Volterra型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及理论分析

第３６卷第４期２０２２年７月
兰州文理学院学报(自然科学版)
J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y o
fA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３６N o ．４
J u l ．２０２２
收稿日期:２０２２Ｇ０３Ｇ１３
基金项目:国家自然科学基金(１１８６１０６８);新疆维吾尔自治区自然科学基金杰出青年基金项目(２０２２D ０１E １３)作者简介:罗紫洋(１９９６Ｇ),男,新疆昌吉人,在读硕士,研究方向:微分方程理论及数值模拟．E Ｇm a i l :４６６９４９８４１＠q q ．c o m．
∗通讯作者:张新东(１９８１Ｇ),男,江苏徐州人,教授,硕士生导师,研究方向:微分方程理论及数值模拟．E Ｇm a i l :L i Ｇ
a o y
u a n １１２６＠１６３．c o m ㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２２)０４Ｇ００１０Ｇ０５
V o l t e r r a 型微分Ｇ
积分方程的数值格式构造及理论分析
罗紫洋,安文静,张新东
(新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐８３００１７
)摘要:本文研究了一类V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式构造及其理论分析．格式构造方面,利用有限差分方法进行时间和空间离散,对于积分项采用复合梯形求积公式进行处理．最后,给出了数值格式的稳定性分析和误差估计,其误差的收敛阶为Ο(τ＋h ４),其中τ为时间步长,h 为空间步长．关键词:V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程;有限差分;复合梯形求积公式;稳定性;误差分析中图分类号:O ２４１．８２㊀㊀㊀文献标志码:A
N u m e r i c a l S c h e m eC o n s t r u c t i o na n dT h e o r e t i c a l
A n a l y s i s f o r I n t e g r a l ＧD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s o fV o l t e r r aT y p
e L U OZ i Ｇy a n g ,A N W e n Ｇj i n g ,Z HA N G X i n Ｇd o n g
(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,X i n j i a n g N o r m a lU n i v e r s i t y ,U r u m q
i ８３００１７,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,an u m e r i c a l s c h e m ec o n s t r u c t i o na n dt h e o r e t i c a l a n a l y s i sw a sm a i n l y
d e v e l o p e d f o rs o l v i n g t h e V o l t e r r ai n t e g r a l Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ．I nt e r m so fs c h e m ec o n Ｇs t r u c t i o n ,t h e f i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o ni s s u e df o rt i m ea n ds p
a c ed e r i v a t i v e ,a n dt h e c o m p o u n d t r a p e z o i d a l q u a d r a t u r e f o r m u l a i s s u e d f o r i n t e g r a l t e r m．F i n a l l y
,t h eu n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c ew e r e g i v e n ．I na d d i t i o n ,t h ee r r o r a n a l y s i sw a s c a r r i e do u t ,w h i c h s h o w e d t h a t t h e c o n v e r g e n c e o r d e rw a s O (ι＋h ４),w h e r e ιw a s t h e t i m e s t e p ,a n d h w a s t h e s p a c e s t e p
．K e y w
o r d s :V o l t e r r ai n t e g r a l Ｇd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;f i n i t ed i f f e r e n c e ;c o m p o u n dt r a p e z o i d a l q u a d r a t u r e f o r m u l a ;s t a b i l i t y ;e r r o r a n a l y
s i s 0㊀引言
V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程(V I D E s )源于１９
世纪末２０世纪初,是在竞争或人口增长模型中所引入的一类具有积分内核的方程．V I D E s 中的积
分项具有记忆性质[１]
