学案5：2.2.2 事件的相互独立性

2.2.2事件的相互独立性
【学习要求】
1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．
2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
【重点难点】
1．相互独立事件的概念．(重点)
2．用相互独立事件同时发生的概率公式求概率．(难点)
3．互斥、对立、相互独立之间的区别．(易混点)
自学导引
1．相互独立的概念
(1)相互独立的定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．
(2)相互独立事件
事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率，这样的两个事件叫做相互独立事件．
想一想：如果A、B相互独立，则有P(AB)＝P(A)P(B)吗？
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．
试一试：甲、乙两人射击同一目标，甲、乙击中目标的概率分别为0.6,0.3，两人各射击一次，试求目标被击中的概率．
名师点睛
1．相互独立事件的理解
相互独立的两个事件实质上是一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响，也就是若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)且P(A|B)＝P(A)，因而有P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝P(A)P(B)．
2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别
对于事件A、B，在一次试验中，A、B如果不能同时发生，则称A、B互斥．一次试验中，A、B两个事件互斥且A、B中必然有一个发生，则称A、B对立，显然A＋A为一个必然事件．A、B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生，如掷一枚骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B，而掷出的点数可能为5，则A、B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
3．公式P(AB)＝P(A)P(B)的推广
公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝
P(A1)·P(A2)…P(A n).
题型一相互独立事件的判断
【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．
[规律方法]对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
【变式1】判断下列各题中给出的各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲盒中有6个白球，4个黑球，乙盒中有3个白球，5个黑球．事件A1表示“从甲盒
中取出的是白球”，事件B 1表示“从乙盒中取出的是白球”．
(2)盒中有4个白球，3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A 2表示事件“第一次取出的是白球”，把取出的球放回盒中，用B 2表示事件“第二次取出的是白球”．
(3)盒中有4个白球，3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A 3表示“第一次取出的是白球”，取出的球不放回，用B 3表示“第二次取出的是白球”．
题型二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
[规律方法] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A 、B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．
【变式2】 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14
.求 (1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能破译的概率．
题型三相互独立事件概率的综合应用
【例3】某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
[规律方法] 求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算．
【变式3】某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是
0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件正品的概率．
方法技巧 正难则反思想在概率计算中的应用
正难则反的思想方法在求解概率问题中应用广泛，尤其在解概率问题的综合题中，出现“至少”或“至多”等事件的概率求解问题，如果从正面考虑问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁杂，而且容易出错，但如果考虑“至少”或“至多”事件的对立事件往往会很简单，其概率很容易求出，此时可逆向分析问题，先求出其对立事件的概率，再利用概率的和或积的互补公式求出原来事件的概率．
【示例】 已知A ，B ，C 三个相互独立事件，若事件A 发生的概率为12
，事件B 发生的概率为13，事件C 发生的概率为14
