黑龙江省佳木斯一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年黑龙江省佳木斯一中高二（上）期末数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数2﹣3i的虚部为（）
A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i
2．命题“若α=，则tanα=1”的否命题是（）
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=
3．若抛物线x2=ay的焦点为F（0，2），则a的值为（）
A．B．4 C．D．8
4．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为（）
A．B．C．D．
5．设（i是虚数单位），则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．双曲线mx2﹣y2=1（m∈R）与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近
线方程为（）
A．B．C． D．y=±3x
7．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则
图中的m，n的比值=（）
A．1 B．3 C．D．
8．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i＞9 B．i＜9 C．i＞18 D．i＜18
9．曲线C的参数方程为（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T 极坐标方程2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最大值（）
A．B．C．D．
10．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由n=k 到n=k+1，（k＞2）时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了一项，又减少了一项
D．增加了两项，又减少了一项
11．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为a i（i=1，2，3，4），
此四边形内在一点P到第i条边的距离记为h i（i=1，2，3，4），若=k，
则h1+3h2+5h3+7h4=．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i=1，2，3，4），
若=K，H1+3H2+5H3+7H4=（）
A．B．C．D．
12．双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．B．1C．1D．2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．四进制的数32（4）化为10进制是．
14．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直
线方程是=﹣3.2x+，则a=．
15．任取x，y∈[0，3]，则x+y＞4的概率为．
16．已知圆O的有n条弦，且任意两条弦都彼此相交，任意三条弦不共点，这n 条弦将圆O分成了a n个区域，（例如：如图所示，圆O的一条弦将圆O分成了2（即a1=2）个区域，圆O的两条弦将圆O分成了4（即a2=4）个区域，圆O的3条弦将圆O分成了7（即a3=7）个区域），以此类推，那么a n+1与a n（n≥2）之间的递推式关系为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a＞0
，求证：
﹣
＞
﹣．
18．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲
线C：ρsin2θ=2cosθ，过点p（﹣3，﹣5
）的直线（t为参数）与曲
线C相交于点M，N两点．
（1）求曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程；
（2
）求的值．
19．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？
（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级
体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量
20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E是PA
的中点，且PA=PB=AB=4，．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣PBD的体积．
21．某初级中学有三个年级，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一
个总体，从中任选2名学生，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从初二年级女生中选出8人，测量它们的左眼视力，结果如下：1.2，1.5，1.2，1.5，1.5，1.3，1.0，1.2．把这8人的左眼视力看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的概率．22．过M（﹣1，0）做抛物线C：y2=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为A，B．若
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）N（t，0），（t≥1），过N任做一直线交抛物线C于P，Q两点，当t也变化时，求|PQ|的最小值．
2016-2017学年黑龙江省佳木斯一中高二（上）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数2﹣3i的虚部为（）
A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i
【考点】复数的基本概念．
【分析】利用虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数2﹣3i的虚部为﹣3．
故选：C．
2．命题“若α=，则tanα=1”的否命题是（）
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=
【考点】四种命题．
【分析】根据若p，则q的否命题是若￢p，则￢q，从而得到答案．
【解答】解：命题“若α=，则tanα=1”的否命题是“若α≠，则tanα≠1”，
故选：A．
3．若抛物线x2=ay的焦点为F（0，2），则a的值为（）
A．B．4 C．D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线x2=ay的焦点坐标为（0，2），可得=2，解出即可．
【解答】解：∵抛物线x2=ay的焦点坐标为（0，2），可知抛物线开口向上，
∴=2，
解得a=8．
故选：D．
4．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】设AC=x，根据圆的面积小于π，得到0＜x＜1，然后结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：设AC=x，
若以线段AC为半径的圆面积小于π，
则πx2＜π，则0＜x＜1，
则对应的概率P=，
故选：B．
5．设（i是虚数单位），则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由求出，然后代入化简计算求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：由，
得||=．
则，
∴在复平面内，对应的点的坐标为：（，1），位于第一象限．
故选：A．
