两点，其中A 点在第一象限，且B M =2M A ，则直线l 的方程为______________．11．在△A B C 中，已知A B =1,A C =2,∠A =60∘，若点P 满足A P =A B +λA C ，且B P ⋅CP =1，则实数λ的值为______________．12．已知sin α=3sin (α+π6)，则tan (α+π12)=______________．13．若函数f (x )={12x−1,x <1ln xx 2,x ≥1，则函数y =|f (x )|−18的零点个数为______________．14．若正数x ,y 满足15x −y =22，则x 3+y 3−x 2−y 2的最小值为______________．二、解答题15．在△A B C 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边．若a cos B =3,b cos A =1，且A −B =π6．（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三棱柱A B C−A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱A B上一点，且O E∥平面B CC1B1．（1）求证：E是A B中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥B C．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门B A D C（如图）．设计要求彩门的面积为S（单位：m2），高为（单位：m）（S, 为常数）．彩门的下底B C固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f(α)；（2）问当α为何值l最小，并求最小值．18．在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A.（1）求该椭圆的方程；（2）过点D(2,−2)作直线P Q交椭圆于两个不同点P,Q，求证：直线A P,A Q的斜率之和为定值.19．已知函数f(x)=(x+1)ln x−a x+a（a为正实数，且为常数）.（1）若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若不等式(x−1)f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.20．已知n为正整数，数列{a n}满足a n>0，4(n+1)a n2−na n+12=0，设数列{b n}满足b n=a n2t n.（1）求证：数列{nn}为等比数列；（2）若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N ∗，均存在m ∈N ∗，使得8a 12S n −a 14n 2=16b m成立，求满足条件的所有整数a 1的值. 21．已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1 =[11]，并且矩阵M 对应的变换将点(−1,2)变换成(−2,4). （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值.22．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2−2 2ρcos (θ−π4)=2.（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.23．如图，已知正四棱锥P −A B C D 中， P A =A B =2，点M ,N 分别在P A ,B D 上，且P M P A =B N B D =13.（1）求异面直线M N 与P C 所成角的大小；（2）求二面角N −P C −B 的余弦值.24．设|θ|<π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n =sinn π2tan n θ，其前n 项和为S n .（1）求证：当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ；（2）求证：对任何正整数n ，S 2n =12sin 2θ⋅[1+(−1)n +1tan 2n θ].参考答案1．{6,7}【解析】由M={x|x2−6x+5≤0,x∈Z}，得：M={1,2,3,4,5}，则C U M={6,7}，故答案为{6,7}. 2．10【解析】由z+i=2+ii ，得z=2+ii−i=1−3i，则|z|=12+3=10，故答案为10.3．(34,1)∪(1.+∞)【解析】要使函数有意义需满足{4x−3>0ln(4x−3)≠0，解得x∈(34,1)∪(1.+∞)，故答案为(34,1)∪(1.+∞).4．24【解析】由题意列出如下循环过程：i=2t=1t=1×2=2；i=3t=2t=2×3=6；i=4t=6t=4×6=24；i=5不满足循环条件i≤4，输出t的值24，故答案为24.5．300【解析】由题意得高二年级应抽取45−20−10=15人，则高二年级学生人数为1545×900= 300，故答案为300.点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.6．43【解析】正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为3，底面对角线长为22，所以棱锥的高为(3)2−(2)2=1，所以棱锥的体积为13×2×2×1=43，故答案为43.7．13【解析】从{1,2,3,4}中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有1,2，2,4两种情况，所以根据古典概型公式得p=26=13，故答案为13.8．2【解析】抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，则在双曲线中c=2，a=22−3=1，则离心率为ca=2，故答案为2.9．2【解析】设等比数列{a n}的公比为q，首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3,S9,S6成等差数列；当q≠1时，因为S3,S9,S6成等差数列，所以2×a1(1−q9)1−q =a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q，化简得2q 6−q 3−1=0，解得q 3=−12或q 3=1（舍去），则a 2+a 5=a 2(1+q 3)=4，得a 2=8，则a 8=a 2⋅q 6=8×14=2，故答案为2.点睛：本题考查等比数列的前n 项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论；设等比数列{a n }的公比为q 、首项是a 1，根据公比q 与1的关系进行分类，由等比数列的前n 项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简a 2+a 5=4可得a 2和q 3的值，故可求得a 8. 10．y =x −1【解析】由题意，设直线x =m y +1与圆x 2+y 2=5联立，可得(m 2+1)y 2+2m y −4=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则y 1=−2y 2，y 1+y 2=−2m m +1，y 1y 2=−4m +1，联立解得m =1，则直线l 的方程为y =x −1，故答案为y =x −1. 11．1或−14【解析】△A B C 中，B =1,A C =2,∠A =60∘，点P 满足A P =A B +λA C ，∴A P −A B =λA C ，∴B P =λA C ，又C P =A P −A C =(A B +λA C )−A C =A B +(λ−1)A C ，B P ⋅C P =λA C ⋅[A B +(λ−1)A C ]=λA C ⋅A B +λ(λ−1)A C 2=λ×2×12+λ(λ−1)×4=1整理得4λ2−3λ−1=0，解得λ=−14或1，故答案为 1或−14.12．2 3−4【解析】由sin α=3sin (α+π6)，得sin (α+π12−π12)=3sin (α+π12+π12)，即sin (α+π12)cosπ12−cos (α+π12)sinπ12=3[sin (α+π12)cosπ12+cos (α+π12)sin π12]整理得：sin (α+π12)cos π12=−2cos (α+π12)sin π12，即tan (α+π12)=−2tan π12，而tanπ12=tan (π3−π4)=3−=2− 3，故tan (α+π12)=2 3−4，故答案为2 3−4.13．4【解析】当x <1时，f (x )=12x −1，根据指数函数的性质可知，该函数单调递减且f (x )∈(−12,+∞)，故 f x =18由两个解；当x ≥1时，f (x )=ln xx2，f ′(x )=x −2x ln x x 4=1−2ln xx 3，故当1≤x < e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x > e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；f ( e )=12e，故f (x )∈[0,12e]，故 f x =18由两个解，综上可得函数y =|f (x )|−18的零点个数为4，故答案为4.