2019~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)含答案

2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1. 已知i 为虚数单位，复数11z i
=+，则z = 2. 已知集合{}{}
01,13A x x B x a x =≤≤=-≤≤，若A B ⋂中有且只有一个元素，则实数a 的值为
3. 已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4，则该组数据的方差是
4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
21(0)4
x y a a -=>的一条渐近线 方程为23
y x =，则a = 5. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
12，乙获胜的概率是13， 则乙不输的概率是
6. 右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为
7. “直线1:10l ax y ++=与直线2:430l x ay ++=平行”是“2a =”
的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）
8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，
95495S S -=-，则n a = 9. 已知点M 是曲线22ln 3y x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方
程为
10. 已知3cos 24sin(),(,)44ππ
αααπ=-∈，则sin 2α= 11. 如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，.2,1==BC AB 分别
以D A ,为圆心，1为半径作圆弧EB ,EC ，将两圆弧EB ,EC 及边
BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成
的几何体的体积为
12.在ABC ∆中，()(1)AB AC BC λλ-⊥>u u u r u u u r u u u r ,若角A 的最大值为6
π，则实数λ的值是 13. 若函数()(01)x
f x a a a =>≠且在定义域[,]m n 上的值域是
22[,](1)m n m n <<，则a 的取值范围是
14. 如图，在ABC ∆中，4,AB D =是AB 的中点，E 在边AC
上，2,AE EC CD =与BE 交于点O ，若2,OB OC =
则ABC ∆面积的最大值为
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，且满足cos 3sin 0b A a B =
（1）求A ；
（2）已知23,3
a B π==
，求ABC ∆的面积.
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，,BD BC PCD ⊥∆为正三角形，
平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点.
（1）证明：AP ∥平面EBD ；
（2）证明：BE PC ⊥.
某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道21l l 和通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），21l l 和所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线3l 平行于观光道且与2l 相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于3l ，且交3l 于M ），在堤岸线3l 上的F E ,两处建造建筑物，其中F E ,到M 的距离为1（百米），且F 恰在B 的正对岸（即3l BF ⊥）.
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；
（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角（EPF ∠）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标.
如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为，2
1且经过点B A ,231，，⎪⎭
⎫ ⎝⎛分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于E D ,两点（其中x D 在轴上方）. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若BDF AEF ∆∆与的面积比为1:7，求直线l 的方程.
已知函数)(3
2)(223R m x m mx x x f ∈+-=的导函数).(x f ' （1）若函数)()()(x f x f x g '-=存在极值，求m 的取值范围；
（2）设函数)(ln )()(x f e f x h x
'+'=（其中e 为自然对数的底数），对任意R m ∈，若关于x 的不等式22()0h x m k ≥++∞在（，）上恒成立，求正整数k 的取值集合.
已知数列{}{},,n n b a 数列{}n c 满足*,,n n n a n c n N b n ⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数，为偶数，
. （1）若,2,n n n b n a ==求数列{}n c 的前n 2项和n T 2；
（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n n c c N n >∈+1*,恒成立.
①当数列{}n b 为等差数列，求证：数列{}{}n n b a ,的公差相等；
②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由.
2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅱ（附加题）
.A 选修2-4；矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=1132,1231B A ，且二阶矩阵M 满足B AM =，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量。

.B 选修4-4；坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎪⎩
⎪⎨⎧∂+=∂+=2cos 323cos 22y x （∂为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=。

（1）求曲线C 的普通方程；
（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标。

C .选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知正数,,x y z 满足x y z t ++=（t 为常数），且22249x y z ++的最小值为87
，求实数t 的值。

某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。

抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1,2,5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5,3,1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.
（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
已知抛物线py x C 4:2=（p 为大于2的质数）的焦点为，F 过点F 且斜率为)0(≠k k 的直线交B A C ,于两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点E ，抛物线C 在点B A ,处的切线相交于点.G 记四边形AEBG 的面积为S .
（1）求点G 的轨迹方程；
（2）当点G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S 的值；若不是，请说明理由.。