6．双曲线mx2﹣y2=1（m∈R）与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C． D．y=±3x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由椭圆的方程可得椭圆的焦点坐标，将双曲线的方程变形为
标准方程﹣y2=1，结合其焦点坐标，可得+1=4，解可得m的值，即可得双曲线的方程，由渐近线方程计算可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，
其焦点在x轴上，且c==2，
则其焦点坐标为（±2，0），
对于双曲线mx2﹣y2=1，变形可得﹣y2=1，
若其焦点为（±2，0），则有+1=4，
解可得m=，
即双曲线的方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为y=±x；
故选：B．
7．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则
图中的m，n的比值=（）
A．1 B．3 C．D．
【考点】茎叶图．
【分析】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．
【解答】解：根据茎叶图，得；
乙的中位数是33，
∴甲的中位数也是33，即m=3；
甲的平均数是=（27+39+33）=33，
乙的平均数是
=（20+n +32+34+38）=33，
∴n=8，∴=， 故选：C ．
8．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入
的条件是（ ）
A ．i ＞9
B ．i ＜9
C ．i ＞18
D ．i ＜18
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S 的值，模拟循环过程可得条件． 【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： S=0，n=2，i=1
不满足条件，第一圈：S=0+，n=4，i=2，
不满足条件，第二圈：S=+，n=6，i=3，
不满足条件，第三圈：S=++，n=8，i=4， …
依此类推，
不满足条件，第8圈：S=++++…+，n=18，i=9，
不满足条件，第9圈：S=++++…+，n=20，i=10，
此时，应该满足条件，退出循环
其中判断框内应填入的条件是：i＞9．
故选：A．
9．曲线C的参数方程为（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T 极坐标方程2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最大值（）
A．B．C．D．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】先求出曲线C的普通方程，使用参数坐标求出点M到曲线T的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．
【解答】解：曲线T的普通方程是：x+2y﹣20=0．
点M到曲线T的距离为=，
∴sin（α+θ）=﹣1时，点M到T的距离的最大值为2+4，
故选B．
10．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由n=k 到n=k+1，（k＞2）时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了一项，又减少了一项
D．增加了两项，又减少了一项
【考点】数学归纳法．
【分析】利用数学归纳法的证明方法步骤及其原理即可得出．
【解答】解：用数学归纳法证明不等式“”时的过程
中，由n=k到n=k+1，（k＞2）时，不等式的左边增加了：两项，又
减少了一项．
故选：D．
11．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为a i（i=1，2，3，4），
此四边形内在一点P到第i条边的距离记为h i（i=1，2，3，4），若=k，
则h1+3h2+5h3+7h4=．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i=1，2，3，4），
若=K，H1+3H2+5H3+7H4=（）
A．B．C．D．
【考点】类比推理．
【分析】对三棱锥得体积可分割为4个已知底面积和高的小棱锥求体积，即可得出结论．
【解答】解：根据三棱锥的体积公式V=
得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V，
即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=3V，
∵=k，
∴H1+3H2+5H3+7H4=，
故选C．
12．双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）
A．B．1C．1D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a 的值，然后求出离心率．
【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，
又由已知得|AF2|=|F1F2|=2，而抛物线准线为x=﹣1，
根据抛物线的定义A点到准线的距离=|AF2|=2，
因此A点坐标为（1，2），由此可知是△AF1F2是以AF1为斜边的等腰直角三角形，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，
所以双曲线的离心率e=====+1．
故选B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．四进制的数32（4）化为10进制是14．
【考点】进位制．
【分析】利用累加权重法，即可将四进制数转化为十进制，从而得解．
=3×41+2×40=14，
【解答】解：由题意，32
（4）
故答案为：14．
14．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直
线方程是=﹣3.2x+，则a=40．
【考点】线性回归方程．
【分析】先计算平均数，再利用线性回归直线方程恒过样本中心点，即可得到结论．
【解答】解：由题意，=10，=8
∵线性回归直线方程是，
∴8=﹣3.2×10+a
∴a=40
故答案为：40
15．任取x，y∈[0，3]，则x+y＞4的概率为．
【考点】几何概型．
【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．
【解答】解：由题意可得，区域为边长为3的正方形，面积为9，
满足x+y＞4的区域的面积为=2，
由几何概型公式可得x+y＞4概率为，
故答案为：．
16．已知圆O的有n条弦，且任意两条弦都彼此相交，任意三条弦不共点，这n 条弦将圆O分成了a n个区域，（例如：如图所示，圆O的一条弦将圆O分成了2（即a1=2）个区域，圆O的两条弦将圆O分成了4（即a2=4）个区域，圆O的3条弦将圆O分成了7（即a3=7）个区域），以此类推，那么a n+1与a n（n≥2）之间
=a n+n+1
的递推式关系为：a n
+1
【考点】归纳推理．
【分析】根据题意，分析可得，n﹣1条弦可以将平面分为f（n﹣1）个区域，n条弦可以将平面分为f（n）个区域，
增加的这条弦即第n个圆与每条弦都相交，可以多分出n+1个区域，即可得答案．【解答】解：分析可得，n﹣1条弦可以将平面分为f（n﹣1）个区域，n条弦可以将平面分为f（n）个区域，
增加的这条弦即第n个圆与每条弦都相交，可以多分出n+1个区域，=a n+n+1，
即a n
+1
=a n+n+1
故答案为a n
+1
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知a＞0，求证：﹣＞﹣．
【考点】不等式的证明．
【分析】使用分析法两边平方寻找使不等式成立的条件，只需条件恒成立即可
【解答】证明：要证：﹣＞﹣，
只需证：，
只需证：，
即2a+9+2＞2a+9+2，
即证：＞，
只需证：（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3）
即证：20＞18，
∵上式显然成立，
∴原不等式成立．