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力；利用分段函数，对x ≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x <1时，利用导数判断函数的单调性，利用数形结合思想求解函数的零点个数即可. 14．1【解析】由正数x,y满足15x−y=22，可得y=15x−22>0，则x>2215，y>0，又x3+y3−x2−y2=（x3−x2）+（y3−y2），其中y3−y2+14y=y（y2−y+14）=y（y−12）2≥0，即y3−y2≥−14y，当且仅当y=12时取得等号，设f(x)=x3−x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2−2x=x(3x−2)，当x>32时，f′(x)>0，f(x)递增，2215<x<32时，f′(x)<0，f(x)递减．即有f(x)在x=32处取得极小值，也为最小值98，此时y=15×32−22=12，则x3+y3−x2−y2≥（x3−x2）+（y3−y2）≥98−14y=98−18=1．当且仅当x=32，y=12时，取得最小值1，故答案为1.点睛：本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题；由题意可得x>2215，y>0，又x3+y3−x2−y2=x3−x2+y3−y2，求出y3−y2≥−14y，当且仅当y=12时取得等号，设f(x)=x3−x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.15．（1）c=4;（2）B=π6.【解析】试题分析：（1）由a cos B=3,b cos A=1，利用余弦定理化为：a2+c2−b2=6c，b2+c2−a2=2c，相加即可得出c；（2）运用正弦定理结合题意可得：tan Atan B=3，将其代入tan(A−B)中可解出tan B=33，结合B的范围可得结果.试题解析：（1）（法一）在△A B C中，由余弦定理，a cos B=3，则a a2+c2−b22a c=3，得a2+c2−b2=6c；①b cos A=1，则b b2+c2−a22b c=1，得b2+c2−a2=2c，②①+②得：2c2=8c，c=4.（法二）因为在△A B C中，A+B+C=π，则sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin(C−π)=sin C，由asin A =bsin B=csin C得：sin A=a sin Cc，sin B=b sin Cc，代入上式得：c=a cos B+b cos A=3+1=4.（2）由正弦定理得a cos Bb cos A =sin A cos Bsin B cos A=tan Atan B=3，又tan(A−B)=tan A−tan B1+tan A tan B =2tan B1+3tan2B=33，解得tan B =33，B ∈(0,π)，B =π6.16．（1）见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）连接B C 1，由O E ∥平面B CC 1B 1结合线面平行性质定理可得O E ∥B C 1，结合O 是AC 1中点及A EE B=A O O C 1=1，可得结果；（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.试题解析：（1）连接B C 1，因为O E ∥平面B CC 1B 1，O E ⊂平面A BC 1，平面B CC 1B 1 ∩平面A BC 1=B C 1，所以O E ∥B C 1. 因为侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1∩A 1C =O ，所以O 是AC 1中点，所以A E E B =A OO C 1=1，E 是AB 中点.（2）因为侧面AA 1C 1C 是菱形，所以AC 1 ⊥A 1C ，又AC 1⊥A 1B ，A 1C ∩A 1B =A 1，A 1C ,A 1B ⊂面A 1B C ，所以AC 1⊥面A 1B C ，因为B C ⊂平面A 1B C ，所以AC 1⊥B C ．17．（1）l 表示成关于α的函数为l =f (α)=S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)；（2）当α=π3时，l 有最小值为 3 +S.【解析】试题分析：（1）求出上底，即可将l 表示成关于α的函数l =f (α)；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l 最小，并求最小值. 试题解析：（1）过D 作D H ⊥B C 于点H ，则∠D C B =α（0<α<π2）， D H = ，设A D =x ，则D C =sin α，C H =tan α，B C =x +2tan α，因为S=12(x +x +2tan α)⋅ ，则 x =S−tan α；则l =f (α)=2D C +A D =S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)；（2）f ′(α)= ⋅(−2cos αsin 2α−−1sin 2α)= ⋅1−2cos αsin 2α，令f ′(α)= ⋅1−2cos αsin α=0，得α=π3.所以， l min =f (π3)= 3 +S. 答：（1）l 表示成关于α的函数为l =f (α)=S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)；（2）当α=π3时，l 有最小值为 3 +S.18．（1）x 22+y 2=1.（2）直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.【解析】试题分析：（1）由题意可知2c =2，c =1，离心率e =ca ，求得a = 2，则b 2=a 2−c 2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线P Q 的方程：y + 2=k (x − 2)，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线A P ，A Q 的斜率，即可证明直线A P ，A Q 的率之和为定值.试题解析：（1）由题c =1 ， e =c a= 22 ，所以a = 2，b =1 .所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y + 2=k (x − 2)，代入x 2+2y 2=2，得(1+2k 2)x 2−4 2(k 2+k )x +4k +28k +2=0，设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则：Δ=−4(8k +1)>0，k <−18，x 1,2=4 2(k 2+k )± Δ2(1+2k )，所以x 1+x 2=4 2(k 2+k )1+2k ，x 1⋅x 2=4k 2+8k +21+2k ，又k A P +k A Q =1x 1−22x2−2=1 2) 2x 1− 2+2 2) 2x 2− 2=2k 2(x 1x 2xx − 2(x +x )+2=2k 24 2(k 2+k )1+2k 2−44k 2+8k +21+2k 2− 24 2(k 2+k )1+2k 2+2=1.所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1. 19．（1）0<a ⩽2.（2）0<a ⩽2.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导即f ′(x )=ln x +x +1x−a ，因f (x )在(0,+∞)上单调递增，则f ′(x )≥0，利用分离参数思想得a ⩽ln x +1x+1恒成立，即a ⩽ ln x +1x+1m i n即可；（2）分为0<a ⩽2和a >2两种情形，当0<a ⩽2时，结合（1）很容易得到结论，当a >2时，运用二次求导确定其单调性得解.试题解析：（1）f (x )=(x +1)ln x −a x +a ，f ′(x )=ln x +x +1x−a . 因f (x )在(0,+∞)上单调递增，则f ′(x )≥0，a ⩽ln x +1x +1恒成立. 令g (x )=ln x +1x +1，则g ′(x )=x −1x ，因此，g min (x )=g (1)=2，即0<a ⩽2.（2）当0<a ⩽2时，由（1）知，当x ∈(0,+∞)时，f (x )单调递增. 又f (1)=0，当x ∈(0,1)，f (x )<0；当x ∈(1,+∞)时，f (x )>0. 故不等式(x −1)f (x )⩾0恒成立．