重庆市南开中学高三数学9月月考试题 理(含解析)

重庆南开中学高2015级高三9月月考
数学试题（理科）
【试卷综析】注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。

解答题中，梯度明显，考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法，在关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。

总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励. 第1卷（选择题共50分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
【题文】1．已知集合}6,5,4,3,2,1{=U ，集合A={2,3}，集合B={3,5}，则
)(B C A U ⋂=( )
A. {2,3,5}
B. {1,4,6) c.
{}2 D.{5)
【知识点】交、并、补集的混合运算.A1
【答案解析】C 解析：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，∴CUB={1，2，4，6}，∴A∩（∁UB ）={2},所以C 正确.
【思路点拨】集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，故CUB={1，2，4，6}，由此能求出A∩（∁UB ）．
【题文】2．在复平面内，复数
i i
Z +=
1 (其中i 是虚数单位）对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义.L4
【答案解析】A 解析：解：∵复数 ===，
∴复数对应的点的坐标是（ ，）
∴复数 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选A ．
【思路点拨】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限
【题文】3．函数
2)
1lg()(22++--=
x x x x f 的定义域为( )
A.),1()2,(+∞⋃--∞
B. (-2,1)
C.),2()1,(+∞⋃--∞
D. (1,2) 【知识点】函数的定义域及其求法.B1
【答案解析】D 解析：解：由题意得：，
解得：1＜x ＜2， 故选：D ．
【思路点拨】根据导数的性质，二次根式的性质得不等式，解出即可．
【题文】4．函数
6
1
13)(-+-
=x x f x 的零点所在区间是( )
A.(O,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
【知识点】函数零点的判定定理B9
【答案解析】B 解析：解：∵f （0）=1﹣1﹣6＜0，f （1）=﹣＜0，f （2）=9﹣6﹣+1=4
﹣
＞0，
∴函数f （x ）的零点在区间（1，2）能， 故选：B ．
【思路点拨】分别求出f （0），f （1），f （2）的值，得出f （1）＜0，f （2）＞0，从而得出答案B
【题文】5．若函数
)10(log ≠>=a a x y a 且的图象如右图所示，
则下列函数图象正确的是( )
【知识点】函数的图象.B1
【答案解析】 B 解析：解:由题意可知图象过（3，1）， 故有1=loga3，解得a=3，
选项A ，y=a ﹣x=3﹣x=（）x 单调递减，故错误； 选项B ，y=x3，由幂函数的知识可知正确；
选项C ，y=（﹣x ）3=﹣x3，其图象应与B 关于x 轴对称，故错误； 选项D ，y=loga （﹣x ）=log3（﹣x ），当x=﹣3时，y=1， 但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误． 故选：B ．
【思路点拨】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可 【题文】6．下列叙述正确的是( )
A ．命题：R x ∈∃，使02sin 3
<++x x 的否定为：R x ∈∀，均有02sin 3
<++x x ．
B ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则02
≠x
C ．己知N n ∈，则幂函数7
3-=n x y 为偶函数，且在),0(+∞∈x 上单调递减的充分必要条
件为
n = 1
D ．函数
x m
x y -+=3log 2
图像关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m = ±1
【知识点】命题的真假判断与应用. A2