18．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲
线C：ρsin2θ=2cosθ，过点p（﹣3，﹣5）的直线（t为参数）与曲
线C相交于点M，N两点．
（1）求曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程；
（2）求的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程；
（2）将直线l的参数方程为程代入曲线C的直角坐标方程为y2=2x，利用参数的几
何意义，即可求的值．
【解答】解：（1）由ρsin2θ=2cosθ，得ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴y2=2x．
即曲线C的直角坐标方程为y2=2x．
消去参数t，得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．
（2）将直线l的参数方程为程代入曲线C的直角坐标方程为y2=2x，
得．
由韦达定理，得，t1t2=62，
所以t1，t2同为正数，
则=．
19．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？
（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． 附：K 2=
，其中n=a +b +c +d 为样本容量
【考点】独立性检验；频率分布直方图．
【分析】（1）利用频率分布直方图直接完成2×2列联表，通过计算K 2=
，说明是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关．
（2）写出一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}，用A 表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A={（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}，事件A 由7个基本事件组成，利用古典概型求解即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，… 从而完成2×2列联表如下：
…
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
…
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．…
（2）由频率分布直方图知“超级体育迷”为5人，
从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}
其中a i表示男性，i=1，2，3，b j表示女性j=1，2．Ω由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}…
事件A由7个基本事件组成，因而．…
20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E是PA
的中点，且PA=PB=AB=4，．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣PBD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接EO，则PC∥EO，由此能证明PC∥平面EBD．
=V三棱锥P﹣ABD，能求出三棱锥A﹣PBD （Ⅱ）取AB中点H，连接PH，由V
三棱锥A﹣PBD
的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接EO，则O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴EO是△PAC的中位线，∴PC∥EO，
又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
解：（Ⅱ）取AB中点H，连接PH，
由PA=PB得PH⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PH⊥平面ABCD．
∵△PAB是边长为4的等边三角形，∴．
又∵=，
=V三棱锥P﹣ABD=．
∴V
三棱锥A﹣PBD
21．某初级中学有三个年级，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任选2名学生，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从初二年级女生中选出8人，测量它们的左眼视力，结果如下：1.2，1.5，1.2，1.5，1.5，1.3，1.0，1.2．把这8人的左眼视力看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．
【分析】（1）先根据抽到初二年级女生的概率是0.19，即可求出z值，
（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件可以列举出所有，共有10种结果，满足条件的事件是至少有1名女生的基本事件有7个，根据概率公式得到结果．
（3）首先做出样本平均数，把数据进行比较与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的数有4个数，总的个数为8，得到概率．
【解答】解：（1）∵=0.19，∴z=380
（2）设所抽样本中有m个女生，因为用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本，
所以，解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，
分别记作S1，S2，B1，B2，B3，
则从中任取2人的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，
其中至少有1名女生的基本事件有7个：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），
（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），
∴从中任取2人，至少有1名女生的概率为．
（3）样本的平均数为=（1.2+1.5+1.2+1.5+1.5+1.3+1.0+1.2）=1.3
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的数为1.2，1.2，1.3，1.2．这4个数，总的个数为8，
∴该数与样本平均数之差的约对值不超过0.1的概率为．
22．过M（﹣1，0）做抛物线C：y2=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为A，B．若
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）N（t，0），（t≥1），过N任做一直线交抛物线C于P，Q两点，当t也变化时，求|PQ|的最小值．
【考点】抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．
【分析】（1）⇒MA•MB=90°，由抛物线的对称性可得：K MA=1，直线l的方程与抛物线方程联立化为：y2﹣2px+2p=0．利用△=0，即可得出p．
（2）设PQ的方程为：x=my+t，代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，t≥1．△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=4my，y1y2=﹣4t，，即可得出．
【解答】解：（1）⇒MA•MB=90°，
由抛物线的对称性，∴K MA=1，
∴，
∴y2﹣2px+2p=0．
∴，∴p=2．
∴y2=4x．
（2）设PQ的方程为：x=my+t，代入抛物线方程可得：y2﹣4my﹣4t=0，t≥1．△＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴y1+y2=4my，y1y2=﹣4t，
=，
∴m=0时，（t≥1）．
2017年3月28日。