若a >2，f ′(x )=x ln x +(1−a )x +1x，设p (x )=x ln x +(1−a )x +1，令p ′(x )=ln x +2−a =0，则x =e a −2>1.当x ∈(1,e a −2)时，p ′(x )<0，p (x )单调递减，则p (x )<p (1)=2−a <0，则f ′(x )=p (x )x<0，所以当x ∈(1,e a −2)时，f (x )单调递减，则当x ∈(1,e a −2)时，f (x )<f (1)=0，此时 x −1 f x <0，矛盾. 因此，0<a ⩽2. 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a > (x )或a < (x )恒成立，即a > max (x )或a < min (x )即可，利用导数知识结合单调性求出 max (x )或 min (x )即得解. 20．（1）见解析;（2）t =4;（3）当a 1=2k ,k ∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m .【解析】试题分析：（1）将4(n +1)a n 2−na n +12=0经过移项、两边同时除以n n +1 可得a n +12n +1=4a n 2n ，故可得结论{n n}为等比数列；（2）由（1）得a n =a 12n −1 n ，代入得b n =a 124n −1n t n，由数列{b n }是等差数列易知2b 2=b 1+b 3，代入可解得t 1=4，t 2=12，将其进行检验得结果；（3）由（2）得b n =a 12n4，利用等差数列前n 项和公式代入8a 12S n −a 14n2=16b m ，解出m =na 124，经讨论当a 1=2k 时符合题意，当a 1=2k −1时不符合题意.试题解析：（1）由题意得4(n +1)a n 2=na n +12，因为数列{a n }各项均正，得a n+12n +1=4a n 2n ，所以a n +1 n+1=2a nn，因此a n +1 n +1a n n=2，所以{ann}是以a 1为首项公比为2的等比数列. （2）由（1）得nn=a 1⋅2n −1，a n =a 12n −1 n ，b n =a n 2t n =a 124n −1n t n，如果数列{b n }是等差数列，则2b 2=b 1+b 3，得：2a 122⋅42−1t 2=a 1240t+a 123⋅43−1t 3，即16t 2=1t +48t 3，则t 2−16t +48=0，解得 t 1=4，t 2=12. 当t 1=4时，b n =a 12n 4，b n +1−b n =a 12(n +1)4−a 12n 4=a 124，数列{b n }是等差数列，符合题意；当t 2=12时，b n =a 12n4⋅3n，b 2+b 4=2a 124⋅3+4a 124⋅3=22a 124⋅3=11162a 12，2b 3=2⋅a 1234⋅3=a 1218，b 2+b 4≠2b 3，数列{b n }不是等差数列，t 2=12不符合题意；综上，如果数列{b n }是等差数列，t =4.（3）由（2）得b n =a 12n 4，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m，则8a 144⋅n (n +1)2−a 14n2=16a 12m 4，所以m =na 124.当a 1=2k ，k ∈N *，此时m =4k 2n 4=k 2n ，对任意的n ∈N *，符合题意；当a 1=2k −1，k ∈N *，当n =1时，m =4k 2−4k +14=k 2+k +14. 不合题意.综上，当a 1=2k ,k ∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m. 21．(1)M =[6244].（2）矩阵M 的另一个特征值为2.【解析】试题分析：（1）先设矩阵M =[a bc d]，由二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1 及矩阵M 对应的变换将点(−1,2)换成(−2,4)，得到关于a ，b ，c ，d 的方程组，即可求得矩阵M ；（2）由（1）知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)=(λ−6)(λ−4)−8，从而求得另一个特征值为2. 试题解析：设M =[a b c d ]，M [11]=8[11]=[a +b c +d ]，M [−12]=[−24]=[−a +2b −c +2d ]，{a +b =8 ，c +d =8 ，−a +2b =−2 ，−c +2d =4 ，解得{a =6 ，b =2 ，c =4 ，d =4 ，即M =[6244].（2）则令特征多项式f (λ)=|λ−6−2−4λ−4|=(λ−6)(λ−4)−8=0，解得λ1=8 ，λ2=2.矩阵M 的另一个特征值为2. 22．（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x 2+y 2=4；因为ρ2−2 2ρcos (θ−π4)=2，所以ρ2−2 2ρ(cos θcos π4+sin θsin π4)=2，所以x 2+y 2−2x −2y −2=0---5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x +y =1．化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1，即ρsin (θ+π4)= 22． ---10分【解析】略 23．（1）π6.; （2）5 3333.【解析】试题分析：（1）设A C ，B D 交于点O ，以O 为坐标原点，D A ，A B 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O −x y z ，将异面直线所成的角转化为直线的方向向量所的角；（2）将二面角用面的法向量所成的角表示. 试题解析：（1）设A C ，B D 交于点O ，在正四棱锥P −A B C D 中，O P ⊥平面A B C D . 又P A =A B =2，所以O P = 2. 以O 为坐标原点，D A ，A B 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O −x y z ，如图：则A (1,−1,0)，B (1,1,0)，C (−1,1,0)，D (−1,−1,0)，P (0,0, 2).故O M =O A +A M =O A +23A P =(13,−13,2 23)，O N =13O B =(13,13,0)，所以M N =(0,23,−2 23)，P C =(−1,1,− 2)，cos <M N ,P C >=M N ⋅P C|M N | |P C |= 32，所以M N 与P C 所成角的大小为π6.（2）P C =(−1,1,− 2)，C B =(2,0,0) ，N C =(−43,23,0).设m =(x ,y ,z )是平面P C B 的一个法向量，则m ⋅P C =0,m ⋅C B =0，可得{−x +y − 2z =0,x =0,令x =0，y = 2，z =1，即m =(0, 2,1)，设n =(x 1,y 1,z 1)是平面P C N 的一个法向量，则n ⋅P C =0，n ⋅CN =0，可得{−x 1+y 1− 2z 1=0,−2x 1+y 1=0, 令x 1=2，y 1=4，z 1= 2，即n =(2,4, 2)，cos <m ,n >=m ⋅n|m ||n |= 2 3×22=5 3333，则二面角N −P C −B 的余弦值为5 3333.点睛：本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；建立适当的空间直角坐标系，异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要通过异面直线所成的角的范围为(0,π2]来确定，两个半平面所成的角与面的法向量之间也是相等或互补，主要是通过图形来确定范围. 24．（1）当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当n 为偶数时，易得sinn π2=0，当n 为奇数，即n =2k −1时，分为k =2m和k =2m −1两种情形分别讨论；（2）利用数学归纳法证明. 试题解析：（1）因为a n =sinn π2tan n θ.当n 为偶数时，设n =2k ，a n =a 2k =sin 2k π2tan 2k θ=sin k π⋅tan 2k θ=0，a n =0.当n 为奇数时，设n =2k −1，a n =a 2k −1=sin(2k −1)π2tan n θ=sin (k π−π2)⋅tan n θ.当k =2m 时，a n =a 2k −1=sin (2m π−π2)⋅tan n θ=sin (−π2)⋅tan n θ=−tan n θ，此时n −12=2m −1 ，a n =a 2k −1=−tan n θ=(−1)2m −1tan n θ=(−1)n −12tan n θ.当k =2m −1时，a n =a 2k −1=sin (2m π−3π2)⋅tan n θ=sin (−3π2)⋅tan n θ=tan n θ，此时n −12=2m −2， a n =a 2k −1=tan n θ=(−1)2m −2tan n θ=(−1)n −12tan n θ.