【答案解析】C 解析：解：解：A ：命题：∃x ∈R ，使x3+sinx+2＜0的否定为：∀x ∈R ，均有x3+sinx+2≥0，故A 错误；
B ：命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠0，故B 错误；
C ：因为幂函数y=x3n ﹣7在x ∈（0，+∞）上单调递减，
所以3n ﹣7＜0，解得n ＜，又n ∈N ，
所以，n=0，1或2；又y=x3n ﹣7为偶函数，
所以，n=1，即幂函数y=x3n ﹣7为偶函数，且在x ∈（0，+∞）上单调递减的充分必要条件为n=1，C 正确；
D ：令y=f （x ）=log2，由其图象关于点（1，0）中心，得f （x ）+f （2﹣x ）=0，
即log2+log2=log2=0，
=1，
整理得：m2+2m ﹣3=0，解得m=1或m=﹣3，
当m=﹣3时，=﹣1＜0，y=log2不存在，故m=﹣3舍去，
故m=1．
所以，函数y=log2图象关于点（1，0）中心对称的充分必要条件为m=1，D 错误；
故选：C ．
【思路点拨】A ：写出命题：∃x ∈R ，使x3+sinx+2＜0的否定，判断即可； B ：写出命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题，判断即可； C ：依题意，可求得n=1，从而可判断其正误；
D ：令y=f （x ）=log2，由其图象关于点（1，0）中心，得f （x ）+f （2﹣x ）=0，解得
m=1，从而可判断其正误．
【题文】7．函数
⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=-0
,0,)(22x x e x x e x f x
x ，若)1(2)()(f a f a f ≤+-，则实数a 取值
范围是( )
A ．),1[]1,(+∞⋃--∞
B ．[-1,0]
C ．[0,1] D.[-1,1] 【知识点】分段函数的应用B1
【答案解析】D 解析：解：函数f （x ）=，
当a=0时，f （﹣a ）+f （a ）≤2f（1）即为2f （0）≤2f（1），即1≤e+1成立；
当a ＞0时，﹣a ＜0，f （﹣a ）+f （a ）≤2f（1）即为2ea+2a≤2（e+1）， 令y=g （x ）=2ex+x ，y′=2ex+1＞0，则y=2ex+x 在R 上递增． 由g （a ）≤g（1）可得a≤1①
当a ＜0时，﹣a ＞0，f （﹣a ）+f （a ）≤2f（1）即为2e ﹣a ﹣2a≤2（e+1）， 由y=g （x ）=2ex+x 在R 上递增，又g （﹣a ）≤g（1），即有﹣a≤1，即a≥﹣1② 由①②得实数a 取值范围是[﹣1，1] 故选D
【思路点拨】讨论a=0，a ＞0，a ＜0，化简不等式，构造函数y=g （x ）=2ex+x ，运用导数判断单调性，再由单调性解不等式，最后求并集
【题文】8．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义
⎩⎨
⎧<-≥-=-)()(),()()
()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A .
若}2,1{=A ，2{|23|}B x x x a =+-=，且|A-B|=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，
那么C(S)等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【知识点】子集与交集、并集运算的转换A1
【答案解析】A 解析：解：解：由|x2+2x ﹣3|=a 得：x2+2x ﹣3±a=0，a≥0；
对于x2+2x ﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a ）＞0，∴方程x2+2x ﹣3±a=0至少有两个实数根，即集合B 至少含2个元素；
∵|A ﹣B|=1，∴B 含3个元素；
∴方程x2+2x ﹣3+a=0有二重根，∴△=4﹣4（﹣3+a ）=0，∴a=4； ∴S={4}，∴C （S ）=1． 故选A ．
【思路点拨】先根据已知条件可判断出B 含3个元素，所以方程|x2+2x ﹣3|=a 有三个实根，进一步判断出方程x2+2x ﹣3+a=0有两个二重根，所以根据△=0即可求得a 的值，从而求出集合S ，这样便可判断出集合S 所含元素的个数
【题文】9．己知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足：①)()2(x f x f =-；②
)2()2(-=+x f x f ；
③当
]3,1[
2
,1
∈