,这一性质是其在物理领域有着广泛应用的重要原因．例如:粘弹性方程[
２
]㊁具有记忆性的热传导方程[３Ｇ４]
,以及核反应堆中的热交换过程等．由于求解此类方程的解析解较为
困难,因此研究此类方程的数值解具有重要的理论价值和实际意义．
处理微分Ｇ
积分方程的主要方法为差分法．１８９７年,V o l t e r r a [５]
在其著作中对该类方程的数
值解法已有所研究．１９７４年,B r u n n e r [６]
采用隐式
R u n g e ＧK u t t a 方法求解V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程,并分析了此类方程数值解的稳定性．１９９２年,
陈传淼等[７]利用内积近似一类微分Ｇ
积分方程的积分项,并对空间项采用有限元方法,得到了相应
的误差估计．１９９３年,
汤涛[８
]运用梯形求积技巧构造了一类微分Ｇ
积分方程中积分项的数值格式,使其时间误差收敛阶可以达到Ο(τ
３/２
),并给出具体的理论分析．２００５年,S h a h m o r a d [９]
基于T a u
方法分析了线性F r e d h o l m ＧV o l t e r r a 型微分Ｇ
积分方程的有效误差．２００６年,A m i r a l i y
e v 等[１０]在均匀网格中构建V o l t e r r a 型微分Ｇ
积分方程的数值格式,并证明该格式的时间收敛阶为一阶均匀收
敛．２００８年,
徐大[１１]在希尔伯特空间中分析验证了有限差分方法求解线性V o l t e r r a 型方程的稳
定性;同年,T a r i 和S h a h m o r a d [１２]
基于勒让德多项式研究二维线性F r e d h o l m 积分方程,
并给出了数值格式的误差边界．２０１０年,W a z w a z [１
３]提出结合L a p l a c e 变换和A d o m i a n 分解法,构造非线性V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程的数值格式,并通过实验证明该方法的有效性;与此同时,Z a r e b Ｇ
n i a [１４
]利用S i n c 方法求解V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程,并验证该方法所具有的优良性,不仅收敛速
度较快,且不存在当使用其他数值方法时常见的
不稳定问题．２０２１年,C i m e n 和C a k i r [１
５]基于正交规则和积分恒等式构造了一类F r e d h o l m 型微
分Ｇ
积分方程一种新的差分格式,并分析证明该格式的稳定性和收敛性．２０２２年,S a n t r a 和M o h a Ｇ
p
a t r a [１６]
利用复合梯形公式逼近V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程中的积分项,使其误差时间收敛阶为Ο
(τ)．
本文考虑如下V o l t e r r a 型微分Ｇ积分方程(V I D E )
:∂u (x ,t )∂t －∂２
u (x ,t )∂x ２＝ʏ
t
０
K (x ,t －s )u (x ,s )d s ＋f (x ,t ),(x ,t )ɪΩ;u (x ,０)＝φ(x ),∀x ɪ[０,L ];u (０,t )＝g １(t ),u (L ,t )＝g ２(t ),∀t ɪ(０,T ]
,ìîíïïïïïï
ïï
ï
ï(１)其中:Ω＝[０,L ]ˑ(
０,T ],空间L ＞０,且时间T ＞０;积分核K (x ,t －s )在Ω上光滑且有界;f ,
φ,
g １和g ２为给定的光滑函数．1㊀紧致差分格式推导
为方便起见,本文中不同地方的常数C 可以
代表不同的数值．给定两个正整数M 和N ,定义h
＝L
/M 为空间变量x 的步长,τ＝T /N 为时间变量t 的步长,所以
x j ＝j h ,j ＝０,
１, ,M ,t n ＝
n τ,n ＝０,１, ,N ．用u n j 和U n
j 分别表示函数u 在点(x j ,t n )处的精确解和数值解．为了方便表达及书写,给出如
下算子定义,
δ２
x
U j ＝U j －１－２U j ＋U j ＋１
h ２
,H U j ＝
１１２(U j －１＋１０U j ＋U j ＋１)＝(１＋h ２１２δ２x )U j ,
㊀㊀
j ＝１,２, ,M －１;U j ,j ＝０,M ．
ìîí
ïïïï(２
)由复合梯形求积公式可得
ʏb
a
g (
t )d t ＝ðn －１
i ＝０
ʏt i ＋１t i
g (
t )d t ＝τ
２ðn －１
i ＝０
[g (t i )＋g (t i ＋１)]＋R ,(３
)其中:R 为整个区间的截断误差．
由T n ＝τ
２
ðn －１i ＝０[g (t i )＋g (t i ＋
１)]和中值定理可得
R ＝ʏ
b
a
g (t )d t －T n ＝
－b －a １２
τ２
g ᵡ(ξ),ξɪ[a ,b ]．(４)引理１[１７
]㊀假设s (x )ɪC ６[a ,b ]
,则有１
１２
(s x x (x j ＋１)＋１０s x x (x j )＋s x x (
x j －１))－１
h
２(s (x j ＋１)－２s (x j )＋s (x j －１))＝h ４２４０s (６)
(ξj ),其中:ξj ɪ(x j －１,x j ＋１),j ＝１,２, ,M －１．接下来对方程(１
)进行逐项分析．对于方程(１)的时间项来说,利用T a y l o r 展开,可得∂u (x j ,t n )
∂t n
＝
u (x j ,t n ＋１)－u (x j ,t n )
τ
＋O (
τ)．(５
)对于方程(１
)的空间项来说,H ∂２
u (x j ,t n ＋１)∂x ２
j
＝δ２x u (x j ,t n ＋１)
＋O (h ４)．(６
)对于方程(１)的积分项而言,由式(３)和(４
)可得１
１第４期罗紫洋等:V o l t e r r a 型微分Ｇ
积分方程的数值格式构造及理论分析
ʏ
t n ０
K (x j ,t n －
s )u (x j ,s )d s ＝ðn －１
i ＝０
ʏt i ＋１t i
K (
x j