综上，当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ.（2）当n =1时，由（1）得： S 2=a 1+a 2=tan θ，12sin 2θ[1+(−1)n +1tan 2n θ]=12sin 2θ(1+tan 2θ)=sin θ⋅cos θ⋅1cos 2θ=tan θ.故n =1时，命题成立假设n =k 时命题成立，即S 2k =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ].当n =k +1时，由（1）得：S 2(k +1)=S 2k +a 2k +1+a 2k +2=S 2k +a 2k +1 =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ]+(−1)k tan 2k +1θ =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ+(−1)k ⋅2sin 2θtan 2k +1θ]=1 2sin2θ⋅[1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ(−1tanθ+2sin2θtanθ)]=12sin2θ⋅[1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ(−cos2θsin+1sin)]=12sin2θ⋅(1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ)即当n=k+1时命题成立.综上所述，对正整数n命题成立.点睛：本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；解决该题最关键是理解三角函数诱导公式中的“奇变偶不变，符号看象限”以及数学归纳法在解决关于自然数n的等式中应用的基本步骤.。

苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研数学试题(一)含解析

江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（一）数学试题一、填空题1. 已知集合，，∁________．【答案】【解析】由，得：，则，故答案为.2. 若复数满足（为虚数单位），则______________．【答案】【解析】由，得，则，故答案为.3. 函数的定义域为______________．【答案】【解析】要使函数有意义需满足，解得，故答案为.4. 下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______________．【答案】【解析】由题意列出如下循环过程：；；；不满足循环条件，输出的值，故答案为.5. 某高级中学共有名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取个容量为的样本，其中高一年级抽人，高三年级抽人．则该校高二年级学生人数为_________．【答案】300【解析】由题意得高二年级应抽取人，则高二年级学生人数为，故答案为.点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，根据高一年级抽人，高三年级抽人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有名学生，算出高二年级学生人数.6. 已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为____________．【答案】【解析】正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为，底面对角线长为，所以棱锥的高为，所以棱锥的体积为，故答案为.7. 从集合中任取两个不同的数，则这两个数的和为的倍数的概率为_______．【答案】【解析】从中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有，两种情况，所以根据古典概型公式得，故答案为.8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为______________．【答案】2【解析】抛物线的焦点坐标为，则在双曲线中，，则离心率为，故答案为.9. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为______________．【答案】2【解析】设等比数列的公比为，首项是，当时，有、、，不满足成等差数列；当时，因为成等差数列，所以，化简得，解得或（舍去），则，得，则，故答案为2.点睛：本题考查等比数列的前项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论；设等比数列的公比为、首项是，根据公比与1的关系进行分类，由等比数列的前项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简可得和的值，故可求得.10. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为______________．【答案】11. 在△中，已知，若点满足，且，则实数的值为______________．【答案】或【解析】中，，点满足，∴，∴，又，整理得，解得或，故答案为或.12. 已知，则______________．【答案】【解析】由，得，即整理得：，即，而，故，故答案为.13. 若函数，则函数的零点个数为______________．【答案】4【解析】当时，，根据指数函数的性质可知，该函数单调递减且，故由两个解；当时，，，故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；，故，故由两个解，综上可得函数的零点个数为4，故答案为.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力；利用分段函数，对，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当时，利用导数判断函数的单调性，利用数形结合思想求解函数的零点个数即可.14. 若正数满足，则的最小值为______________．【答案】1【解析】由正数满足，可得，则，，又，其中，即，当且仅当时取得等号，设，的导数为，当时，，递增，时，，递减．即有在处取得极小值，也为最小值，此时，则．当且仅当，时，取得最小值1，故答案为1.点睛：本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题；由题意可得，，又，求出，当且仅当时取得等号，设，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.二、解答题15. 在△中，分别为角的对边．若，且．（1）求边的长；（2）求角的大小．【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）由，利用余弦定理化为：，，相加即可得出；（2）运用正弦定理结合题意可得：，将其代入中可解出，结合的范围可得结果.试题解析：（1）（法一）在△中，由余弦定理，，则，得；①，则，得，②①+②得：，.（法二）因为在△中，，则，由得：，，代入上式得：.（2）由正弦定理得，又，解得，，.16. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是棱上一点，且∥平面．（1）求证：是中点；（2）若，求证：．【答案】（1）见解析;(2)见解析.17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）．设计要求彩门的面积为（单位：），高为（单位：）（为常数）．彩门的下底固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为．（1）请将表示成关于的函数；（2）问当为何值最小，并求最小值．【答案】（1）l表示成关于的函数为 ()；（2）当时，l有最小值为.【解析】试题分析：（1）求出上底，即可将表示成关于的函数；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当为何值时最小，并求最小值.试题解析：（1）过作于点，则（），，设，则，，，因为S=，则；则 ()；（2），令，得.所以，.答：（1）l表示成关于的函数为 ()；（2）当时，l有最小值为.18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为.（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）直线AP，AQ的斜率之和为定值1.【解析】试题分析：（1）由题意可知，，离心率，求得，则，即可求得椭圆的方程；（2）则直线的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线，的斜率，即可证明直线，的率之和为定值.