，求下列事件发生的概率： (1)事件A ，B ，C 都发生的概率：
(2)事件A ，B ，C 都不发生的概率；
(3)事件A ，B ，C 不都发生的概率；
(4)事件A ，B ，C 至少有一个发生的概率；
(5)事件A ，B ，C 恰有一个发生的概率；
(6)事件A ，B ，C 恰有两个发生的概率；
(7)事件A ，B ，C 至多有两个发生的概率．
[思路分析] 问题中给出的7问，关键是要弄清“发生”还是“不发生”，发生几个，还要明确事件之间的关系，是彼此互斥，还是相互独立，合理运用概率的加法公式和乘法公式求解．
解 (1)记事件A 1为“事件A ，B ，C 都发生”，因为A ，B ，C 是三个相互独立事件，
所以P (A 1)＝P (A )P (B )P (C )＝12×13×14＝124
. (2)记事件A 2为“事件A ，B ，C 都不发生”，因为A ，B ，C 是三个相互独立事件，故A ，B ，C 也相互独立
所以P (A 2)＝P (A )P (B )P (C )＝12×23×34＝14
. (3)记事件A 3为“事件A ，B ，C 不都发生”，则A 3＝A 1，
从而P (A 3)＝1－P (A 3)＝1－P (A 1)＝1－124＝2324
. (4)记事件A 4为“事件A ，B ，C 至少有一个发生”，
则A 4＝A 2，
从而P (A 4)＝1－P (A 4)＝1－P (A 2)＝1－14＝34
. (5)记事件A 5为“事件A ，B ，C 恰有一个发生”则有三种情况：
第一种，事件A 发生，事件B ，C 不发生，即A ·B ·C ；
第二种，事件B 发生，事件A ，C 不发生，即A ·B ·C ；
第三种，事件C 发生，事件A ，B 不发生，即A ·B ·C ；
而这三种情况不可能同时发生，即A ·B ·C ，A ·B ·C ， A ·B ·C 彼此互斥，
所以P (A 5)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝14＋18＋112＝1124
. (6)记事件A 6为“事件A ，B ，C 恰有两个发生”则有三种情况：
第一种，事件A ，B 发生，事件C 不发生，即A ·B ·C ；
第二种，事件A ，C 发生，事件B 不发生，即A ·B ·C ；
第三种，事件B ，C 发生，事件A 不发生，即A ·B ·C ；
而这三种情况不可能同时发生，即A ·B ·C ，A ·B ·C ， A ·B ·C 彼此互斥，
所以P (A 6)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝18＋112＋124＝14
. (7)法一 记事件A 7为“事件A ，B ，C 至多有两个发生”，则有三种情况：
第一种，事件A ，B ，C 都不发生，即A 2，
第二种，事件A ，B ，C 恰有一个发生，即A 5
第三种，事件A ，B ，C 恰有两个发生，即A 6
所以P (A 7)＝P (A 2)＋P (A 5)＋P (A 6)＝14＋1124＋14＝2324
. 法二 记事件A 7为“事件A ，B ，C 至多有两个发生”，则A 7＝“事件A ，B ，C 都发生”，
即A 7＝A 1，P (A 7)＝1－P (A 7)＝1－P (A 1)＝1－124＝2324
. 方法点评 (1)解决这类问题时，一般都是将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用加法公式和乘法公式求解，当然在运用乘法公式时一定要注意事件是否满足彼此相互独立．
(2)遇到“至少”，“至多”等事件的概率问题时，如果从正面考虑，求解过程比较繁琐，我们一般采用逆向思想来分析问题，先求出其对立事件的概率，然后求解，会简化思考过程.
当堂检测
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )
A ．互斥事件
B ．相互独立事件
C ．对立事件
D ．不相互独立事件
2．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13
，则事件A 与B 的关系是( ) A ．事件A 与B 互斥
B ．事件A 与B 对立
C ．事件A 与B 相互独立
D ．事件A 与B 既互斥又独立
3．已知P (A )＝0．3，P (B )＝0．5，当事件A ，B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B ) ＝________．
4．设两个相互独立的事件A ，B 都不发生的概率为19
，A 发生B 不发生的概率等于B 发生A 不发生的概率，则事件A 发生的概率P (A )＝________．
5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0．6,0．4,0．5,0．2．已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
参考答案
自学导引
1．(1) P (A )P (B ) (2) 没有影响
想一想：
提示 如果A 与B 相互独立，则有P (B |A )＝P (B )，又P (B |A )＝P (AB )P (A )
，从而P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (A )P (B )，即P (AB )＝P (A )P (B )是事件A 、B 相互独立的充要条件．
试一试：
提示 A ＝“甲射击一次，击中目标”；B ＝“乙射击一次，击中目标”．由题意可知，A 、B 相互独立，且P (A )＝0.6，P (B )＝0.3，∴P (A )＝0.4，P (B )＝0.7.
∴目标被击中的概率P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－0.4×0.7＝0.72.