x
x
时，2
1
2
1
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f
-
-
，则f(2014)、f(2015)、 f(2016)满足( )
A. f(2014)> f(2015)> f(2016)
B. f(2016)> f(2015)> f(2014)
C. f(2016)= f(2014)> f(2015)
D. f(2016)= f(2014)< f(2015)
【知识点】抽象函数及其应用B1
【答案解析】C 解析：解：解：因为f（2﹣x）=f（x），所以该函数的对称轴为x=，由f（x+2）=f（x﹣2），令t=x﹣2，代入原式得f（t+4）=f（t），所以该函数周期为4，
因为当x1，x2∈[1，3]时，＞0，所以该函数在[1，3]上是减函数．则f（2014）=f（4×503+2）=f（2），f（2015）=f（4×503+3）=f（3），f（2016）=f（4×504）=f（0）=f（2﹣0）=f（2）．
所以f（2014）=f（2016）=f（2）＞f（3）=f（2015），
故选：C．
【思路点拨】①给出了函数的对称轴；②给出了周期；③确定了单调性，据此可以将给的函数值进行转化，最终变成[1，3]内的函数值再进行比较
【题文】10．设函数f(x)对于所有的正实数x均有f(3x)=3f(x)，且
)3
1(|2
|
1
)
(≤
≤
-
-
=x
x
x
f，
则使得f(x)= f(2014)的最小的正实数x的值为( )
A． 173 B．416 C．556 D． 589
【知识点】抽象函数及其应用B1
【答案解析】B 解析：解：解：因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），
所以f（x）=3f（），
所以f（2014）=3f（）=32f（）=…=，
当n=6时，，
所以f（2014）==37﹣2014=173，
同理f（x）=3nf（）==，（n∈N*）
当时，x=3n+1﹣173，n=6时，找的第一个符合前面条件的x=556
；当
时，x=3n+173，当n=5时找到最小的x=416符合前面条件．
综上，当x=416时满足题意．
故选B
【思路点拨】实际上，此题类似于“周期函数”，只是这个“周期”是每次三倍增大变化的，要求其解析式，只需将x化归到[1，3]上即可．而与f（2014）相等的也不止一个，为此我们只需找到相应的那个区间即可求出来
第II卷（非选择题，共100分）
二. 填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题
卡相应位置上．
【题文】11．
2
1
3
2
4
24
1
27
9
log
6
log
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
-
= ．
【知识点】对数的运算性质B7
【答案解析】-6 解析：解：
=（log26﹣log23）﹣9+2
=1﹣9+2
=﹣6．
故答案为：﹣6．
【思路点拨】利用对数和指数的性质和运算法则求解
【题文】12．定义在R上的函数
)
(x
f满足
,2
)1(
),
,
(
2
)
(
)
(
)
(=
∈
+
+
=
+f
R
y
x
xy
y
f
x
f
y
x
f，
则
)3
(-
f=__ __．
【知识点】抽象函数及其应用B1
【答案解析】 6解析：解：由题意可知：
f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1=f（0）+f（1），∴f（0）=0．
f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1=f（﹣1）+f（1）﹣2，∴f（﹣1）=0．f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1=f（﹣2）+f（1）﹣4，∴f（﹣2）=2．f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1=f（﹣3）+f（1）﹣6，
∴f（﹣3）=6．故答案为：6．
【思路点拨】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的
特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．
【题文】13．已知函数⎪⎩⎪⎨
⎧≥-<≤--=)2()2()20()1(1)(2
x x f x x x f ，若关于x 的方程
)0()(>=k kx x f 有且只有
四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是__ __．
【知识点】函数的零点与方程根的关系B9
【答案解析】（，） 解析：解：令g （x ）=kx （k ＞0）， 则方程f （x ）=kx （k ＞0）有且只有四个不相等的实数根可转化为 函数f （x
）与g （x ）有且只有四个交点；
作出函数f （x ）= 的图象如下图，
当与第二半圆相切时，有3个交点，此时，k==，
当与第三半圆相切时，有5个交点，此时，k==，
则实数k 的取值范围为（
，
）．
故答案为：（，）．
【思路点拨】令g （x ）=kx （k ＞0），将方程的解的个数化为函数交点的个数，作出函数f
（x）=的图象，从图象中得到实数k的取值范围
考生注意：14、15、1.6为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．【题文】14.如图，AB是半圆O的直径，∠BAC =30°，BC为半圆的切线，
且BC= 43，则点O到AC的距离OD= __．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定N1
【答案解析】3 解析：解：过O做AC的垂线，垂足是D，
∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，
在△ABC与△ADO中，∴∠ADO=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADO，∴；
在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8 ，AB==12，∴OA=6=BO，
∴OD=．
故答案为：3
【思路点拨】首先过O作AC的垂线段OD，再利用两个角对应相等得到三角形相似，利用三角形相似的性质得到比例式，根据直角三角形中特殊角的三角函数，求出O到AC的距离
【题文】15．已知直线l的参数方程是
)
(
2
1
1
为参数
t
t
y
t
x
⎩
⎨
⎧
-
=
+
=
，曲线C的极坐标方程是
ρ=2，若直线l
与曲线C相交于A，B两点，则|AB|= __．
【知识点】参数方程化成普通方程N3
【答案解析】解析：解：由直线的参数方程得
2x+y﹣3=0．
由曲线C的极坐标方程是ρ=2，
得x2+y2=4，半径r=2，
∴圆心（0，0）到直线的距离d=，
∴|AB|=
故答案为：
【思路点拨】首先，将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，根据圆中的弦长公式进行求解
【
题
文
】
16
．
已
知
集
合
}
9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，
)}
,0(,61
4{+∞∈-+=∈=t t t x R x B ，则集合 B A ⋂= __．
【知识点】交集及其运算A1
【答案解析】{x|﹣2≤x≤5} 解析：解：解：集合A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}； 集合
，
当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}
所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5} 故答案为：{x|﹣2≤x≤5}
【思路点拨】求出集合A ，求出集合B ，然后利用集合的运算法则求出A∩B
三.解答题：本大题6个小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】17.（本题满分13分）
已知集合R U =，集合}
2||{<-=a x x A ，不等式
)
1(2log )2(log 2
122
1-<--x x x 的解 集为B ，若
B C A u ⊆，求实数a 的取值范围．
【知识点】集合的包含关系判断及应用；补集及其运算A1
【答案解析】 1a ≤解析：解：解：由|x ﹣a|＜2可得，a ﹣2＜x ＜a+2，即A={x|a ﹣2＜x ＜a+2}，
由（x2﹣x ﹣2）＜2（x ﹣1）可得0＜2x ﹣2＜x2﹣x ﹣2解不等式可得，x ＞3，
即 B={x|x ＞3}∴CuB={x|x≤3}∵A ⊆CuB ∴a+2≤3∴a≤1．
【思路点拨】由已知可得，A={x|a ﹣2＜x ＜a+2}，B={x|x ＞3}，进而可求得，CuB={x|x≤3}，由A ⊆CuB 可得a+2≤3，可求实数a 的取值范围
【题文】18.(本题满分13分，(1)小问4分，(2)小问9分） 已知集合}
045{2≤+-=x x x A ，集合
}
092{2≤+-=k x x x B .
(1)求集合A
(2)若A B ⊆，求实数k 的取值范围.
【知识点】集合的包含关系判断及应用A1 【答案解析】 [7，+∞）解析：解：解：（1）∵x2﹣5x+4≤0，∴1≤x≤4，∴A=[1，4]； （2）当B=∅时，△=81﹣8k ＜0，求得k ＞．
∴当B≠∅时，有2x2﹣9x+k=0的两根均在[1，4]内，
设f （x ）=2x2﹣9x+k ，则
解得7≤k≤．
综上，k 的范围为[7，+∞）．
【思路点拨】(1)解不等式，可得集合A ；（2）若B ⊆A ，分类讨论，求实数k 的取值范围． 【题文】19.（本题满分13分）
已知命题p:关于x 的方程022
=--mx x 在]1,0[∈x 有解；
命题)
,1[)21
2(log )(:22+∞∈+-=x mx x x f q 在单调递增；
若p ⌝为真命题，q p ∨是真命题，求实数m 的取值范围． 【知识点】复合命题的真假A2
【答案解析】m ∈（﹣1，） 解析：解：解：由命题p ：关于x 的方程x2﹣mx ﹣2=0在x ∈
[0，1]有解；
可设函数f （x ）=x2﹣mx ﹣2，∴f （1）≥0，解得 m≤﹣1，
由命题q 得x2﹣2mx+＞0，在区间[1，+∞）上恒成立，且函数y=x2﹣2mx+＞0，在区间[1，+∞）上单调递增，根据x2﹣2mx+＞0，在区间[1，+∞）上恒成立，得m ＜， 由函数y=x2﹣2mx+＞0，在区间[1，+∞）上单调递增，得m≤1，∴由命题q 得：m ＜， ∵¬p 为真命题，p ∨q 是真命题，得到p 假q 真，∴m ∈（﹣1，）．
∴实数m 的取值范围（﹣1，）
【思路点拨】首先，判断命题p 为真命题时，实数m 的取值范围，然后，再判断命题q 为真命题时，实数m 的取值范围．最后，结合条件：¬p 为真命题，p ∨q 是真命题，得到p 假q 真，最后，得到实数m 的取值范围．
【题文】20.(本题满分12分， (1)小问4分，(2)小问8分）
已知定义]1,1[-∈x 在偶函数)(x f 满足：当]1,0[∈x 时，x x x f -+=22)(， 函数)0(25)(>-+=a a ax x g ,
(1)求函数]1,1[)(-∈x x f 在上的解析式：
(2)若对于任意]1,1[,21-∈x x ，都有)()(12x f x g >成立，求实数a 的取值范围．
【知识点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法B1
【答案解析】(1) （2）203a <<
解析：解：（1）设x ∈[﹣1，0]，则﹣x ∈[0，1]，结合函数f （x ）是[﹣1，1]上的偶函数，
所以f （x ）=f （﹣x ）=﹣x+，所以．
（2）因为对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，都有g （x2）＞f （x1）成立，则只需g （x ）min≥f （x ）max ，
又因为y=f （x ），x ∈[﹣1，1]是偶函数，所以f （x ）的值域就是f （x ）在[0，1]值域． 而当x ∈[0，1]时，f （x ）=x+2，令t=，
原函数化为y=﹣t2+2t+2=﹣（t ﹣1）2+3，t ∈[1，
]，显然t=1时f （x ）max=3， 又因为g （x ）min=﹣3a+5，则由题意得，
解得
0即为所求．
【思路点拨】1）可设x ∈[﹣1，0]，则﹣x ∈[0，1]，可得到f （﹣x ），然后利用奇偶性得到f （x ），再合并成分段函数的形式给出结果；
（2）结合图象分析：只需g （x ）min≥f（x ）max ，然后再分别求出两函数相应的最值即可
【题文】21.(本题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分）
已知关于x 的方程0122=--tx x 的两不等实根为)(,2121x x x x <，函数
1)(2+-=x t
x x f 的
定义域为],[21x x ．
(1)求)()(21x f x f ⋅的值；
(2)设)(max x f 表示函数)(x f 的最大值，)(min x f 表示函数)(x f 的最小值，记函数 )(min )(max )(x f x f t g -=，求函数]2,1()2(log )(log )(12∈⋅=t g t g t h 在的值域．
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的最值及其几何意义．B1,B3
【答案解析】(1)1
4-(2) h （t ）的值域为[2，+∞） 解析：解：（1）由韦达定理得：x1x2=﹣1，x1+x2=2t ，
则f （x1）f （x2）==．
（2），由于x1，x2为方程x2﹣2tx ﹣1=0的两实根，
故当x ∈[x1，x2]时，x2﹣2tx ﹣1≤0恒成立，得f′（x ）≥0在[x1，x2]上恒成立， 所以f （x ）在[x1，x2]上递增，所以由题意知g （t ）=f （x2）﹣f （x1）=， 结合（1），将1=﹣x1x2，t=代入上式化简得g （t ）==．
在h （t ）中，令u=log2t ，则u ∈（0，1]，则函数化为y=，化简得，u ∈（0，1]，根据对勾函数的性质，该函数在（0，1]上递减，