试题解析：（1）由题所以，.所以椭圆C的方程为（2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意；当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，代入得，设，，则：，，，所以，，又=1.所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.19. 已知函数（为正实数，且为常数）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导即，因在上单调递增，则，利用分离参数思想得恒成立，即即可；（2）分为和两种情形，当时，结合（1）很容易得到结论，当时，运用二次求导确定其单调性得解.试题解析：（1），.因在上单调递增，则，恒成立.令，则，因此，，即.（2）当时，由（1）知，当时，单调递增.又，当，；当时，.故不等式恒成立．若，，设，令，则.当时，，单调递减，则，则，所以当时，单调递减，则当时，，此时，矛盾.因此，.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.20. 已知为正整数，数列满足，，设数列满足. （1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.【答案】（1）见解析;（2）;（3）当N*，对任意的N*，均存在N*，使. 【解析】试题分析：（1）将经过移项、两边同时除以可得，故可得结论为等比数列；（2）由（1）得，代入得，由数列是等差数列易知，代入可解得，，将其进行检验得结果；（3）由（2）得，利用等差数列前项和公式代入，解出，经讨论当时符合题意，当时不符合题意.试题解析：（1）由题意得，因为数列各项均正，得，所以，因此，所以是以为首项公比为2的等比数列.（2）由（1）得，，，如果数列是等差数列，则，得：，即，则，解得，.当时，，，数列是等差数列，符合题意；当=12时，，，，，数列不是等差数列，=12不符合题意；综上，如果数列是等差数列，.（3）由（2）得，对任意的N*，均存在N*，使，则，所以.当，N*，此时，对任意的N*，符合题意；当，N*，当时，. 不合题意.综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使. 21. 已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成.（1）求矩阵；（2）求矩阵的另一个特征值.【答案】(1)M=.（2）矩阵M的另一个特征值为.【解析】试题分析：（1）先设矩阵M=，由二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量及矩阵对应的变换将点换成，得到关于的方程组，即可求得矩阵；（2）由（1）知，矩阵的特征多项式为，从而求得另一个特征值为2.试题解析：设M=，M，M，解得即M=.（2）则令特征多项式，解得.矩阵M的另一个特征值为.22. 已知圆和圆的极坐标方程分别为.（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【答案】（1）圆的直角坐标方程为，①圆的直角坐标方程为，②（2）该直线的极坐标方程为.【解析】略23. 如图，已知正四棱锥中，，点分别在上，且.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）.; （2）.【解析】试题分析：（1）设，交于点，以为坐标原点，，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，将异面直线所成的角转化为直线的方向向量所的角；（2）将二面角用面的法向量所成的角表示.试题解析：（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面. 又，所以. 以为坐标原点，，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，故，，所以，，，所以与所成角的大小为.（2），，.设是平面的一个法向量，则,，可得令，，，即，设是平面的一个法向量，则，，可得令，，，即，，则二面角的余弦值为.点睛：本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；建立适当的空间直角坐标系，异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要通过异面直线所成的角的范围为来确定，两个半平面所成的角与面的法向量之间也是相等或互补，主要是通过图形来确定范围. 24. 设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，；（2）求证：对任何正整数，.【答案】（1）当n为偶数时，；当n为奇数时，;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）当为偶数时，易得，当为奇数，即时，分为和两种情形分别讨论；（2）利用数学归纳法证明.试题解析：（1）因为.当n为偶数时，设，，.当n为奇数时，设，.当时，，此时，. 当时，，此时，.综上，当n为偶数时，；当n为奇数时，.（2）当时，由（1）得：，=.故时，命题成立假设时命题成立，即.当时，由（1）得：====即当时命题成立.综上所述，对正整数命题成立.点睛：本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；解决该题最关键是理解三角函数诱导公式中的“奇变偶不变，符号看象限”以及数学归纳法在解决关于自然数的等式中应用的基本步骤.。

江苏省苏锡常镇四市高三数学3月教学情况调研试题(一)

2015—2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学I 2016.3一、填空题；本大题共14小矗，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x|x<3．x ∈R}，B={x|x>l ，x ∈R ），则A B = ．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足43z i i+=，则复数z 的模为． 3．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频致和频率分别为40，0.125．则n 的值为．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知方程2242x y m m--+=1 表示双曲线，则实数m 的取值范围为．5．为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是．6．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 .7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的中点，则四棱锥P - AA 1C 1C 的体积为．8．设数列{an}是首项为l ，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则数列{a n }的公差为。

9．在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f(x)= 24x x+ (x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅= .10,若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线，与圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线，的距离为12．已知函数f(x)= 224,04,log (2),46x x x x x ⎧-+≤<⎨-≤≤⎩若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，f(x 1)=f(x 2)．则x 1f(x 2)的取值范围是。

江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研数学试题【范本模板】