,t n
－s )u (x j
,s )d s ＝τ
２ðn －１
i ＝０
[K (x j ,t n －t i )u (x j ,t i )＋K (x j ,t n －t i ＋１)u (x j ,t i ＋
１)]＋O (τ２)．(７)如果对方程(１
)作用H 算子,可得H ∂u (x j ,t n )∂t n
－H ∂２
u (x j ,t n ＋１)∂x ２
j ＝H
ʏ
t n ０
K (x j ,t n －
s )u (x j ,s )d s ＋H f (x j ,t n )
,进而由式(５)㊁(６)和式(７
)可得H u n ＋１
j
－τ
δ２
x u n ＋１j ＝
H u n
j
＋H τ２２ðn －１
i ＝０
(K n －i －１j u i ＋１j ＋K n －i j u i j )éëêêùûúú＋H τf n j ＋R n
j ,
(８)其中:f n
j ＝f (x j ,t n ),R n j ɤC (
τ＋h ４)．省去式(８)中的截断误差,当j ＝１,２, ,M
－１且n ＝１,
２, ,N 时得到方程(１)的离散格式如下:
H U n ＋１j －τδ２x U n ＋１j ＝H U n
j ＋㊀H τ２２ðn －１i ＝０(K n －i －１j U i ＋１j ＋K n －i j U i j )éëêêùûúú＋H τf n j ,U ０
j ＝φ(x ),U n ＋１０＝g １(t n ＋１),U n ＋
１M ＝g ２(t n ＋１)
．ìîí
ïïïïï
ï(９
)2㊀稳定性分析
本节将利用能量不等式的方法讨论数值格式
的稳定性,并证明数值格式为无条件稳定．首先给出一些符号说明和引理．定义V h 为空间网格函
数,V h ＝{V |V ＝(V ０,V １, ,V M ),V ０＝
g １(
t n ＋１),V M ＝g ２(t n ＋１)}．以下内积和范数在证明中将用到,
(U ,V )＝h ðM －１
j ＝１U j
V j , U ２＝(U ,U )．引理１[１８
]㊀假设U ɪV h ,
则有－(δ２x
U n H U n )ȡ２
３
δx U n ２．定理１㊀紧致差分格式(９
)是无条件稳定的,并且满足如下不等式:
H U n ＋１ ɤC H U ０ ＋m a x ０ɤp ɤn
H f p (),
其中:C 为常数．证明㊀设m a x (x ,t )
ɪΩ
K (x ,t ) ＝K x t ．由式(９)可得
H U n ＋１－τδ２x
U n ＋１＝H U n ＋H τ２
２ðn －１
i ＝０(K n －i －１U i ＋１＋K n －i U i )éëêêùû
úú＋H τf n ,(１０
)对式(１０
)两边同乘H U n ＋１,并在Ω上积分可得(H U n ＋１,H U n ＋１)－τ(δ２x
U n ＋１,H U n ＋１)＝(H U n ,H U n ＋１)＋
τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i －
１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i U i ),H U n ＋１)＋τ(H f n ,H U n ＋１)．
(１１
)由引理１可知
－(δ２x
U n H U n )ȡ０．由式(１１
)可得如下不等式,(H U n ＋１,H U n ＋１)ɤ(H U n ,H U n ＋１)＋
τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i －１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i U i ,H U n ＋１))＋τ(H f n ,H U n ＋１)．(１２
)接下来将用归纳法证明．由式(１２
)可知,当n ＝０时,
(H U １,H U １)ɤ
(H U ０,H U １)＋τ(
H f ０,H U １)．再由柯西Ｇ施瓦茨不等式可得
H U １ ɤ H U ０ ＋τ H f ０ ɤ
C H U ０ ＋ H f ０ ()．
假设对任意k ,k ɤn 时结论成立,
即 H U k ɤ
C H U ０ ＋m a x ０ɤp ɤn
H f p ()．(１３
)由式(１２
),当k ＝n ＋１时,有(H U n ＋１,H U n ＋１)ɤ(H U n ,H U n ＋１)＋
τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i －
１U i ＋１),H U n ＋１)＋τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i U i ),H U n ＋１)＋τ(H f n ,H U n ＋１)．
由上述不等式,结合式(１３
)可得 H U n ＋１ ɤ
２
１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷
H U n
＋τ２K x t
２ðn －
１
i ＝０
H U i ＋１ ＋τ２K x t
２ðn －１
i ＝０
H U i ＋τ H f n ɤC H U ０
＋m a x ０ɤp ɤn －１
H f p
()＋
τK x t
T C H U ０
＋m a x ０ɤp ɤn －１
H f p ()＋τ H f n
ɤ(C ＋τK x t
T C ) H U ０ ＋(C ＋τK x t
T C ＋τ)m a x ０ɤp ɤn
H f p ɤC H U ０
＋m a x ０ɤp ɤn
H f p
(),
其中,C 为常数．
定理１证明完毕．3㊀误差估计
本节将讨论数值格式的收敛性,并推导出数
值格式的误差收敛阶为O (τ＋h ４)．记e n
j ＝u n j －
U n j ,
j ＝０,１, ,M 且n ＝０,１, ,N ．定理２㊀假设u n
j 为方程(１)的精确解,U n j 为离散格式(９
)的数值解,则如下不等式成立, H e n ＋１
j
ɤC (τ＋h ４),其中,C 为常数．
证明㊀设m a x (x ,t )ɪΩ
K (x ,t ) ＝K x t ．用式(８)减去式(９),再由e n
j 的定义可得
H e n ＋１j －τδ２x e n ＋１