【例1】[思路探索] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相互独立．
解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58
，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47
；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57
，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不 是相互独立事件．
(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有 影响，所以二者是相互独立事件．
【变式1】解 (1)事件A 1和B 1是否发生，相互之间没有影响，故事件A 1与事件B 1是相互独立事件．
(2)在有放回的取球中，事件A 2和B 2是否发生，相互之间没有任何影响，因而它们是相互独立事件．
(3)在不放回的取球中，事件A 3发生后，事件B 3发生的概率发生了改变，因此A 3与B 3不是相互独立事件．
【例2】[思路探索] 利用相互独立事件的概率公式求解．
解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A .“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件．
(1)2人都射中目标的概率为：P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事 件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B 发生)．根据题意，事件A B 与A B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )
＋[P (A B )＋P (A B )]＝0.72＋0.26＝0.98. (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，
故所求概率为：P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )
＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
【变式2】解 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A 、B 相互独立，从而A 与B 、A 与B 、A 与B 均相互独立．
(1)“两个都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112. (2)“两人都不能破译”为事件A B ，则
P (A B )＝P ()A ·P B ＝ [1－P (A )]·[1－P (B )] ＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝12. (3)“恰有一人能破译”为事件(A B )∪(A B )，
又A B 与A B 互斥，
则P ((A B )∪(A B ))＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )
＋P (A )·P (B )
＝13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－13×14＝512. (4)“至多一人能破译”为事件(A B )∪(A B )∪(A B )，且
A B 、A B 、A B 互斥，故
P ((A B )∪(A B )∪(A B )) ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )
＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )
＝13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－13×14＋⎝⎛⎭⎫1－13×⎝
⎛⎭⎫1－14＝1112. 【例3】审题指导 记基本事件―→表示所求事件―→求概率
[规范解答] 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A 、B 、C 两两相互独立且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85(2分)
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用：A B C 表示
P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )
＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)
＝0.003
所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(6分)
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A BC )∪(A B C )∪(AB C )表示．
由于事件A BC ，A B C 和AB C 两两互斥，
根据概念加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )
＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )
＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )·P (B )[1－P (C )]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)
＝0.329，
所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.(12分)
【变式3】解 用A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B 表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C ＝()A B ∪()A B ，D ＝C ∪()AB .
(1)由题意知，A 与B 是相互独立事件P (B )＝1－P (B )＝1－0.05＝0.95，P (A )＝0.96， 所以两件都是正品的概率为
P (AB )＝P (A )P (B )＝0.96×0.95
＝0.912.
(2)由于事件A B 与A B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为
P (C )＝P ()A B ∪()A B
＝P (A B )＋P (A B )
＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )
＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
(3)由于事件AB 与C 互斥，
所以P (D )＝P (AB )∪(C )
＝P (AB )＋P (C )
＝0.912＋0.086＝0.998.
当堂检测
1．【解析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与B 不是相互独立事件．故选D ．
【答案】D
2．【解析】因为P (A )＝23，所以P (A )＝13，又P (B )＝13，P (AB )＝19
，所以有P (AB )＝P (A )P (B )，所以事件A 与B 相互独立但不一定互斥．
【答案】C
3．【解析】∵A ，B 相互独立，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0．3＋0．5－0．3×0．5＝0．65． P (A |B )＝P (A )＝0．3．
【答案】0．65 0．3
4．【解析】P (A )＝P (B )＝23
． 【答案】23
5．解 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，
则P (A 1)＝0．6，P (A 2)＝0．4，P (A 3)＝0．5，P (A 4)＝0．2．
(1)法一：该选手被淘汰的概率：
P ＝P (A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)
＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋
P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝0．4＋0．6×0．6＋0．6×0．4×0．5＋0．6×0．4×0．5×0．8＝0．976．
法二：P ＝1－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－P (A 1)P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)＝1－0．6×0．4×0．5×0．2＝1－0．024＝0．976．
(2)法一：P ＝P (A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝0．6×0．6＋0．6×0．4×0．5＋0．6×0．4×0．5×0．8＝0．576．
法二：P ＝1－P (A 1)－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0．6)－0．6×0．4×0．5×0．2＝0．576．。