江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二)数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位),则z 的虚部为．2．设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =,则实数a = ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为． 4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示,则这五人成绩的方差为．5．下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，,则输出值S 的取值范围是．6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之,自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计）,则油恰好落入孔中的概率是．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值,则ϕ= ．S ←2x −x 2S ←1输出S 结束开始输入xx ＜1Y N 7 88 2 4 4 9 28．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d = ．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ,满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是．12．如图,扇形AOB 的圆心角为90°,半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点,作点P 关于弦AB 的对称点Q ,则OP OQ ⋅的取值范围为．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==,则()()()af a bf b cf c ++的最大值是．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为．二、填空题（每题4分,满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1)若PB PD =，求证：PC BD ⊥；ABCDP E（2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，,设△ABC 的面积为S ，且22243()S a c b =+-。

2017苏锡常镇高三数学一模试卷答案

2017苏锡常镇高三数学一模试卷答案D23456m）（,S h为常数）．彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数()l fα=；（2）问当α为何值l最小，并求最小值．18、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A.7（1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D-作直线PQ交椭圆于两个不同点,P Q，求证：直线,AP AQ的斜率之和为定值.19、已知函数()(1)ln=+-+（a为正实数，且为f x x x ax a常数）.（1）若函数()f x在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若不等式(1)()0-≥恒成立，求实数a的取值x f x89范围.20、已知n 为正整数，数列{}na 满足0n a >，2214(1)0n n n a na ++-=，设数列{}nb 满足 2n n n a b t =.（1）求证：数列n n ⎨⎩为等比数列；（2）若数列{}nb 是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为nS ，对10 任意的N n *∈，均存在N m *∈，使得 24211816n m a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学 Ⅱ 试题2017.31、已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-.（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值.2、已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为22,22cos()24πρρρθ=--=.（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.3、如图，已知正四棱锥P ABCD -中， 2PA AB ==，点,M N 分别在,PA BD 上，且13PM BN PA BD ==.（1）求异面直线MN 与PC 所成角的大小；（2）求二面角N PC B --的余弦值.4、设2πθ<，n 为正整数，数列{}na 的通项公式sintan 2n n n a πθ=，其前n 项和为nS .（1）求证：当n 为偶数时，0na=；当n 为奇数时，12(1)tan n n n a θ-=-；（2）求证：对任何正整数n ，1221sin 2[1(1)tan ]2n n nS θθ+=⋅+-.2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案2017.3一、填空题． 1．{}6,7 2103．()3,1 1.4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．245．300 6．437．138．29．2 10．1y x =- 11．1或14- 12．23413．4 14．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）（法一）在△ABC 中，由余弦定理，cos 3a B =，则22232a c b a ac+-=，得2226a c b c+-=；① ……2分cos 1b A =，则22212b c abbc+-=，得2222b c a c+-=，② ……4分①+②得：228c c=，4c =.……7分（法二）因为在△ABC 中，πA B C ++=，则sin cos sin cos sin()sin(π)=sin A B B A A B C C+=+=-，……2分由sin sin sin a b c A B C ==得：sin sin a C A c =，sin sin b C B c =，代入上式得： ……4分cos cos 314c a B b A =+=+=.……7分（2）由正弦定理得cos sin cos tan 3cos sin cos tan a B A B Ab A B A B===，……10分又2tan tan 2tan 3tan()1tan tan 13tan A B B A B A B B --===++，……12分解得3tan B =，π)(0,B ∈，π6B =. (14)分16．（1）连接1BC ，因为OE ∥平面11BCC B ，OE ⊂平面1ABC ，平面11BCC B 平面11ABC BC =，所以OE ∥1BC . ……4分因为侧面11AA C C 是菱形，11ACAC O =，所以O 是1AC中点， ……5分所以11AE AOEB OC==，E 是AB 中点. ……7分（2）因为侧面11AA C C 是菱形，所以1AC 1A C ⊥， ……9分又11AC A B ⊥，111ACA B A =，11,AC A B ⊂面1A BC ，所以1AC ⊥面1A BC，…12分因为BC ⊂平面1A BC ，所以1AC BC ⊥14 D A 117．解：（1）过D 作DH BC ⊥于点H ，则DCB α∠=（π02α<<）， DH h=，设AD x =，则sin h DC α=，tan h CH α=，2tan hBC x α=+， ……3分因为S=12()2tan hx x h α++⋅，则 tan S hx h α=-；……5分则21()2()sin tan S l f DC AD h h ααα==+=+-(π02α<<)； ……7分（2）2222cos 112cos ()()sin sin sin f h h αααααα---'=⋅-=⋅， ……8分令212cos ()0sin -'=⋅=f h ααα，得π3=α. ……9分α π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ π3 ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭()f α' － 0＋()f α减极小值增所以，min π()33Sl f h h=+.……12分答：（1）l 表示成关于α的函数为21()()sin tan S l f h h ααα==+- (π02α<<)；（2）当π3α=时，l 有最小值为3Sh h+. ……14分18．解：（1）由题1c =，22c e a ==所以2a =，1b =. ……2分所以椭圆C的方程为22 1.2x y += (4)分……11分（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意；……5分当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为2(2)y k x +=，……6分代入2222x y +=，得2222(12)2()4820k x k k x k k +-++++=， ……8分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则：4(81)0k ∆=-+>，18k <-，21,242()k k x +±∆=，……9分所以212242()12k k x x k ++=+，212248212k k x x k ++⋅=+，……11分又121212122)22)22222AP AQ k k x x x x +=+=----2212221212242()242()412222()248242()221212k k x x k k k x x x x k k k k k k +-+-+=-=--+++++-+++=1.