j
＝H e n j
＋H [τ２２ðn －１i ＝０
(K n －i －１j e i ＋
１j ＋K n －i j e i j )
]＋R n j ．(１４
)将式(１４)两边同乘H e n ＋１
j
,并在Ω上积分可得(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )－τ(δ２x e n ＋１j ,H e n ＋１j
)＝(H e n j ,H e n ＋１
j
)＋τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i －１j e i ＋
１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１
j
)．(１５
)由引理１和式(１５
),有(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )ɤ(H e n j ,H e n ＋１
j
)＋τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i －１j e i ＋
１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －
１i ＝０
(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１
j
)．(１６
)类似定理１的证明,将采用归纳法．由式(１６)可知,当n ＝０时,可得
(H e １j ,H e １j )ɤ(H e ０j ,H e １j )＋(R ０j ,H e １
j )
,再由柯西Ｇ施瓦茨不等式及R ０
j ɤC (
τ＋h ４)可得 H e １j ɤ H e ０j ＋
R ０
j ɤC (τ＋h ４)．假设对任意k ,k ɤn 时,
结论成立,即 H e k
j ɤC (τ＋h ４)．(１７
)由式(１６
),当k ＝n ＋１时,有(H e n ＋１j ,H e n ＋１j )ɤ(H e n j ,H e n ＋１
j
)＋τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i －１j e i ＋
１j ),H e n ＋１j )＋τ２２ðn －１
i ＝０
(H (K n －i j e i j ),H e n ＋１j )＋(R n j ,H e n ＋１
j
)．由上述不等式,结合式(１７
)可得 H e n ＋１j
ɤ H e n
j
＋τ２K x t ２ðn －
１
i ＝０
H e i ＋
１j ＋τ２K x t ２ðn －
１
i ＝０
H e i
j ＋ R n j ɤC (τ＋h ４)＋τK x t
T (C (τ＋h ４))＋C (τ＋h ４)ɤm a x {C ,τK x t
T C ,C }(τ＋h ４)ɤC (τ＋h ４)
,其中,C 为常数．
定理２证明完毕．4㊀结论
本文通过有限差分方法构造了一类V o l t e r r a
型微分Ｇ
积分方程的数值格式,分析了格式的稳定性和误差估计,得到其误差收敛阶为O (τ＋h ４)．相较于解决该问题原有的数值格式,在空间收敛阶上有进一步的提升．在今后的研究工作中,将以构建收敛速度更快,误差更低的数值格式为目标,
并将此方法应用到分数阶微分Ｇ积分方程的数值求解．参考文献:
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[６]B R U N N E R H．I m p l i c i t R u n g eＧK u t t am e t h o d s o f o p t iＧm a lo r d e rf o r V o l t e r r ai n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [J]．M a t h e m a t i c s o fC o m p u t a t i o n,１９８４,４２:９５Ｇ１０９．[７]C H E NC M,T HOM E E V,WA H L B I NLB．F i n t e e lＧe m e n t a p p r o x i m a t i o n o f a p a r a b o l i c i n t e g r oＧd i f f e r e n t iＧa l e q u a t i o nw i t haw e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．M a t h eＧm a t i c a l o fC o m p u t a t i o n,１９９２,５８:５８７Ｇ６０２．[８]T A N G T．Af i n i t ed i f f e r e n c es h e m ef o r p a r t i a l i n t eＧg r oＧd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t haw e a k l y s i n g u l a rk e rＧn e l[J]．A p p l i e d N u m b e r i c a l M a t h e m a t i c s,１９９３,１１:３０９Ｇ３１９．
[９]S HA HMO R A DS．N u m e r i c a l s o l u t i o no f t h e g e n e r a l f o r ml i n e a rF r e d h o l mＧV o l t e r r a i n t e g r oＧd i f f e r e n t i a l eＧq u a t i o n sb y t h eT a um e t h o dw i t ha ne r r o r e s t i m a t i o n [J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n d C o m p u t a t i o n,２００５,１６７:１４１８Ｇ１４２９．
