福建省“四地六校”高三数学上学期第一次联考(理)

“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考
2009-2010学年上学期第一次月考
高三理科数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

）
1、集合M={}
2
|1,y y x x R =-∈,集合N={}
|x y x R =∈，则M ⋂N=( )
A. {}|03t t ≤≤
B. {}|13t t -≤≤
C. {}
( D. ∅ 2、已知1cos(
),sin()424
π
π
αα+=--=则（ ）
A. 12-
B. 12
C. 2-
D. 2
3、已知()f x 是偶函数，且
6
6
6
()8,()f x dx f x dx -==⎰
⎰则（ ）
A. 0
B. 4
C. 8
D.16 4、已知函数(),(),()log (01)x a a f x a g x x h x x a a ===≠且>，在同一直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图像，其中正确的是（ ）
A B C D 5、将函数3log y x =的图像按向量a 平移后，得到函数32
log 27
x y +=的图像，则向量a =（ ）
A. ()2,3
B. ()2,3- D. ()2,3-- D. ()2,3- 6、下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（ ）
3.()()()ln ()sin x A f x e f x x f x x f x x ==== B. C. D.
7、若函数()f x 同时满足下列三个性质：① 最小正周期为π；② 图像关于直线3
x π
=
对称；
③ 在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数。

则()y f x =的解析式可以是（ ） sin(2sin(cos(2cos(262663
x A y x y y x y x π
πππ
=-
=+=-=+ ) B ) C ) D )8、若函数21
21
x x y -=+的值域为M ，则以M 为定义域的函数可以是（ ）
1.lg
1x A y y y y x -====+ B.9、已知函数(
)()()s i n 13c o s 1,(1)(2)(2009)
33f x x x f f f π
π⎡⎤⎡⎤
=+
++++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
则（ ）
10A D
10、设定义域为R 的函数()f x 满足下列条件：① 对任意,()()0x R f x f x ∈+-=；② 对任意[]122121,1,,()()x x a x x f x f x ∈当时，都有>>>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）
11513()(0)()()()()()
211a a a
A f a f f f f f a f f a a a
+----++ B C D >>>>
第Ⅱ卷 ( 非选择题 共100 分)
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在题中的横线上）
11、若函数()f x ax b =+有一个零点是1，则2
()g x bx ax =-的零点是 ；
12、已知2
211
tan 2,sin cos 2
3
ααα=+
=则 ； 13
、已知函数()(1)(0)cos 0
x f x f f x x '==≤⎪⎩， 则 ，>0
； 14、若函数[]2
log ()23a y x ax =-在区间，上是增函数，
则实数a 的取值范围是 ； 15、已知函数32
()f x x bx cx d =+++（,,b c d 为常数），当(,1)
(5,)m ∈-∞+∞时，方程
()0f x m -=有且只有一个实数解；(1,5)m ∈时，方程()f x m =有三个不同的实数解。

现
给出下列命题：
① 函数()f x 有两个极值点；
② 方程()5()0f x f x '==和有一个相同的实根；
③方程()40f x +=的任一实根都小于方程()40f x -=的任一实根； ④ 函数()f x 的最大值是5，最小值是1。

其中正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16（本小题满分13分）设全集I=R 已知集合M={}
2
|(3)0x x +≤, N=2
61|2()2
x x x -⎧⎫=⎨⎬⎩
⎭
（1）求()M N ⋂I ð；
（2）记集合A=()M N ⋂I ð,已知B={}|15,x a x a a R -≤≤-∈，若B A A ⋃=。

求实数a 的取值范围。

17（本小题满分13分）在,4
5
ABC B AC C π
∠=
==
中，。

（1）求边BC 的长；
（2）若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度。

18（本小题满分13分）已知21
(log )22
x f x x -+=+。

（1）求()f x 的表达式；
（2）求当[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值。

19（本小题满分13分）已知函数2()1cos 2cos f x x x x =-++。

（1）求()f x 的单调递减区间；
（2）求()f x 图像上与原点最近的对称中心的坐标；
（3）若角,αβ的终边不共线，且()()f f αβ=，求tan()αβ+的值。

20（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =⋅。

（1）求曲线()y f x =在点(),e e 处的切线方程；
（2）若k 是正常数，设()()()g x f x f k x =+-，求()g x 的最小值；
（3）若关于x 的不等式2ln (4)ln(4)ln(6)x x x x m m +--≥-对一切()0,4x ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

21（本小题满分14分）已知函数2()4(0,,)f x ax x b a a b R =++∈且<。

设关于x 的不等式
()0f x >的解集为12,),x x （且方程()f x x =的两实根为,αβ。

（1）若1αβ-=，求,a b 的关系式；
（2）若,a b 都是负整数，且1αβ-=，求()f x 的解析式； （3）若αβ<1<<2，求证：12(1)(1)7x x ++<。

“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考
2009-2010学年上学期第一次月考 高三理科数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
11、 0或 -1 12、 7/15 13、 1/2 14、 (1,2) 15、 ①②③
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
{}{}{}
{}{}{}
{}{}2
262|(3)031|22|603,23|3()25()2x x M x x x x x x M x x R x M N M N A B A B A
-=+≤=--------------==+-=----∴=∈≠∴⋂=------------------⋂=⋃=∴⊆16、解（1）分 N ==分
且 分 （2）A=
I I I ððð{}{}{}26153912
231252
|313B B a a
a a a a a a a ∴=∅-------------------=∅--∴-------------------------=⎧---------⎨
-=⎩≥---- 或B=分 当时， 分 当B=时， 解得 分 综上所述，所求的取值范围为分
>>=
[
]171cos sin 23sin sin ()sin()cos )54sin 7sin 1
sin 21
sin 2C C A B C C C C A B
C B
D AB B ππ=
==-------------=-+-=+=---=-------------------=∴==、解（）由得 分 =分AC
由正弦定理得：BC=
分AC （2）AB=
1113------------=------------- 由余弦定理得：分 分
2111181log (),222121()()422222121)211
2()9222(21)221()t t x t x x x x x x
x t t R x f t f x f x f x R +++=∈=-----------------+-+∴==-----------++-+-++===-+--------+++∴、解（）令得分 即分
（ （）分 在上为减函数---------------[]1
1,1()(1)136
x f x f ∈--=-------------------- 11分
当时，的最大值为分
19()2cos 22sin(2)36
31222()2622()
63
2()()663sin(f x x x x k x k k Z k x k k Z f x k k k Z π
πππ
ππππ
ππππππ=+=+------------+≤+≤+∈+≤≤+∈⎡
⎤∴++∈------⎢⎥⎣⎦、解：分
（）由 得--------------4分
的单调减区间为，分
（2）由2)02()766()8212
()012
x x k k Z k x k Z f x ππ
πππ
π
+=+=∈-----------=-∈----------------------∴- 得 分
即分
图像上与原点最近的对称中心坐标是（，）----9分
()()2sin(2)2sin(2)
66
222()1266()
3
tan()13f f k k Z k k Z ππ
αβαβαβππ
αβπππ
αβπαβ=+=+∴+++=+∈-----------+=+
∈∴+=---------------------- (3)由得： 又角与不共线，
（）（）分 即 分
201()ln 11()ln 122ln ()ln()0)f x x f e e y e x e y e x x x k x k x k '=+---------------------------'∴=+=-------------------------∴+-------、解（）分
分 所求的切线方程为：-=2(-)即2x--=0---------------4分 (2)g()=的定义域为（，[]5()ln 1ln()1ln 6(),()8ln x
g x x k x k x
k k
g x x k g x x k k
x k k k
x k ----'∴=+--+=---------------''-------------∴∴⋅-------------分
分
由得得0分
函数g()在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增。

g()的最小值为g()=>0<<<0<<22
2222
[)(]22
210(3)ln (4)ln(4)()(4)2(0,4)ln (4)ln(4)ln ln ln(6)ln16
62,06,8616x x x x f x f x x x x x x m m m m m m m -----+--=+-∈+---≤⎧-⎪∈-⋃-------⎨-≤⎪⎩分
由（）知：
当时,的最小值为：42=16--11分 由已知得 即 解得>0
14-------分
22211()30
3||1
493(2)
11444f x x ax x b b a a
a a
b a b a b a ab a b αβαβαβαβ=++=+=-=--==+=------------------------≤-≤-------------------∴++≤、解（）由得 由已知得，， 消去、得：分 、都是负整数，即且分
也是负整数，且2225549(4)9
1,4971,2
()428(3)()3,a ab a a b a a b a b f x x x g x ax x b --------------------+=+=∴=-+=-----------------------------∴=-=-∴=-+----------------------------=++分 由得： 分 分 令21212121210,39060,404,10(1)(1)7a a b a b x x ax x b b
x x x x a a
x x x αβ++⎧⎧---------------------⎨⎨++⎩⎩
++=∴+=-⋅=------------------------∴++=又 即分
又是方程的两根
分
<<1<<2
g(
1)>0g(1)=>0g(2)<g(2)=4<-21212124
()6611107
(1)(2)
6433130,0(1)(1)70
(1)(1)b x x x a a
g g a b a a
a x x x x ⋅++-=-------------+-==---------∴++++分
分
即成立。

------------------------g(1)>0,g(2)<<-<<7---------14分。