所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1. ……16分19．解：（1）()(1)ln f x x x ax a=+-+，1()ln +x f x x a x+'=-. ……1分因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()0f x '≥，1ln +1ax x+恒成立.令1()ln +1g x x x=+，则21()x g x x -'=，……2分x(0,1)1(1,)+∞()g x ' － 0＋ ()g x减极小值增因此，min()(1)2g x g ==，即02a <. ……6分（2）当02a <时，由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增. ……7分又(1)0f =，当(0,1)x ∈，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. ……9分……４分故不等式(1)()0x f x -恒成立． ……10分若2a >，ln (1)1()x x a x f x x +-+'=，设()ln (1)1p x x x a x =+-+，令()ln 20p x x a '=+-=，则2e 1a x -=>. …12分当2(1,e )a x -∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，则()(1)20p x p a <=-<，则()()0p x f x x '=<，所以当2(1,e )a x -∈时，()f x 单调递减， ……14分则当2(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，此时(1)()0x f x -<，矛盾. ……15分因此，02a <.……16分20．解：（1）由题意得2214(1)nn n a na ++=，因为数列{}na 各项均正，得22141n n a a n n+=+21n n=+ ……2分112n n n n++=，所以n 是以1a 为首项公比为2的等比数列.……4分（2）由（1）得112n na n-=⋅，12n naa n-=，22114n n n n na a nb t t -==，……5分如果数列{}nb 是等差数列，则2132b b b =+，……6分得：2212023111123244423a a a t t t --⋅⋅=+，即2316148t t t=+，则216480t t -+=，解得14t =，212t=. (7)分当14t =时，214n a nb =，2221111(1)444n n a n a n a b b ++-=-=，数列{}nb 是等差数列，符合题意； ……8分当2t =12时，2143n na nb =⋅，2222111241244242211434343162a a a b b a +=+==⋅⋅⋅，2132133428231b a a ==⋅⋅，2432b b b +≠，数列{}nb 不是等差数列，2t =12不符合题意； (9)分综上，如果数列{}nb 是等差数列，4t =.……10分（3）由（2）得214na nb =，对任意的n ∈N*，均存在m ∈N*，使24211816n maS a n b -=，则4242111(1)816424a n n a m a n +⋅-=，所以214na m =. ……12分当12a k =，k ∈N*，此时2244k n m k n ==，对任意的n ∈N*，符合题意； ……14分当121a k =-，k ∈N*，当1n =时，22441144kk m k k -+==++. 不合题意. …15分综上，当12,a k k =∈N*，对任意的n ∈N*，均存在m ∈N*，使24211816n ma S a nb -=.……16分（第Ⅱ卷理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分.A ．（选修4－1 几何证明选讲）. A BC DO（第21—A 题图）E解：连结OC ，由于l 是圆的切线，故OC l ⊥，因为AD l ⊥，所以AD ∥OC ， ……2分因为AB 是圆O 的直径，6AB =，3BC =，所以60∠=∠=︒ABC BCO , 则DAC∠=906030ACO ∠=︒-︒=︒.……4分23cos3033AC =⋅︒=，33sin30DC AC =︒=，9cos302DA AC =︒=. ……7分由切割线定理知，2DCDA DE=⋅， (9)分所以32DE =，则3AE =.……10分B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，M11811a b c d +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，M 122242a b c d ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……3分882224a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，，，，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，即M =6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……5分（2）则令特征多项式62()(6)(4)8044f λλλλλ--==---=--， ……8分解得1282λλ==，.矩阵M 的另一个特征值为2. ……10分 C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：（1）圆1O 的直角坐标方程为224xy +=，① ……3分由2π22cos()24ρρθ--=，得22(cos sin )2-+=ρρθθ，……4分222()2x y x y +-+=，故圆2O 的直角坐标方程为222220x y x y +---=，② ……6分（2）②-①得经过两圆交点的直线为10x y +-=， ……8分该直线的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. ……10分 D ．（选修4—5：不等式选讲）解：因为：()2313131(111)(313131)a b c a b c ++++++++++++, ……7分由于3a b c ++=，故3131316a b c +++++，当且仅当1a b c ===时, 313131a b c +++++取到最大值6. ……10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.22．解：（1）设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P ABCD-中，OP ⊥平面ABCD . 又2PA AB ==，所以2OP =. 以O为坐标原点，DA ，AB 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图： ……1分则(1,1,0)A -，(1,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,1,0)D --，(0,0,2).P故21122(,,)3333OM OA AM OA AP =+=+=-，z111(,,0)333ON OB ==， ……3分所以222(0,,)33MN =-，(1,1,2)PC =--， 3cos ,2MN PC MN PC MN PC⋅<>==所以MN 与PC 所成角的大小为π6. ……5分（2）(1,1,2)PC =--，(2,0,0)CB = ，42(,,0)33NC =-. 设(,,)x y z =m 是平面PCB 的一个法向量，则0PC ⋅=m ,0CB ⋅=m ，可得20,0,x y z x ⎧-+-=⎨=⎩ 令x =，2y =，1z =，即2,1)=m ， ……7分设111(,,)x y z =n 是平面PCN 的一个法向量，则PC ⋅=n ，0CN ⋅=n ，可得1111120,20,x y zx y ⎧-+-=⎨-+=⎩令12x=，14y=，12z=，即2)=n ， …9分52533cos ,33322⋅<>===⨯m nm n m n，则二面角N PC B --的余弦值为53333.……10分23．证明：（1）因为πsintan 2nnn aθ=.当n 为偶数时，设2n k=，2222πsintan sin πtan 02kkn k k a a k θθ===⋅=，0na =.…1分当n为奇数时，设21n k =-，21(21)ππsin tan sin(π)tan 22nnn k k a a k θθ--===-⋅. 