[１０]AM I R A L I Y E V G M,S E V G I N S．U n i f o r m d i f f e rＧ
e n c em e t h o d
f o r s i n
g u l a r l yp e r t u r b e dV o l t e r r a i n t eＧ
g r oＧd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c s
a n dC o m p u t a t i o n,２００６,１７９:７３１Ｇ７４１．
[１１]X U D．S t a b i l i t y o f t h ed i f f e r e n c et y p e m e t h o d sf o r l i n e a rV o l t e r r ae q u a t i o ni n H i l b e r ts p a c e s[J]．N uＧ
m e r i s c h eM a t h e m a t i k,２００８,１０９:５７１Ｇ５９５．[１２]T A R IA,S HA HMO R A DS．Ac o m p u t a t i o n a lm e t hＧo d f o r s o l v i n g t w oＧd i m e n s i o n a l l i n e a rF r e d h o l mi nＧt e g r a le q u a t i o n so fs e c o n d k i n d[J]．T h e A n z i a m
J o u r n a l,２００８,４９:５４３Ｇ５４９．
[１３]WA Z WA Z A M．T h ec o m b i n e dL a p l a c et r a n s f o r mＧ
A d o m i a nd e c o m p o s i t i o n m e t h o df o rh a n d l i n g n o nＧ
l i n e a r V o l t e r r ai n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[J]．
A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,２０１０,２１６:
１３０４Ｇ１３０９．
[１４]Z A R E B N I A M．S i n c n u m e r i c a l s o l u t i o n f o r t h eV o l tＧ
e r r ai n t e g r oＧd i
f f e r e n t i a le q u a t i o n[J]．C o mm u n i c aＧ
t i o n s i n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l aＧt i o n,２０１０,１５:７００Ｇ７０６．
[１５]C I M E N E,C A K I R M．Au n i f o r m n u m e r i c a lm e t h o d
f o rs o l v i n
g s i n g u l a r l yp e r t u r b e d F r e d
h o l m
i n t e g r oＧ
d i f f
e r e n t i a l p r o b l e m[J]．C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e d
M a t h e m a t i c s,２０２１,４２:１Ｇ１４．
[１６]S A N T R AS,MOHA P A T R AJ．An o v e l f i n i t e d i f f e rＧ
e n c e t e c h n i q u ew i t h e r r o r e s t i m a t e
f o r t i m e f r a c t i o nＧ
a l p a r t i a li n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n o f V o l t e r r a
t y p e[J]．J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a la n d A p p l i e d
M a t h e m a t i c s,２０２２,４００:１１３７４６．
[１７]L U O M,X U D,L I L M．A c o m p a c td i f f e r e n c e s c h e m ef o r a p a r t i a li n t e g r oＧd i f f e r e n t i a le q u a t i o n
w i t ha w e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．A p p l i e d M a t h eＧ
m a t i c a lM o d e l l i n g,２０１５,３９:９４７Ｇ９５４．
[１８]A K B A R M．C o m p a c t f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e f o r t h e s o l u t i o n f o r a t i m e f a r a c t i o n a l p a r t i a l i n t e g r oＧd i f f e rＧ
e n t i a l e q u a t i o n w i t ha w e a k l y s i n g u l a rk e r n e l[J]．
M a t h e m a t i c a l M e t h o d si n t h e A p p l i e d S c i e n c e s,２０１７,４０:７６２７Ｇ７６３９．
[责任编辑:赵慧霞]
４１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷。