2.2.3 待定系数法

2.2.3待定系数法
学习目标
1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数的解析式.
2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．
知识点 待定系数法
思考1 若一个正比例函数y ＝kx (k ≠0)过点(2,3)．如何求这个函数解析式？ 答案 ∵函数y ＝kx 过点(2,3)，
∴3＝k ·2，即k ＝32
， ∴函数为y ＝32
x . 思考2 在思考1中，求解析式的方法有什么特点？
答案 先设出(给出)函数解析式的一般形式，再根据已知条件确定解析式中待确定的系数．
梳理 1.待定系数法定义 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
2．几种基本初等函数的解析式
(1)正比例函数的一般形式是y ＝kx (k ≠0，k 是常数)．
(2)一次函数的一般形式是y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 是常数)．
(3)反比例函数的一般形式是y ＝k x
(k ≠0，k 是常数)． (4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式： ①一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，这是二次函数的标准形式；
②顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )是抛物线的顶点；
③知两根可设为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根，即抛物线与x 轴两交点的横坐标．
1．待定系数法的适用条件是所求数学问题具有确定的数学表达式．( √ )
2．用待定系数法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的解析式时，必须知道三点坐标．( × )
类型一 待定系数法求解析式
命题角度1 待定系数法求一次函数解析式
例1 已知f (x )是一次函数，且有2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，求这个函数的解析式．
解 设所求的一次函数是f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，其中k ，b 是常数.
根据已知条件，得方程组⎩⎨⎧ 22k ＋b －3k ＋b ＝5，2b －－k ＋b ＝1，
即⎩⎨⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，
解此方程组，得k ＝3，b ＝－2.
因此所求的函数是f (x )＝3x －2.
反思与感悟 在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．
跟踪训练1 已知函数f (x )是一次函数，且有f (f (x ))＝9x ＋8，求此一次函数的解析式． 解 设该一次函数是f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题意得f (f (x ))＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋
b ＝9x ＋8.
因此有⎩⎨⎧ a 2＝9，ab ＋b ＝8，
解方程组，得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝－3b ＝－4.
所以一次函数为f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4.
命题角度2 待定系数法求二次函数解析式
例2 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式． 解 设二次函数为y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，
方法一 则顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＝2， ①4ac －b 24a ＝3， ②
又二次函数过点(3,1)，
∴1＝9a ＋3b ＋c .③
联立方程①②③解方程组，得a ＝－2，b ＝8，c ＝－5，
∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.
方法二 设二次函数顶点式方程为y ＝a (x －2)2
＋3(a ≠0)，
∵二次函数图象过点(3,1)，
∴1＝a ×1＋3，
∴a ＝－2，
∴y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5.
引申探究
若二次函数f (x )满足f (2)＝f (4)＝0，且过点(0,6)，求这个二次函数的最值． 解 设二次函数的两根式为y ＝a (x －2)(x －4)(a ≠0)，
∴6＝a ×(－2)×(－4)，
∴a ＝34
， ∴y ＝34x 2－92
x ＋6. 当x ＝3时，函数f (x )的最小值为－34
，无最大值． 反思与感悟 二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．
(1)一般地，若已知函数经过三点，常设函数的一般式；
(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；
(3)若题目中给出函数与x 轴的交点或二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，可设函数的两根式．
跟踪训练2 求下列二次函数的解析式．
(1)已知y ＝f (x )是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；
(2)已知二次函数的顶点为(－1，－2)，且图象经过点(2,25)；
(3)已知二次函数与x 轴交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)． 解 (1)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
∴⎩⎨⎧ 4a －2b ＋c ＝20，
a ＋
b ＋
c ＝2，
9a ＋3b ＋c ＝0，
解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－5，c ＝6，
∴y ＝x 2－5x ＋6. (2)设y ＝a (x ＋1)2－2(a ≠0)，
∴25＝a ×32－2，
∴a ＝3，
∴y ＝3x 2＋6x ＋1.
(3)设y ＝a (x ＋2)(x －3)(a ≠0)，
∴a ×1×(－4)＝8，
∴a ＝－2，
∴y ＝－2x 2＋2x ＋12.
类型二 待定系数法的综合应用
例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域．
解 设左侧的射线对应的解析式为
y ＝kx ＋b (k ≠0，x <1)，
因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎨⎧ k ＋b ＝1，b ＝2，
解得k ＝－1，b ＝2，
所以左侧射线对应的函数的解析式为 y ＝－x ＋2(x <1)，
同理可求x >3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)．
当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．
设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)，
由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1，
所以抛物线对应的函数解析式为
y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．
综上，函数的解析式为
y ＝⎩⎨⎧ －x ＋2，x ＜1，
－x 2＋4x －2，1≤x ≤3，
x －2，x >3，
由图象可知函数的最小值为1，无最大值，
所以值域为[1，＋∞)．
反思与感悟 由函数图象求函数的解析式，关键在于观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式．
跟踪训练3 已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52
，f (2)＝174
. (1)求f (x )的解析式；
(2)求证f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数． (1)解 ∵f (x )为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )．
∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x
－c ， ∴c ＝0，
∴f (x )＝ax ＋b x
. 又f (1)＝52，f (2)＝174
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174，
∴a ＝2，b ＝12. ∴f (x )＝2x ＋12x
. (2)证明 设x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞且x 1＜x 2. 则f (x 2)－f (x 1)＝⎝
⎛⎭⎪⎫2x 2＋12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋12x 1 ＝2(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2
＝(x 2－x 1)4x 1x 2－12x 1x 2
. ∵x 2＞x 1＞12
， ∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞14
， ∴4x 1x 2＞1，
∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)，
∴f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上是增函数.
1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝4x ．y ＝－4x C ．y ＝1
4x
．y ＝－1
4
x
答案 A
解析 设y ＝kx (k ≠0)，则8＝2k ，∴k ＝4，∴y ＝4x .
2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A ．y ＝12x －52
B ．y ＝12x ＋52
C ．y ＝－12x ＋52
D ．y ＝－12x －5
2
答案 B
解析 设y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨
⎧
k ＋b ＝3，
3k ＋b ＝4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝12，b ＝5
2，
∴y ＝12x ＋52
.
3．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( )
A ．y ＝x 2
＋2x －3 B ．y ＝x 2－2x －3 C ．y ＝x 2＋2x ＋3 D ．y ＝x 2－2x ＋6 答案 A
解析 将(1,0)，(2,5)代入y ＝x 2＋bx ＋c 可得
⎩⎨
⎧
1＋b ＋c ＝0， ①4＋2b ＋c ＝5. ②
由①②解得b ＝2，c ＝－3.
4．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么二次函数的解析式为________． 答案 y ＝－2x 2＋4x
解析 设y ＝a (x －1)2
＋2(a ≠0)．
∵y ＝a (x －1)2＋2过原点，∴0＝a ＋2，∴a ＝－2.
∴y＝－2x2＋4x.
5．如图是二次函数y＝f(x)的图象，若x∈[－2,1]，则函数f(x)的值域为________．
答案[0,4]
解析依题意设函数f(x)＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，又函数f(x)的图象过点(0,3)，代入得a＝－1，∴f(x)＝－x2－2x＋3.结合题中图形易知函数f(x)在[－2,1]上的最大值为f(－1)＝4.又f(－2)＝3，f(1)＝0，∴函数f(x)在[－2,1]上的最小值为0，∴当x∈[－2,1]时，函数的值域为[0,4]．
1．求待定系数的方法——列方程组
(1)利用对应系数相等列方程(组)．
(2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组)．
(3)利用定义本身的属性列方程(组)．
2．待定系数法的适用条件
要判定一个问题是否能用待定系数法求解，主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式．例如，求具体函数解析式时即可用待定系数法求解．
一、选择题
1．已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 答案 C
解析 ∵⎩⎨
⎧
f 1＝1＋p ＋q ＝0，f 2＝4＋2p ＋q ＝0，
∴p ＝－3，q ＝2. ∴f (x )＝x 2－3x ＋2，
∴f (－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
2．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，4 C ．(－1,3) D ．(－2,1)
答案 A
解析 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则该函数的图象经过点A (1,6)和
B (2,8)，得⎩⎨
⎧
k ＋b ＝6，
2k ＋b ＝8，
所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此
函数的解析式．故选A.
3．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3 D ．－3,2
答案 A
解析 (x －1)(ax ＋b )＝ax 2＋(b －a )x －b ， 因为(x －1)(ax ＋b )＝2x 2
＋x －3，
所以⎩⎨⎧
a ＝2，
b －a ＝1，
－b ＝－3，
解得⎩⎨
⎧
a ＝2，
b ＝3.
4．已知f (x )＝x 2＋1，g (x )是一次函数且是增函数，若f (g (x ))＝9x 2＋6x ＋2，则g (x )为( )
A ．g (x )＝3x ＋2
B ．g (x )＝3x ＋1
C ．g (x )＝－3x ＋2
D ．g (x )＝3x －1
答案 B
解析 设g (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则a ＞0，
∴f (g (x ))＝f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋1＝9x 2＋6x ＋2， ∴a ＝3，b ＝1.∴g (x )＝3x ＋1.
5．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤2或a ≥3
B ．2≤a ≤3
C ．a ≤－3或a ≥－2
D ．－3≤a ≤－2 答案 A
解析 由于二次函数的开口向上，对称轴为x ＝a ，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a ≤2或a ≥3.
6．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋2(a ＜0)与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，0，
则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14 D ．－14 答案 D
解析
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
14a －12b ＋2＝0，
19a ＋1
3b ＋2＝0，
解得⎩⎨
⎧
a ＝－12，
b ＝－2，
∴a ＋b ＝－14. 二、填空题
7．反比例函数y ＝12
x
的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，则一次函数
的解析式为______________． 答案 y ＝3
2
x －7
解析 因为点P (m,2)在函数y ＝12x 的图象上，所以2＝12
m
，m ＝6，P 点坐标为(6,2)．因
为一次函数y ＝kx －7的图象经过点P (6,2)，所以6k －7＝2，k ＝3
2.故所求的一次函数解
析式是y ＝3
2
x －7.
8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则a ，b 的值分别为________． 答案 2，－3
解析 ∵f (x )＝x 2＋2x ＋a ，
∴f (bx )＝(bx )2＋2(bx )＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a . 又∵f (bx )＝9x 2
－6x ＋2， ∴b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2，
∴⎩⎨⎧
b 2＝9，
2b ＝－6，a ＝2.
∴⎩⎨
⎧
b ＝－3，a ＝2.
9．如图，抛物线y ＝－x 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 的值为________．
答案 0
解析 设A (x 1,0)，B (x 2,0)， 则x 1＝－3x 2.
由⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝2m ＋2，x 1x 2
＝－m －3，x 1
＝－3x 2
，
得3m 2＋5m ＝0， 即m ＝0或m ＝－5
3
.
由图象知，对称轴x ＝m ＋1＞0， 即m ＞－1，
因此m ＝－5
3
不合题意，故m ＝0.
10．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 答案 2
解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，
∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 ＝x 2
＋10x ＋24，
∴⎩⎨⎧
a 2＝1，
2ab ＋4a ＝10，b 2
＋4b ＋3＝24，
∴⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝3
或⎩⎨
⎧
a ＝－1，
b ＝－7.
∴5a －b ＝2.
三、解答题
11．已知二次函数f (x )对一切x ∈R ，有f (x )≥－1，又f (－1)＝0，且f (x )的对称轴为
x ＝1.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若直线l 过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x 轴左侧的交点，求l 在y 轴上的截距． 解 (1)由二次函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，
由f (x )≥－1对一切x ∈R 成立， 得二次函数的最小值为－1.
设二次函数的解析式为f (x )＝a (x －1)2
－1(a ≠0)， ∵f (－1)＝0，∴4a －1＝0，∴a ＝1
4，
∴f (x )＝14(x －1)2－1＝14x 2－12x －3
4.
(2)设直线l 的解析式为g (x )＝kx ＋b . 由(1)知，抛物线顶点为C (1，－1)． 由14x 2－12x －3
4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴l 过点A (－1,0)，
∴⎩⎨
⎧
k ＋b ＝－1，
－k ＋b ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－1
2，b ＝－1
2
，
∴一次函数为g (x )＝－12x －1
2.
在y 轴上的截距为b ＝－1
2
.
12．已知函数f (x )＝
x
ax ＋b
(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f (f (－3))的值． 解 因为f (2)＝1，所以2
2a ＋b
＝1，即2a ＋b ＝2，①
又因为f (x )＝x 有唯一解，即x ax ＋b
＝x 有唯一解， 所以ax 2
＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.
代入①得a ＝12. 所以f (x )＝x 12
x ＋1＝2x x ＋2(x ≠－2)． 所以f (f (－3))＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－6－1＝f (6)＝2×66＋2＝32. 13．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (x －1)＝－2x 2
＋4x .
(1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈[a ，a ＋2]时，求f (x )的最大值．
解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
则f (x ＋1)＋f (x －1)
＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c
＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c
＝－2x 2＋4x .
由于上式对一切x ∈R 都成立，
∴2a ＝－2,2b ＝4,2a ＋2c ＝0，
∴a ＝－1，b ＝2，c ＝1，
∴f (x )＝－x 2＋2x ＋1.
(2)由(1)可知，f (x )＝－(x －1)2＋2.
当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )在[a ，a ＋2]上单调递增，
∴f (x )max ＝f (a ＋2)＝－a 2
－2a ＋1；
当a ＜1＜a ＋2，－1＜a ＜1时， f (x )max ＝f (1)＝2；
当a ≥1时，f (x )在[a ，a ＋2]上单调递减，
∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋1.
∴f (x )max ＝⎩⎨⎧ －a 2－2a ＋1，a ≤－1，
2，－1＜a ＜1，－a 2＋2a ＋1， a ≥1.
四、探究与拓展
14．已知f (x )为一次函数，且y 随x 的增大而增大，若f (f (x ))＝4x ＋6，求f (x )的解析式．
解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则f (f (x ))＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋6，
∴⎩⎨⎧ a 2＝4，ab ＋b ＝6.
∵y 随x 的增大而增大，
∴a ＞0，
∴⎩⎨⎧ a ＝2，
b ＝2，
∴f (x )＝2x ＋2.
15．若二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求函数f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
∵f (0)＝1，∴c ＝1.
∵f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx
＝a (2x ＋1)＋b ＝2ax ＋a ＋b ＝2x
∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－1，
∴函数f (x )的表达式为f (x )＝x 2－x ＋1.。