所以函数h （t ）的值域为[2，+∞）．
【思路点拨】1）结合韦达定理得到两根之和、两根之积，然后整体代入f （x1）f （x2）即可；
（2）先将t 看成参数，求出f （x ）的最值（用t 表示），以此得到g （t ）=maxf （x ）﹣minf （x ），再利用换元法研究将函数h （t ）进行转化，研究转化后的函数的单调性求其值域．
【题文】22．(本题满分12分，(1)小问5介，(2)小问7分）
己知集合A={l,2,3,…,2n},*)(N n ∈，对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整 数m ，使得对于S 中的任意一对元素21,s s ，都有m s s ≠-||21，则称S 具有性质P 。

(1)当n=10时，试判断集合}9|{>∈=x A x B 和*},13|{N k k x A x C ∈-=∈=是否一定具有性质P ?并说明理由。

(2)当n=2014时
①若集合S 具有性质P ，那么集合}|4029{S x x T ∈-=是否一定具有性质P ?说明理由， ②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值．
【知识点】子集与交集、并集运算的转换；元素与集合关系的判断.A1
【答案解析】 (1)略(2)2685解析：解：（1）当n=10时，A={1，2，3，…，19，20}，B={x ∈A|x ＞9}={10，11，12，…，19，20}；
∵对于任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素b1=10，b2=10+m ，使得|b1﹣b2|=m 成立；∴集合B 不具有性质P ；集合C={x ∈A|x=3k ﹣1，k ∈N*}具有性质P ；
∵可取m=1＜10，对于集合C 中任意一对元*11221231,31,,c k c k k k N =-=-∈；
都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1；即集合C 具有性质P ；
（2）当n=2014时，A={1，2，3，…，4027，4028}；①若集合S 具有性质P ，则集合T={4029﹣x|x ∈S}一定具有性质P ：任取t=4029﹣
0x ∈T ，0x ∈S ；∵S ⊆A ，∴0x ∈{1，2，3，…，4028}；
∴1≤4029﹣0x ≤4028，即t ∈A ，∴T ⊆A ；由S 具有性质P 知，存在不大于2014的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；对于上述正整数m ，从集合T 中任取一对元素t1=4029﹣x1，t2=4029﹣x2，x1，x2∈S ，都有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|≠m；∴集合T 具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①知，若集合S 具有性质P ，那么集合T={4029﹣x|x ∈S}一定具有性质P ；任给x ∈S ，1≤x≤4028，则x 与4029﹣x 中必有一个不超过2014； ∴集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一个元素不超过2014；
不妨设S 中有t （t ）个元素b1，b2，…，bt 不超过2014；
由集合S 具有性质P 知，存在正整数m≤2014，使得S 中任意两个元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；
∴一定有b1+m ，b2+m ，…，bt+m ∉S ；
又bt+m≤2014+2014=4028，故b1+m ，b2+m ，…，bt+m ∈A ；
即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中，∴，所以，解得k≤2685；当S={1，2，…，1342，1343，2687，…，4027，4028}时：
取m=1343，则易知对集合S 中任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠1343；即集合S 具有性质P ，而此时集合S 中有2685个元素；∴集合S 元素个数的最大值是2685
【思路点拨】（1）对于任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中的两个元素b1=10，b2=10+m ，使|b1﹣b2|=m ，这便得出集合B 不具有性质P ，根据性质P 的定义可判断集合C 具有性质P ；
（2）容易判断出集合T ⊆A ，因为S 具有性质P ，所以存在不大于2014的正整数m ，使得S 中任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，这样便可得到，对于集合T 中任意一对元素t1=4029﹣x1，t2=4029﹣x2，使得|t1﹣t2|≠m，所以集合C 具有性质P ，要求集合S 元素个数的最大值，只需把含最多元素的集合S 找出来即可。