当2k m=时，21ππsin(2π)tan sin()tan tan 22nnnn k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=-，此时1212n m -=- ，121221tan (1)tan (1)tan n nm nn n k a a θθθ---==-=-=-.……2分当21k m =-时，213π3πsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=，此时1222n m -=-，122221tan (1)tan (1)tan n nm nn n k a a θθθ---===-=-.综上，当n 为偶数时，0na =；当n 为奇数时，12(1)tan n n naθ-=-. ……3分（2）当1n =时，由（1）得：212tan S a a θ=+=，121sin21(1)tan 2n n θθ+⎡⎤+-⎣⎦=()2211sin 21tan sin cos tan 2cos θθθθθθ+=⋅⋅=. 故1n =时，命题成立……5分假设n k=时命题成立，即1221sin21(1)tan 2k k k S θθ+⎡⎤=⋅+-⎣⎦.当1n k =+时，由（1）得：2(1)22122221k kk k kk S S a a S a ++++=++=+=12211sin21(1)tan (1)tan 2k k k k θθθ++⎡⎤⋅+-+-⎣⎦ ……6分=122112sin 21(1)tan (1)tan 2sin 2k k k k θθθθ++⎡⎤⋅+-+-⋅⎢⎥⎣⎦=2222112sin 21(1)tan ()2tan sin 2tan k k θθθθθ++⎡⎤⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦2222221cos 1sin 21(1)tan ()2sin sin k k θθθθθ++⎡⎤=⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦=()2221sin21(1)tan 2k k θθ++⋅+-⋅即当1n k =+时命题成立. ……9分综上所述，对正整数n 命题成立. ……10分。

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2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试卷 2017.3
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合{}{}
21,2,3,4,5,6,7,|650,U M x x x x Z ==-+≤∈，则U C M = .
2. 若复数z 满足2i z i i ++=
，其中i 是虚数单位，则z = . 3.函数()()
1ln 43f x x =-的定义域为 . 4.右图中给出的一种算法，则该算法输出的结果是 .
5．某高级中学共有500名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为 .
6.已知正四棱锥的底面边长为23，则该四棱锥的体积为 .
7.从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为 .
8.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线2
8y x =分焦点恰好是双曲线()22
2103x y a a -=>的右焦点，则双曲线的离心率为 .
9.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，且254a a +=，则8a 的值为 .
10.在平面直角坐标系xoy 中，过点()1,0M 的直线l 与圆22
5x y +=交于,A B 两点，其中A 点在第一象限内，且2BM MA =，则直线l 的方程为 .
11.在ABC ∆中，已知1,2,60,AB AC A ==∠=若点P 满足AP AB AC λ=+，且1BP CP ⋅=，则实数λ的值值为 .
12.已知sin 3sin 6παα⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，则tan 12πα⎛
⎫
+= ⎪⎝⎭ .
13.若函数()2
11,12ln ,1x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则函数()18y f x =-的零点个数为 . 14.若正数,x y 满足1522x y -=，则3322
x y x y +--的最小值为 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.（本题满分14分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若cos 3,cos 1a B b A ==，且6A B π-=
.
（1）求边c 的长；
（2）求角B 的大小.
16.（本题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且//OE 平面11BCC B .
（1）求证：E 是AB 的中点；
（2）若11AC A B ⊥，求证: 1AC CB ⊥.
某单位举办庆典活动，要在广场上树立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图）.设计要求彩门的面积为S （单位：2m ），高为h （单位：m ）（S ，h 为常数）.彩门的下底BC 固定在广场的底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为.l
（1）请将l 表示成关于α的函数()l f α=；
（2）问当α为何值时，l 最小，并求出最小值.
在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点2,2D -作直线PQ 交椭圆于不同的两点P,Q,求证:AP,AQ 的斜率之和为定值.
已知函数()()1ln f x x x ax a =+-+（a 为常数，且为正实数）.
（1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围；
（2）若不等式()()10x f x -≥恒成立，求a 的取值范围.
已知n 为正整数，数列{}n a 满足()22
10,410.n n n a n a na +>+-=设数列{}n b 满足22n n a b t
=. （1）求证：数列
为等比数列；（2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；
（3）若数列{}n b 为等差数列，前n 项和为n S ，对任意的n N *∈，均存在m N *∈，使得24211816n n a S a n b ==成立，求满足条件的所有整数1a 的值.
2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅱ试卷 2017.3
21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选座2题，每题10分，共计20分.
A.选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，BC=3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD,AD 分别与直线l ,圆O 交于点D,E.求DAC ∠的大小和线段AE 的长.
B.选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点()1,2-变换为()2,4.-
（1）求矩阵M;
（2）求矩阵M 的另一个特征值.
C.选修4-3：坐标系与参数方程
已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为22,22cos 2.4πρρρθ⎛⎫==-
= ⎪⎝⎭
（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
D. 选修4-4：不等式选讲
设,,a b c 为正数，且3a b c ++=313131a b c +++.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.（本题满分10分）
如图，已知正四棱锥P ABCD -中，2,PA AB ==点,M N 分别在,PA AD 上，且13
PM BN PA BD ==. （1）求异面直线MN 与PC 所成角的大小；
（2）求二面角N PC B --的余弦值.
23.（本小题满分10分）设2π
θ<,n 是正整数，数列{}n a 的通项公式sin tan 2
n n n a πθ=，其前n 项和为.n S （1）求证：当n 为偶数时，0n a ，当n 为奇数是，()
1
21tan n n n a θ-=-；（2）求证：对任何正整数n ，()1221sin 211tan 2
n n n S θθ-⎡⎤=
+-⎣⎦.。